江西省四校高二数学零班期中联考试题 文

高二期中数学文科试题
考试时间：120分钟
一、选择题：（本题包括10小题，共50分，每小题只有一个选项符合题意）
1、“x 2
－5x ＋4<0” 是“|x ―2|<1”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 2、复数z = 2+i
1―i (i 是虚数单位)在复平面上所对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.在ABC ∆
中，若222sin sin sin sin ,A B C B C =+则角A 的值为（） A ．
56π B ．23π C ．3π D ．6
π 4．若P 为△OAB 的边AB 上一点，且OAP △的面积与OAB △的面积之比为1:3，则有（ ） A ．2OP OA OB =+ B ．1
23
3
OP OA OB =+
C ．2
133
OP OA OB =+
D ．2OP OA OB =+
5．阅读如图所示的算法框图，输出的结果S 的值为（ ） A
． C ．0 D
6．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ） A ．tan y x = B ．3x
y = C ．13
y x = D ．lg y x = 7.在一球内有一边长为1的内接正方体, 一动点在球内运动, 则此点落在 正方体内部的概率为（ ）
第5题图
A. π6
B. π23
C. π3
D.π33
2
8．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知2
11210,38m m m m a a a S -+-+-==(*,2)m N m ∈≥，
则m 等于( )
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
9．已知双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的焦点为1F 、2F ，M 为双曲线上一点，1F 2F 为
直径的圆与双曲线的一个交点为M ，且2
1
tan 21=∠F MF ，则双曲线的离（ ） A ．2
B ．3
C ．5
D ．2
10. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，
则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( )
A. 9(,2]4-
- B.[1,0]- C.(,2]-∞- D.),4
9
(+∞- 二、填空题：（本题共5小题，共25分）
11在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+-> 的概率为 ． 12．点(,)a b 在两直线1-=x y 和3-=x y 之间的带状区域内（含边界），则
(,)f a b =22244a ab b a b -++-的最小值为_____________．
13.函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：
①函数f (x )＝x 2
(x ∈R )是单函数；
②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) 14.已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为 。

15.已知某棱锥的三视图如右图所示,则该棱锥 的体积为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤．
16．已知函数x x x f ππcos 2
1
sin 23)(+=
,x ∈R ．
（１）求函数()f x 的最大值和最小值； （２）设函数()f x 在[1,1]-上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N
，图象的最高
2正视图
侧视图
俯视图
点为P,求PM 与PN 的夹角的余弦．
17.某中学的高二(1)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
（１）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（２）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（３）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
18如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，AB a =，1AA =，
E 为1CC 的中点，AC BD O =.
（Ⅰ） 证明：OE ∥平面1ABC ； （Ⅱ）证明：1AC ⊥平面BDE .
19已知等差数列{}n a 的各项均为正数，13,,{}n n a n S b =前项和为是等比数列，
122331,64,960.b b S b S ===且 求数列{}{}n n a b 与的通项公式；
20.已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的左右焦点为F 1，F 2,以线段F 1 F 2为直径的
圆的面积为π， (1)求椭圆的方程；
(2) 设直线l 过椭圆的右焦点F 2（l 不垂直坐标轴），且与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M （m,0），试求m 的取值范围.
21、已知函数 2
1()2ln (2)2
f x x a x a x =-+-，a ∈R ． (Ⅰ）当 1a = 时，求函数 ()f x 的最小值； (Ⅱ）当 0a ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性；
高二期中考试
数学（文科）参考答案
一：选择题（10×5=50分）
二：填空题（5×5=25分）
11 2 12 5
13 ②③④ 14 17
{|}22
m m -
<<； 15 2 三：解答题（共6题，16-19没题12分，20题13分，21题14分） 16.．解：（１） )6
sin(cos 21sin 23)(π
πππ+=+=
x x x x f ，
∵x ∈R ，∴ 1)6
sin(1≤+≤-π
πx ，
∴函数()f x 的最大值和最小值分别为1，－1．…………6分
17解：（１）416015n P m =
==，∴某同学被抽到的概率为1
15
………2分 设有x 名男同学，则
45604
x
=，3x ∴=，∴男，女同学的人数分别为3,1.
（2）把3名同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有
()()()()()()()()()()()()121312123231323123,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
a a a a a
b a a a a a b a a a a a b b a b a b a 共12种，其中有一名女同学的有6种，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
61
122
P =
=………….7分 （3）1268707172746970707274
71,71,55x x ++++++++=
=== ()()
()()
2
2
2
2
221
1
68717471697174714, 3.2,5
5
s s -++--++-=
==
=
所以第二名同学的实验更稳定……………12分。

19解：（1）设{}n a 的公差为(0),{}n d d b >的公比为q ，
则222
33(6)64,(93)960,b S q d b S q d =+=⎧⎨=+=⎩ 解得6,
2,5
8,40.
3d d q q ⎧
=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
或（舍） 所以*32(1)21,,n a n n n =+-=+∈N 1*8,.n n b n -=∈N …….12分
20解： (1)得: c a ①
又由线段F 1 F 2为直径的圆的面积为π得: πc 2
=π, c 2
=1 ② ……………2分
由①, ②解得a ∴b 2
=1,∴椭圆方程为2
212
+=x y ………………5分
由于
012>k ,2122
>+∴k
.210<<∴m ...........................13分 21解；（Ⅰ）显然函数()f x 的定义域为()0,+∞， .. (1)
分
当22(2)(1)
1,()x x x x a f x x x
---+'===时． ....................2分 ∴ 当()0,2,()0x f x '∈<时，()2,,()0x f x '∈+∞>．
∴()f x 在2x =时取得最小值，其最小值为 (2)2ln 2f =-． ............ 7分。