福建省石狮石光华侨联合中学高三数学最后阶段冲刺模拟卷 文(三)新人教A版【会员独享】

福建石狮石光华侨联合中学2011届高考最后阶段冲刺模拟卷数学文科卷
（三）
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． 1．若22{|4},{|440}A x x B x x x ===-+>，则A B = （ ）
A ．{2}
B ．{2,2}-
C ．-2
D ．{2}-
2．复数
11i
i
+=-（ ）
A ．
2
B C ．i D ．i -
3．在∆ABC 中，sin A ＝sin B 是△ABC 为等腰三角形的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为2，焦距为则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y =
B ．2y x =±
C ．2
y x =±
D ．12
y x =±
5．已知等差数列67813{}13,tan()4
n a a a a π
++的前项之和为
则等于( )
A B C ．1
D ．—1
6．平面向量120,(2,0),||1,|2|a b a b a b ==+
与的夹角为则=（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D 7．已知函数()sin()(0,,)2
f x x x R π
ωϕωϕ=+><
∈的最小正周期为π，其图象向左平移
6
π
个单位后，得到的函数为奇函数，则()f x 的图象（ ）
Ａ．关于π012⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称 Ｂ．关于π
12
x =
对称
Ｃ．关于点5π012⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称 Ｄ．关于直线5π
12
x =
对称
8．m 、n 表示直线，,,αβγ表示平面，给出下列四个命题： （1）,,,m n n m αβααβ=⊂⊥⊥ 则 （2）,,,m n n m αβαγβγ⊥==⊥ 则 （3）,,,m m αβαγβγα⊥⊥=⊥ 则 （4）,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥则
其中真命题为 （ ） A ．（1）、（2） B ．（2）、（3） C ．（3）、（4） D ．（2）、（4）
9．右第9题程序中，若输入的数字是“5”,输出的结果是( ) A ．6 B ．24 C ．120 D ．720
10．已知定义在R 上的奇函数()f x ∞在区间(0,+)上单调递增，若1
()0,2
f ABC =∆的内角满足
(cos )0f A ≤，则角A 的取值范围是（ ）
A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢
⎣⎭ B ．[,]32ππ C ．[,]32ππ∪2,3ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．2[,]33ππ
11．已知函数()()y f x x R =∈的图像如右图
所示，则不等式/
()0xf x <的解集为（ ） A ． 1
(,0)(,2)2-∞
B ．11(,)(,2)22
-∞
C ．11(,)(,)22-∞+∞
D ．1(,)(2,)2
-∞+∞ 12．椭圆
12
22
2=+
b
y a
x (a ＞b ＞0)的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的
焦点，则椭圆的离心率等于（ ） A
．
2
B
1
2
+ C
．
1
2
- D
．
32
- 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知,x y 满足约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则y x z +=2的最小值为 ．
14．已知圆C 的圆心与圆O ：221x y +=的圆心关于直线l ：20x y +-=对称，且圆C 与直线l
相切，则圆C 的方程为 ．
15．已知一个空间几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的表面积等于 ．
（第16题）
16．2
n 个正数排成n 行n 列（如 上表），其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列，且所有
公比都相同，已知,16
3
,81,1434212==
=a a a 11a 则= . 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．注意把解答
填入到答题卷上． 17．（本小题满分12分） 在锐角ABC ∆
中，2sin cos 2sin cos A B B A =-，边,a b
是方程220x -+=的两个实根．求：⑴求角C 的值；⑵三角形面积S 及边c 的长． 18．（本小题满分12分）
如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面(过圆柱的轴截圆柱所得到的截面）,C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点.
(1)求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；
(2)当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．
19．（本小题满分12分）
一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取80辆,其中有A 类轿车16辆. (Ⅰ)求z 的值；
(Ⅱ)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(Ⅲ)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率. 20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足：112,(1),.n n a na S n n n N *+==++∈
（1）求证：数列{}n
S n
是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n b 满足：2()3
n n n b a =⋅，若n b M <对任意的n *
N ∈恒成立，求M 的取值范
围． 21．（本小题满分12分）
椭圆C 的中心为坐标原点,上焦点（0，c ）到直线2a y c =
l 与y 轴交于点(0,)P m ,与椭圆C 交于相异两点,A B .
（I ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）若3AP PB =
，求m 的取值范围.
22．（本小题满分14分）
已知函数f (x )=ln(x +a )-x 2-x 在x = 0处取得极值． (I)求实数a 的值；
(Ⅱ)若关于x 的方程，f (x )=b x +-2
5
在区间[O ，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；
(Ⅲ)证明：对任意的正整数n ，不等式ln 21
1n
n n n +<+都成立． （参考公式：[]1
ln()x a x a
'+=
+）
参 考 答 案
1-5 DCACD 6-10 CDCCC 11-12 AC
13．52-
14. ()()22
222x y -+-= 15. 27+ 16. 12 17．解：（1
）由已知2(sin cos )AcosB AsinB +=
∴2sin()A B +=……3分
又A B C π++=，
∴sin 2
C =
.在锐角ABC ∆中，60C =︒ ……7分 （2
）由韦达定理，2a b ab +==，
∴1sin 22
S ab C ∆==……10分
由余弦定理：2222
2cos ()31266c a b ab C a b ab =+-=+-=-=
∴c =
……12分
18．解：(1)因为侧面11ABB A 是圆柱的的轴截面，故AB 是底面圆的直径，又
C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点，所以AC BC ⊥ ……2分
又圆柱母线1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
所以1AA ⊥BC ，又1AA AC A =，所以BC ⊥平面1A AC ，
因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC
⊥平面1A AC ； ……4分
(2)法1：设圆柱的底面半径为r ，母线长度为h ，
r C B C A 21111==则 分
分
分
设的高是四棱锥故面又面面又在圆柱中是底面圆的直径圆柱
13113
2
319,C ,B 221111111111111111111
111111111
1111111111⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⊥∴=⊥∴⊂⊥⊥∴-h r V hr h S V h C A BC C B A C A BC
C B C A C C C B C A CC C B A C A C B A CC C B C A A BC C B BC C B A π
故四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比为2:3π. ……12分
(2)法2：设圆柱的底面半径为r ，母线长度为h ，
当点C 是弧AB 的中点时，三角形ABC 的面积为2
r ，
三棱柱111ABC A B C -的体积为2
r h ，三棱锥1A ABC -的体积为2
1
3
r h ，
四棱锥111A BCC B -的体积为2
2212
33
r h r h r h -
=， ……8分 圆柱的体积为2
r h π， ……10分 四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比为2:3π.
……12分
19．解: (Ⅰ)设该厂本月生产轿车为n 辆,
由题意得,
480
16016
80+=n ,所以n=3200，z=3200-160-480-2400-720-960=640. … 3分 (Ⅱ)设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以
5
640960640m
=+,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作
S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1, B 1),(S 1, B 2) ,(S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2),(S 2 ,B 3),(S 1, S 2),(B 1 ,B 2),(B 2 ,B 3),(B 1 ,B 3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3)，(S 2 ,B 1),(S 2 ,B 2),(S 2 ,B 3),(S 1, S 2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为
710
. ……8分
(Ⅲ)样本的平均数为1
(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98
x =
+++++++=, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的数为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率为4
386=. ……12分
20．解：（1）由已知得：1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+即
111n n
S S n n
+-=+勤 ……2分 ∴{
}n
S n
是等差数列，首项为2，公差为1，2n S n n ∴=+ ……4分
12n n n a S S n -∴=-= 当1n =时，12a =也适合上式
2n a n ∴=
……6分 （2）由（1）得，22()3
n
n b n =⋅
……7分 121
(1)3n n b b n
+=+ ， ……8分
∴当1n =时，12b b < 当2n =时，23b b =，当3n ≥时，1n n b b +>
∴第二、三项取最大值为16
9
，
……10分
∵n b M <对任意的n *
N ∈恒成立，∴n b 的最大值小于M ，∴169
M >.
所以，M 的取值范围16
(,)9
+∞.
……12分
21．解：（I ）设椭圆2222:1(0),y x C a b a b
+=>>设222
c a b =-
由条件知2,22a c c c a -=
=1,2a b c ∴===
故椭圆C 的方程为：2
2
112
x y += ……4分 （Ⅱ）设l ：y kx m =+，联立 2
2
21
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩ ，
消去y 并化简得：2
2
2
(2)2(1)0k x kmx m +++-=,
……5分 22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∆=-+-=-+>
……6分
设1122(,),(,)A x y B x y ，则
12222km x x k -+=+,21221
2
m x x k -=+
……7分
因3AP PB = 即123x x -= 122
2
122
23x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩ 消 2x 得212123()4x x x x ++=0 2222213()4022
km m k k --∴+=++
整理得 2
2
2
2
4220k m m k +--=
……9分
当2
14m =时，上式不成立； ∴214m ≠.此时22
22241
m k m -=-
因3AP PB = 0k ∴≠22
22041
m m -∴>-2
114m ∴<<，即112m -<<-或112m << ∴所求m 的取值范围为1
1(1,)(,1)22
-- ……12分 22．解：(Ⅰ) ()f x ' =
1
21x x a
--+
……2分
∵x =0时，f (x )取得极值，∴(0)f '=0，
……3分
故
1
2010a
-⨯-+ =0，解得a =1.经检验a =1符合题意. ……4分
(Ⅱ)由a =1知f (x )=ln(x +1)-x 2 - x ，由f (x )= 5
2
x -+b , 得ln(x +1)-x 2+ 32x -b =0，令φ(x )= ln(x +1)-x 2+ 3
2x -b ，
则f (x )= 5
2
x -+b 在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x )=0在[0，2]
恰有两个不同实数根．
……5分 13(45)(1)
()2122(1)
x x x x x x ϕ-+-'=
-+=
++，
……8分
当x ∈(O ，1)时，()x ϕ' >O ，于是φ(x )在(O ，1)上单调递增； 当x ∈(1，2)时，()x ϕ' <0，于是φ(x )在(1，2)上单调递减．
……8分
依题意有(0)0,3(1)ln(11)10,2(2)ln(12)430,
b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪
=+-+->⎨⎪
=+-+-≤⎪⎩ ∴ln3 -1≤b <ln2 +12. ……9分
(Ⅲ) f (x )=ln(x +1)-x 2 –x 的定义域为{x |x > -1}， ……10分 由(Ⅰ)知(23)
()(1)
x x f x x -+'=
+，
……11分
令()f x '=0得，x =0或x = -
3
2
(舍去)，∴当-1<x <0时，()f x '>0，f (x )单调递增； 当x >0时，()f x '<0，f (x )单调递减.∴f (0)为f (x )在(-1,+∞)上的最大值.……12分 ∴f (x )≤ f (0)，故ln(x +1)-x 2-x ≤0(当且仅当x =0时，等号成立). ……13分
对任意正整数n ，取x =
1n >0得，ln(1n +1)< 1n +21n ，故ln(1n n +)<21n n
+. ……14分。