【精品】2020年湘豫名校联考高三数学(理科)6月模拟试题(含解析)

2020年湘豫名校联考高三数学（理科)6月模拟试题
一、单选题
1．若复数z 满足24iz i =+（其中i 为虚数单位），在复平面内z 对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．设b R ∈，若函数()142
x x f x b +=-+在[]1,1-上的最大值是3，则其在[]1,1-上的最小值是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-
3．若函数()||f x x a =-在区间(2019,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2019,)+∞ B ．(,2019)-∞ C ．(2019,)+∞ D ．(,2019]-∞
4．以下四个关系：{}0∅∈，0∈∅，{}{}0∅⊆，{}0≠
∅⊂，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5．一个几何体的三视图如图所示，其轴截面的面积为6，其中正视图与侧视图均为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积为 （）
A ．653π
B ．654
π C ．6512π D ． 6．若m ∈R ，则“m >4”是“方程
x 2
m−4−y 2
m+1=1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．设[]1,10x ∈，则5x ≤的概率为（ ）
A ．13
B ．49
C ．310
D ．25
8．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”.在数列{}n a 中，若98n a n n =+-，则数列{}n a 的“谷值点”为（ ） A ．2 B ．7 C ．2，7 D ．2，3，7
9．若∃x 0∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A ．(,-∞
B ．(⎤⎦
C ．92⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
D ．{}3 10．过抛物线24y x =的焦点作两条垂直的弦,AB CD ,则11AB CD
+=（ ） A ．2 B ．4 C ．12 D ．14
11．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）
A ．16
B ．8
C ．10
D ．24
12．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有4个白球，2个红球．从袋中不放回地逐个取球，取完红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量X ，则(3)P X ==（ ） A ．
215 B ．25 C ．110 D ．120
二、填空题
13．已知向量a b ，的夹角为60︒，且||1,||2a b ==，则(2)=a a b ⋅+________.
14．已知0sin n xdx π
=⎰，则)()611n x -的展开式中4x 的系数为________.
15．已知数列{}n x 满足()1211151,,,2,3,4222
n n n x x x x x n -+=
==+=，…，则数列{}n x 的前n 项和n S =_______． 16．曲线1ln(1)2
y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．
三、解答题
17．已知ABC ∆的面积为S ，且.AB AC S ⋅=
（1）求sin cos ,tan 2A A A ,的值；
（2）若,6,4B CA CB π
=-=求ABC ∆的面积S .
18．分别求满足下列条件的椭圆标准方程：
（1）中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(2,0)-，1)-；
（2）离心率2
e =，且与椭圆2211612y x +=有相同焦点. 19．设函数()e cos ,
()x f x x g x =为()f x 的导函数． （1）求()f x 的单调区间；
（2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭
； （3）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛
⎫π+
π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x π
π
π-+-<-． 20．己知函数()||||f x x a x b =-++
（1）若1a =，2b =，求不等式()5f x ≤的解；
（2）对任意0a >，0b >，试确定函数()y f x =的最小值M （用含a ，b 的代数式表示），若正数a 、b 满足42a b ab +=，则a 、b 分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值.
21．如图（1），ABC ∆中，90ABC ∠=，AB BC ==M 为AC 中点，现将ABM ∆沿着
BM 边折起，如图（2）所示.
（Ⅰ）求证：平面BCM ⊥平面ACM .
（Ⅱ）若平面ABM ⊥平面BCM ，求三棱锥B ACM -外接球的直径.
22．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参
数方程为212x t y =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线()12sin :21cos x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）. （1）求直线l 及曲线1C 的极坐标方程；
（2）若曲线()2:3C R π
θρ=∈与直线l 和曲线1C 分别交于异于原点A ，B 的两点，求AB 的值.
23．为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)
(1)求的值；
(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.
参考答案
1．D
根据复数除法运算求得42z i =-，根据复数的几何意义可得对应的点的坐标，从而得到结果. 由题意得：()2242442421
i i i i z i i i ++-+====-- z ∴对应的点的坐标为：()4,2-，位于第四象限
本题正确选项：D
本题考查复数的几何意义，关键是利用复数除法运算求出复数，属于基础题.
2．A 设1
2,,22x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则()()2
2211f x t t b t b =-+=-+-，利用二次函数的性质求解即可. ()()
2142222.x x x x f x b b +=-+=-⋅+设2,x t = 则()()22211f x t t b t b =-+=-+-. 因为[]1,1,x ∈-所以1
,2.2
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
当1t =时，()()min 11f x f b ==-； 当2t =时，()max 3f x =，即113, 3.b b +-==于是()min 2.f x =故选A.
本题主要考查指数函数的性质以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.
3．D
由题意得，()||f x x a =-在[,)a +∞上单调递增，可求得a 的取值范围.
由题意得，函数()||f x x a =-在区间(,]a -∞上单调递减，在区间[,)a +∞上单调递增， 且()||f x x a =-在区间(2019,)+∞上单调递增，所以2019a ≤.
故选D.
本题考查了含绝对值函数单调性的性质，属于基础题.
4．A
根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断.
解：集合与集合间的关系是⊆，因此{}0∅∈错误，{}{}0∅⊆错误，空集不含有任何元素，因此
0∈∅错误，∅ {}0正确，因此正确的是有1个，
故选：A
本题考查元素与集合，集合与集合的关系，属于基础题.
5．B
由三视图可得该几何体为一个圆台，上下底面圆的半径分别为1,2，由轴截面的面积，求得2h =，再由求得性质，求得求得半径，利用球的表面积公式，即可求解，得到答案.
该几何体为一个圆台，上下底面圆的半径分别为1,2，
设其高为h ，由轴截面的面积为6，得2462
h +=（），解得2h =， 设圆台外接球的半径为R ，
2，解得26516
R =， 外接球的表面积为26544
S R ππ==，故选B. 本题考查了几何体的三视图及球的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
6．A
结合双曲线的定义求出m 的范围，结合不等式的关系即可得到结论．
若方程x 2m−4−y 2m+1=1表示双曲线，则(m −4)⋅(m +1)>0， 解得m <−1或m >4，
故“m >4”是“方程
x 2m−4−y 2m+1=1表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A ．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线方程的特点求出m 的范围是解决本题的关键 7．B
解出绝对值不等式，得到区间长度，再由几何概率中的长度型公式，得到结果.
已知[]1,10x ∈，5x ≤等价于-55x ≤≤,因为x []
1,10∈，故最终x 的范围是15x ≤≤,概率为：514.1019
-=- 故答案为：B.。