内蒙古赤峰二中2020学年高二数学上学期第二次月考试题 理(含解析)

2020学年内蒙古赤峰二中高二上学期第二次月考数学（理）试题 注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数的虚部为 A ． B ． C ． D ．
2．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a ，b)内可导且单调递增，则在(a ，b)内，
恒成立．因为在(－1，1)内可导且单调递增，所以在(－1，1)内，
恒成立．以上推理中
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．结论正确
D ．推理形式错误
3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有偶数根，那么，，中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是 A ．假设，，不都是偶数
B ．假设，，至多有两个是偶数
C ．假设，，至多有一个是偶数
D ．假设，，都不是偶数
4．
0sin xdx π⎰的值为 A ．2π
B ．π
C ．1
D ．2 5．①已知是三角形一边的边长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看作三角形的底边长和高，可得到扇形的面积是；②由 ，可得到，则①、②两个推理过程依次是 A ．类比推理、归纳推理 B ．类比推理、演绎推理 C ．归纳推理、类比推理 D ．归纳推理、演绎推理 6．用数学归纳法证明：“”时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是 A ． B ． C ． D ． 7．已知抛物线C ： 的焦点为为抛物线C 上任意一点，若，则的最小值是 A ． B ．6 C ． D ． 8．如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是 A ． B ． C ． D ．0 9．将正整数排成下表：
此卷只装订不密封 班
级
姓名
准
考证
号
考
场号
座位
号
则在表中，数字2020出现在
A ．第44行第80列
B ．第45行第81列
C ．第44行第81列
D ．第45行第80列
10．函数的图像大致是 A ． B ． C ． D ．
11．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e 的最大值为
A ．
B ．
C ．2
D ．
12．设是函数的导函数，且，（
为自然对数的底数），则不等式的解集为
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为____________.
14．已知为虚数单位，复数满足，则_________．
15．已知下列等式： ，，，
，…，，则推测 __________．
16．若函数在上不单调，则的取值范围是____． 三、解答题 17．已知函数f (x )＝x －1＋ (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA=PD ，AB ⊥AD ，AB=1，AD=2， 5AC CD ==. （1）求证：PD ⊥平面PAB ； （2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 19．已知函数 . （1）当时，求函数的极值； （2）当时，讨论函数的单调性． 20．已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，侧面是等腰直角三角形，，，点是棱的中点．
（1）证明：平面
平面； （2）求锐二面角的余弦值． 21．已知椭圆
的左右焦点分别为，长轴长为4，
的面积的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线交椭圆于两点,且,求
的面积.
22．已知函数()1ln x f x x ax
-=+ （Ⅰ）若函数()f x 在1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，求正实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若关于x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围．
2020学年内蒙古赤峰二中
高二上学期第二次月考数学（理）试题
数学答案
参考答案
1．C
【解析】
,虚部为,故选C.
2．A
【解析】
【分析】
函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增,.
【详解】
在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，恒成立，故大前提错误，故选A.
【点睛】
函数在某个区间内的单调性与函数在这个区间的导函数之间关系：
（1）若函数在某个区间内有，则函数在这个区间内单调递增（递减）；
（2）若函数在某个区间内是增函数（减函数），则.
3．D
【解析】
试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应
为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选D.
考点：命题的否定.
4．D
【解析】
试题分析：
0sin cos
0 xdx x
ππ
=-
⎰2=．考点：微积分基本定理．
5．A
【解析】
试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．
详解：
①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；
②由特殊到一般，故推理为归纳推理．
故选：A．
点睛：本题考查的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，熟练掌握三种推理方式的定义及特征是解答本题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
分别写出与时左边的代数式，两式相除化简即可得结果.
【详解】
用数学归纳法证明
时，
时,左侧，
时，左侧
，
从到左边需增乘的代数式是
，故选D.
【点睛】
项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.
7．D
【解析】
抛物线上的点到焦点距离到准线的距离，
到准线的距离到准线的距离．
的最小值是，故选D．
8．C
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.
【详解】
以AC 的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：
,，，，
向量,，
.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．B
【解析】
【分析】
由图可知第行有个数字，前行的数字个数为
个，进而根据与2020大小关系进而判断出2020所在的行数，再根据和第45行的数字个数，从而求得2020所在的列.
【详解】
由图可知第行有个数字，
前行的数字个数为个，
，且，
在第45 行，
又，且45行有个数字，
在第，
数字2020出现在第45行第81列，故选B .
【点睛】
本题主要考查了等差数列的前项和公式，以及归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
10．B
【解析】
解：因为
可见在x>0时，0<x<1,f(x)递增；x>1，f(x)递减，则可排除C,D，然后看最大值x=1时，为-1/2，因此图像选B
11．D
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义可得,结合, 可得，
根据焦半径的范围，可得到关于的不等式，从而可得结果.
【详解】
根据双曲线的定义可得,结合,
可得，由焦半径的范围可得，
，解得
，
即双曲线的离心率的最大值为，故选D.
【点睛】
本题主要考查了双曲线定义、离心率以及双曲线的简单性质，属于中档题. 求离心率范围问题
应利用圆锥曲线中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的最值.本题是利用双
曲线的定义求出焦半径，利用焦半径构造出关于的不等式，最后解出的最值.
12．C
【解析】
【分析】
令，由，即函数为单调递增函数，令
，则，把不等式转化为，进而转化为，
即可求解.
【详解】
由题意，函数满足，即，
令，则，即函数为单调递增函数，
令，则，
所以不等式，即，转化为，即，即
又由，所以，
所以不等式可转化为，所以，即，解得，
即原不等式的解集为，故选C.
【点睛】
本题主要考查了构造新函数，利用导数判定函数的单调性，求解不等式问题，其中解答中，根
据题意构造新函数，利用导数得到新函数的单调性，合理利用新函数的单调性求解不等式是解答的
关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
13．4
【解析】试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线3
y x
=与
直线4
y x
=在第一象限所围成饿图形的面积是()
2
3242
1
42|844
4
x x dx x x
⎛⎫
-=-=-=
⎪
⎝⎭
⎰，即围成
的封闭图形的面积为4．
考点：利用定积分求解曲边形的面积.
14．
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求得,
再代入复数模的计算公式求解.
【详解】
由，得，
，故答案为.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，
掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
15．.
【解析】
分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知中的等式，分析根号中分式分子和分母的变化规律，得到a，b 值．
详解：由已知中，
，
，
，
，
…，
归纳可得：第n个等式为：
当n +1=10时，a=10，b=99，
故a+b=109，
故答案为：109.
点睛：归纳推理是数学中一种重要的推理方法，是由特殊到一般、由个别到全部的推理，常见的是在数列中的猜想，其关键在于通过所给前几项或前几个图形，分析前后联系或变化规律，以便进一步作出猜想．
16．0
【解析】
此题考查导数的应用；，所以当
时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以
17．（1）e（2）（y＝(1－e)x－1.
【解析】
【分析】
（1）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；
（2）设切点为（x0，y0），求出函数的切线方程，求出k即可得到结论．
【详解】
解(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f ′(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.
设切点为(x0，y0)，
∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①
f′(x0)＝1－＝k，②
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.
若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.
∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义的应用，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，要求熟练掌握导数的应用．
18．(1)见解析；（2）
3
sinθ=
【解析】试题分析：（1）由条件得AB⊥平面PAD，因此AB PD
⊥，再结合,
PD PA
⊥
PA AB A
⋂=，可得PD⊥平面PAB。

（2）取AD的中点O，连PO，CO，可证得OP,OA,OC两两垂直，建立空间直角坐标系，用向量的运算求解。

试题解析：
（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD, 平面PAD ⋂平面ABCD=AD, AB ⊥AD ，
∴AB ⊥平面PAD ，
∵PD ⊂平面PAD ，
∴AB PD ⊥,
又,PD PA PA AB A ⊥⋂=，
∴ PD ⊥平面PAB 。

（2）取AD 的中点O ，连PO ，CO 。

∵5AC CD ==，
∴CO ⊥AD ，
∵PA=PD ， ∴PO ⊥AD ，
∴OP,OA,OC 两两垂直，
以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，
则()()()()0,0,1,1,1,0,2,0,0,0,1,0P B C D -。

∴()1,1,1PB =-u u u v 。

设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =v ，
由()()()(),,0,1,10{ ,,2,0,120n PD x y z y z n PC x y z x z ⋅=⋅--=--=⋅=⋅-=-=u u u v v u u u v v ，得2
{ 2y x
z x =-=。

令1x =，则()1,2,2n =-v 。

设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，
则3
sin cos ,33n PB n PB n PB θ⋅====⨯u u u v
v u u u v v u u u v v .
∴直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为3。

点睛：利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面的夹角．即设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|。

19．（1）f （x ）的极小值为4，无极大值．（2）当a ＜﹣2时f （x ），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f （x ）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a ＜0时，f （x ）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）． 【解析】 【分析】 (1)当时，求出函数的导数，由求方程的根，判断所求根两边导函数的符号即可得到函数的极值；(2) 求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间. . 【详解】 （1）依题意知f （x ）的定义域为（0，+∞）， 当a=2时，， ， 令f′（x ）=0，解得x= ， 当0＜x ＜时，f′（x ）＜0； 当x≥时，f′（x ）＞0 又∵f （）=2+2=4
∴f（x ）的极小值为4，无极大值．
（2）
当a＜﹣2时，﹣＜，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞，
令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；
当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣，
令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；
当a=﹣2时，，
综上所述，当a＜﹣2时f（x）的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣
，）；
当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，
﹣）．
【点睛】
本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在
处取极小值.
20．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】
试题分析：（1）平面ACD，又EM//BF，所以平面ACD，所以平面
平面；（2）建立空间直角坐标系，求得两个法向量,，求出二面角。

试题解析：
（I）证明：取AC的中点F，连接BF，
因为AB＝BC，所以，平面ABC,所以CD.
又所以平面ACD.①
因为AM=MD，AF=CF，所以.
因为，所以//MF，
所以四边形BFME是平行四边形.所以EM//BF.②
由①②,得平面ACD，所以平面平面；
（II）BE平面ABC，
又，
以点B为原点，直线BC、BA、BE分别为x,y,z轴，
建立空间直角坐标系B-xyz.
由，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(2,0,2).
由中点坐标公式得，,，
设向量为平面BMC的一个法向量，则即
令y=1,得x=0，z=－1，即,
由（I）知，是平面ACD的一个法向量.
设二面角B－CM－A的平面角为，
则，
又二面角B－CM －A为锐二面角，故.
21．（1）；（2）
【解析】
【分析】
⑴由已知条件长轴长为4求出的值，面积最大时P点位于短轴的顶点，故可列出方程组求出的值，可以得到椭圆的标准方程
⑵设设直线的方程，由，计算出
，表示出三角形面积代入点坐标计算结果【详解】
由题意长轴长为4，则，可得，的面积的最大值为
即得，解得
所以椭圆的标准方程：
（2）设直线的方程为
与椭圆联立并化简得
设，则
由得
，解得
所以
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，并求解三角形面积，在解题过程中联立直线与椭圆方程，运用韦达定理来求三角形的面积。

22．（Ⅰ）2
a≥;（Ⅱ）
13
{|ln2}
22
e
m m
-
-<≤.
【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数()
f x的增区间为
1
,
a
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭，
1
,
2
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭应为其子集，故可求实数a的范围.
（Ⅱ）方程在
1
,e
e
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上有两个实数根可以转化为直线y m
=与函数()1ln
2
x
g x x
x
-
=+的图像有两个不同的交点，利用导数刻画()
g x的图像后可以得到实数m的取值范围.
详解：（Ⅰ）()22
111
ax
f x
x ax ax
=
'
-
=-，
因为a为正实数，由定义域知0
x>，所以函数的单调递增区间为
1
,
a
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭.
因为函数()
f x在
1
,
2
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭上为增函数，所以
11
2
a
<≤，所以2
a≥.
（Ⅱ）因为方程12ln20
x x x mx
-+-=在区间
1
,e
e
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
内恰有两个相异的实根，故方程
1
ln0
2
x
x m
x
-
+-=在区间
1
,e
e
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
内恰有两个相异的实根即
方程
1
ln
2
x
x m
x
-
+=在区间
1
,e
e
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
内恰有两个相异的实根.
令()
1
ln
2
x
g x x
x
-
=+，则()22
1121
22
x
g x
x x x
-
=-+=
'，
当
11
,
2
x
e
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
时，()
'0
g x<，()
g x在
11
,
2
e
⎛⎫
⎪
⎝⎭
为减函数；
当
1
,
2
x e
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
时，()
'0
g x>，()
g x在
1
,
2
e
⎛⎫
⎪
⎝⎭
为增函数.
()111
ln10
222
e e e
g e e
e e e
--+
=+=+=>
1
1
111
2ln ln20
1
222
2
2
g
-
⎛⎫
=+=-<
⎪
⎝⎭⨯
()
1
1
1113
ln10
122
2
e e
e
g g e
e e
e
---
⎛⎫
=+=-=<<
⎪
⎝⎭⨯
()
y g x
=的图像如图所示：
要使函数()
1
ln
2
x
g x x
x
-
=+的图象与函数y m
=的图象在区间
1
,e
e
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
内恰有两个交点，则要满足
11
2
g m g
e
⎛⎫⎛⎫
<≤
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，所以m的取值范围为
13
ln2
22
e
m
-
-<≤.
点睛：含参数的方程的解的个数的讨论，可以参变分离后转化为动直线与定曲线的交点的个数.定曲线的刻画需以导数为工具讨论函数的单调性、极值及区间端点处的函数值等.。