四川省乐山市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题(3)含解析

四川省乐山市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题（3）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x 双，列出方程（ ） A ．10%x ＝330 B ．（1﹣10%）x ＝330 C ．（1﹣10%）2x ＝330
D ．（1+10%）x ＝330
2．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x 辆车，则可列方程（ ） A ．3(2)29x x -=+ B ．3(2)29x x +=- C ．
9
232
x x -+= D ．
9
232
x x +-=
3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ；B 、E 是半
圆弧的三等分点，»BD
的长为43
π
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．4633
π-
B ．8933
π C ．
33223
π
-
D ．8633
π
5．计算3()a a •- 的结果是（ ）
A．a2B．-a2C．a4D．-a4
6．如图，四边形ABCE内接于⊙O，∠DCE=50°，则∠BOE=（）
A．100°B．50°C．70°D．130°
7．如图是由6个完全相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（）
A．B．
C．D．
8．下列运算正确的是（）
A．x•x4=x5B．x6÷x3=x2C．3x2﹣x2=3 D．（2x2）3=6x6
9．已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是( )
A．B．C．D
10．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC 于点E，则DE的长是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
11．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，2）
C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
D ．图象与y 轴的交点坐标为（0，2）
12．若代数式2x 2+3x ﹣1的值为1，则代数式4x 2+6x ﹣1的值为（ ） A ．﹣3
B ．﹣1
C ．1
D ．3
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．在实数范围内分解因式：226x - =_________
14．如图，直线(0)y kx k =>交O e 于点A ，B ，O e 与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于点D ，E ，
AD ，BE 的延长线相交于点C ，则:CB CD 的值是_________．
15．如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB=8，AD=7，E 为AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP ），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是_____________．
16．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PC=6，BC ：AC=1：2，则AB 的长为_____．
17．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=90°，BC=CD=4，AD=25 ，若,AD a DC b ==u u u r u u u r r r ，
用a r 、b r 表示DB u u u r
=_____．
18．将多项式32
m mn -因式分解的结果是 ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:
通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．
20．（6分）九（1）班同学分成甲、乙两组，开展“四个城市建设”知识竞赛，满分得5分，得分均为整数．小马虎根据竞赛成绩，绘制了如图所示的统计图．经确认，扇形统计图是正确的，条形统计图也只有乙组成绩统计有一处错误．
（1）指出条形统计图中存在的错误，并求出正确值；
（2）若成绩达到3分及以上为合格，该校九年级有800名学生，请估计成绩未达到合格的有多少名？（3）九（1）班张明、李刚两位成绩优秀的同学被选中参加市里组织的“四个城市建设”知识竞赛．预赛分为A、B、C、D四组进行，选手由抽签确定．张明、李刚两名同学恰好分在同一组的概率是多少？21．（6分）如图，点A（m，m＋1），B（m＋1，2m－3）都在反比例函数的图象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．
22．（8分）自学下面材料后，解答问题。

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。

如：
223
0;
11
x x
x x
-+
>
+-
<0等。

那么如何求出它们的解集呢?
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。

其字母表达式为：
若a>0,b>0,则a
b
>0;若a<0,b<0,则
a
b
>0；
若a>0,b<0,则a
b
<0;若a<0,b>0,则
a
b
<0.
反之：若a
b
>0,则
a
b
>
>
⎧
⎨
⎩
或
a
b
<
<
⎧
⎨
⎩
，
（1）若a
b
<0，则___或___.
（2）根据上述规律,求不等式
2
1
x
x
-
+
>0的解集.
23．（8分）观察下列多面体，并把下表补充完整.
名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱
图形
顶点数a 6 10 12
棱数b9 12
面数c 5 8
观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式.
24．（10分）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=1OD，OE=1OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；
（1）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图1．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
25．（10分）已知关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=1．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=2x2，求m的值．
26．（12分）先化简，后求值：（1﹣
1
1
a+
）÷（
2
221
a a
a a
-
++
），其中a＝1．
27．（12分）如图，一条公路的两侧互相平行，某课外兴趣小组在公路一侧AE的点A处测得公路对面的点C与AE的夹角∠CAE=30°，沿着AE方向前进15米到点B处测得∠CBE=45°，求公路的宽度．（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
解：设上个月卖出x双，根据题意得：（1+10%）x=1．故选D．
2．A
【解析】
【分析】
根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余1个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【详解】
设有x辆车，则可列方程：
3（x-2）=2x+1．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
3．D
【解析】
【分析】
找到从正面、左面、上看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【详解】
解：此几何体的主视图有两排，从上往下分别有1，3个正方形；
左视图有二列，从左往右分别有2，1个正方形；
俯视图有三列，从上往下分别有3，1个正方形，
故选A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，关键是掌握三视图所看的位置．掌握定义是关键．
此题主要考查了简单组合体的三视图，准确把握观察角度是解题关键．
4．D
【解析】
【分析】
连接BD，BE，BO，EO，先根据B、E是半圆弧的三等分点求出圆心角∠BOD的度数，再利用弧长公式求出半圆的半径R，再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为S△ABC﹣S扇形BOE，然后分别求出面积相减即可得出答案.
【详解】
解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAD＝∠EBA＝30°，
∴BE∥AD，
∵»BD的长为4
3π，
∴604 1803
R
π
π
=
g g
解得：R＝4，
∴AB＝ADcos30°＝3，
∴BC＝1
2
AB＝3
∴AC ＝6，
∴S △ABC ＝
12×BC×AC ＝12
×6＝ ∵△BOE 和△ABE 同底等高， ∴△BOE 和△ABE 面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S △ABC ﹣S 扇形BOE ＝26048
3603
ππ⨯=
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键. 5．D 【解析】 【分析】
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】
解：34
()=a a a •--，
故选D ． 【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 6．A 【解析】 【分析】
根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求出∠A ，根据圆周角定理计算即可． 【详解】
Q 四边形ABCE 内接于⊙O ，
50A DCE ∴∠=∠=︒，
由圆周角定理可得，2100BOE A ∠=∠=︒， 故选：A ． 【点睛】
本题考查的知识点是圆的内接四边形性质，解题关键是熟记圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 7．B 【解析】
【分析】
根据题意找到从左面看得到的平面图形即可． 【详解】
这个立体图形的左视图是，
故选：B ． 【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握左视图所看的位置． 8．A 【解析】
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一计算作出判断： A 、x•x 4=x 5，原式计算正确，故本选项正确； B 、x 6÷x 3=x 3，原式计算错误，故本选项错误； C 、3x 2﹣x 2=2x 2，原式计算错误，故本选项错误； D 、（2x 2）3=8x ，原式计算错误，故本选项错误． 故选A ． 9．D 【解析】 【分析】
先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x 的取值范围，然后选择即可． 【详解】
由题意得，2x+y=10， 所以，y=-2x+10，
由三角形的三边关系得，(
)2210210x x x x x -+--+⎧⎨⎩＞①
＜②，
解不等式①得，x ＞2.5， 解不等式②的，x ＜5，
所以，不等式组的解集是2.5＜x ＜5，
正确反映y 与x 之间函数关系的图象是D 选项图象． 故选：D ． 10．C 【解析】 【分析】
连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长.
【详解】
连接AE，
∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，
由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，
在△AFE和△ADE中，
∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF=DE，
设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.
在直角△ECG中，根据勾股定理，得：
(6−x)2+9=(x+3)2，
解得x=2.
则DE=2.
【点睛】
熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.
11．B
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
【详解】
解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；
B、顶点坐标是（1，2），正确；
C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；
D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；
故选：B．
【点睛】
考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，
顶点坐标为（h ，k ）． 12．D 【解析】 【分析】
由2x 2+1x ﹣1＝1知2x 2+1x ＝2，代入原式2（2x 2+1x ）﹣1计算可得． 【详解】
解：∵2x 2+1x ﹣1＝1， ∴2x 2+1x ＝2，
则4x 2+6x ﹣1＝2（2x 2+1x ）﹣1 ＝2×2﹣1 ＝4﹣1 ＝1．
故本题答案为：D. 【点睛】
本题主要考查代数式的求值，运用整体代入的思想是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．2（）（． 【解析】 【分析】
先提取公因式2后，再把剩下的式子写成x 2-2，符合平方差公式的特点，可以继续分解． 【详解】
2x 2-6=2（x 2-3）=2（（．
故答案为2（（． 【点睛】
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
14 【解析】 【分析】
连接BD ，根据90EOD ∠=︒可得90AOD BOE ∠+∠=︒，并且根据圆的半径相等可得△OAD 、△OBE
都是等腰三角形，由三角形的内角和，可得∠C=45°，则有CDB △是等腰直角三角形，可得:CB CD =
即可求求解．
【详解】
解：如图示，连接BD ，
∵90EOD ∠=︒，
∴90AOD BOE ∠+∠=︒， ∵OB OE =，OA OD =，
∴OAD ODA ∠=∠，OBE OEB ∠=∠， ∴()1
360901352
OAD OBE ︒︒∠+∠=-=︒， ∴45ACB ∠=︒， ∵AB 是直径，
∴90ADB CDB ∠=∠=︒， ∴CDB △是等腰直角三角形， ∴:2CB CD =
【点睛】
本题考查圆的性质和直角三角形的性质，能够根据圆性质得出CDB △是等腰直角三角形是解题的关键． 15．5245 1 【解析】 【详解】 如图所示：
①当AP=AE=1时，∵∠BAD=90°，∴△AEP 是等腰直角三角形，∴底边2AE=52 ②当PE=AE=1时，∵BE=AB ﹣AE=8﹣1=3，∠B=90°，∴22PE BE -=4，∴底边22AB PB +2284+5
③当PA=PE 时，底边AE=1；
综上所述：等腰三角形AEP 的对边长为52451； 故答案为5251．
16．1 【解析】
PC 切⊙O 于点C ，则∠PCB=∠A ，∠P=∠P ， ∴△PCB ∽△PAC ，
∴
1
2
BP BC PC AC ==, ∵BP=1
2
PC=3，
∴PC 2=PB•PA ，即36=3•PA ， ∵PA=12 ∴AB=12-3=1． 故答案是：1. 17．
12
b a -r r 【解析】 【分析】
过点A 作AE ⊥DC ，利用向量知识解题. 【详解】
解：过点A 作AE ⊥DC 于E ， ∵AE ⊥DC ，BC ⊥DC ， ∴AE ∥BC ， 又∵AB ∥CD ，
∴四边形AECB 是矩形， ∴AB ＝EC ，AE ＝BC ＝4， ∴2
2
AD AE -()
2
2254-，
∴AB=EC=2=1
2
DC ， ∵DC b =u u u r r
，
∴12AB b =u u u r r ，
∵AD a =u u u r r ，
∴DA a =-u u u r
r
，
∴12
DB DA AB a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ，
故答案为12
b a -r r
.
【点睛】
向量知识只有使用沪教版(上海)教材的学生才学过，全国绝大部分地区将向量放在高中阶段学习. 18．m （m+n ）（m ﹣n ）． 【解析】
试题分析：原式=2
2
()m m n -=m （m+n ）（m ﹣n ）．故答案为：m （m+n ）（m ﹣n ）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．300米 【解析】 【详解】
解：设原来每天加固x 米，根据题意，得
．
去分母，得 1200+4200=18x （或18x=5400） 解得300x =．
检验：当300x =时，20x ≠（或分母不等于0）． ∴300x =是原方程的解． 答：该地驻军原来每天加固300米． 20．（1）见解析；（2）140人；（1）1
4
. 【解析】 【分析】
（1）分别利用条形统计图和扇形统计图得出总人数，进而得出错误的哪组； （2）求出1分以下所占的百分比即可估计成绩未达到合格的有多少名学生；
（1）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得张明、李刚两名同恰好分在同一组的概率．
（1）由统计图可得：
（1分）（2分）（4分）（5分）甲（人）0 1 7 6 4
乙（人） 2 2 5 8 4
全体（%） 5 12.5 10 15 17.5
乙组得分的人数统计有误，
理由：由条形统计图和扇形统计图的对应可得，
2÷5%=40，（1+2）÷12.5%=40，
（7+5）÷10%=40，（6+8）÷15%=40，（4+4）÷17.5%≠40，
故乙组得5分的人数统计有误，
正确人数应为：40×17.5%﹣4=1．
（2）800×（5%+12.5%）=140（人）；
（1）如图得：
∵共有16种等可能的结果，所选两人正好分在一组的有4种情况，
∴所选两人正好分在一组的概率是：
41
= 164
．
【点睛】
本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．（1）m＝3，k＝12；（2）或
【解析】
【分析】（1）把A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)代入反比例函数y＝k
x
，得k＝m(m＋1)＝(m＋3)(m－1)，
再求解；（2）用待定系数法求一次函数解析式；（3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，两线交于点P.根据平行四边形判定和勾股定理可求出M,N的坐标.
【详解】
解：(1)∵点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)都在反比例函数y＝k
x
的图像上，
∴k＝m(m＋1)＝(m＋3)(m－1)，
∴m2＋m＝m2＋2m－3，解得m＝3，
∴k＝3×(3＋1)＝12.
(2)∵m＝3，
∴A(3，4)，B(6，2)．
设直线AB的函数表达式为y＝k′x＋b(k′≠0)，
则
43
26
k b
k b
=+⎧
⎨
=+
'
'
⎩
解得2 3
6
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
'
∴直线AB的函数表达式为y＝－
2
3
x＋6.
（3）M(3，0)，N(0，2)或M(－3，0)，N(0，－2)．
解答过程如下：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，两线交于点P.
∵由(1)知：A(3，4)，B(6，2)，
∴AP＝PM＝2，BP＝PN＝3，
∴四边形ANMB是平行四边形，此时M(3，0)，N(0，2)．当M′(－3，0)，N′(0，－2)时，根据勾股定理能求出AM′＝BN′，AB＝M′N′，即四边形AM′N′B是平行四边形．故M(3，0)，N(0，2)或M(－3，0)，N(0，－2)．
【点睛】本题考核知识点：反比例函数综合. 解题关键点：熟记反比例函数的性质.
22．（1）
a
b
>
<
⎧
⎨
⎩
或
a
b
<
>
⎧
⎨
⎩
；（2）x>2或x<−1.
【解析】
【分析】
（1）根据两数相除，异号得负解答；
（2）先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．
【详解】
(1)若
a
b
>0,则
a
b
>
>
⎧
⎨
⎩
或
a
b
<
<
⎧
⎨
⎩
；
故答案为：00a b ><⎧⎨
⎩ 或0
0a b <>⎧⎨⎩
； （2）由上述规律可知,不等式转化为2010x x ->+>⎧⎨⎩或20
10
x x -<+<⎧⎨⎩，
所以，x>2或x<−1. 【点睛】
此题考查一元一次不等式组的应用，解题关键在于掌握掌握运算法则. 23．8，15，18，6，7；2a c b +-= 【解析】
分析：结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n 棱柱的关系，可知n 棱柱一定有（n+1）个面，1n 个顶点和3n 条棱，进而得出答案， 利用前面的规律得出a ，b ，c 之间的关系． 详解：填表如下： 名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数a 6 8 10 11 棱数b 9 11 15 18 面数c
5
6
7
8
根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n ，则它有n 个侧面，共有n+1个面，共有1n 个顶点，共有3n 条棱； 故a ，b ，c 之间的关系：a+c-b=1．
点睛：此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n 棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n 棱柱有（n+1）个面，1n 个顶点和3n 条棱是解题关键．
24．（1）见解析；（1）①30°或150°，②AF '的长最大值为2
22
+，此时0315α=． 【解析】 【分析】
（1）延长ED 交AG 于点H ，易证△AOG ≌△DOE ，得到∠AGO=∠DEO ，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；
（1）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
α=30°，
α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；
②当旋转到A 、O 、F′在一条直线上时，AF′的长最大，
AF′=AO+OF′=2
2
+1，此时α=315°． 【详解】
(1)如图1,延长ED 交AG 于点H,
∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点， ∴OA=OD ，OA ⊥OD ， ∵OG=OE ，
在△AOG 和△DOE 中，
90OA OD AOG DOE OG OE =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴△AOG ≌△DOE ， ∴∠AGO=∠DEO ， ∵∠AGO+∠GAO=90°， ∴∠GAO+∠DEO=90°， ∴∠AHE=90°， 即DE ⊥AG ；
(1)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况： (Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时， ∵OA=OD=
12OG=1
2
OG′， ∴在Rt △OAG′中,sin ∠AG′O=OA OG '=1
2
， ∴∠AG′O=30°， ∵OA ⊥OD,OA ⊥AG′， ∴OD ∥AG′,
∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘， 即α=30°；
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°−30°=150°.
综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.
②如图3,当旋转到A. O、F′在一条直线上时,AF′的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴2
，
∵OG=1OD，
∴2，∴OF′=1，
∴2
+1，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°.
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．
25．(1)见解析；（2）m=2
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式进行分析解答即可；
（2）用“因式分解法”解原方程，求得其两根，再结合已知条件分析解答即可. 【详解】
（1）∵在方程x 2﹣6mx+9m 2﹣9=1中，△=（﹣6m ）2﹣4（9m 2﹣9）=26m 2﹣26m 2+26=26＞1． ∴方程有两个不相等的实数根；
（2）关于x 的方程：x 2﹣6mx+9m 2﹣9=1可化为：[x ﹣（2m+2）][x ﹣（2m ﹣2）]=1， 解得：x=2m+2和x=2m-2， ∵2m+2＞2m ﹣2，x 1＞x 2， ∴x 1=2m+2，x 2=2m ﹣2， 又∵x 1=2x 2，
∴2m+2=2（2m ﹣2）解得：m=2． 【点睛】
（1）熟知“一元二次方程根的判别式：在一元二次方程2
0?
(0)ax bx c a ++=≠中，当240b ac ->时，原方程有两个不相等的实数根，当240b ac -=时，原方程有两个相等的实数根，当240b ac -<时，原方程没有实数根”是解答第1小题的关键；（2）能用“因式分解法”求得关于x 的方程x 2﹣6mx+9m 2﹣9=1的两个根是解答第2小题的关键. 26．
1
1
a a +-,2. 【解析】 【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 【详解】
解：原式＝()()
2111111a a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭+ ()()
2
111a a
a a a +=+-n
1
1
a a +=-， 当a ＝1时， 原式＝
31
31
+-＝2． 【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 27．公路的宽为20.5米． 【解析】 【分析】
作CD⊥AE，设CD=x米，由∠CBD=45°知BD=CD=x，根据tan∠CAD=CD
AD
,可得
x
15+x
=
3
，解之即
可．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥AE于点D，
设公路的宽CD=x米，
∵∠CBD=45°，
∴BD=CD=x，
在Rt△ACD中，∵∠CAE=30°，
∴tan∠CAD=CD
AD
=
3
3
，即
x
15+x
=
3
3
，
解得：x=153+15
2
≈20.5（米），
答：公路的宽为20.5米．
【点睛】
本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．。