大学课件高等数学下学期6-6曲面及其方程

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3. 双曲面
x2 a2
y2 b2
z02 c2
1
单叶双曲面
特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.
z z
O
x
yx
O
y
炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面的形状.
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x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
或
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
z
特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号.
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1
绕z轴旋转而成.
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c) 的交线为圆.
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(2) a b c
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2
z
O
y
x
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那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而
曲面S 就叫做方程的图形．
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以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点M 0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
第六节曲面及其方程
一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面五、小结
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一、曲面方程的概念
曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
（讨论旋转曲面）（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
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二、旋转曲面
旋转过程中的特征：
如图设 M ( x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
O
y
z x2 y2 cot x
M(x, y,z)
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例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋转单叶双曲面
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转双叶双曲面
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
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从以上三个例子可以看出求曲面方程的一般步骤： 1. 设坐标; 2. 根据题意列等式; 3. 代入坐标; 4. 化简得所求曲面方程.
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例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解根据题意有 z 1
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y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕y
轴和z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球面
（3）抛物线 y2 2 pz 绕z 轴； x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
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三、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L
将 z z1 , y1 x2 y2 代入
f ( y1, z1 ) 0
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将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得方程 f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
旋转曲面的概念(轴、母线)及求法; 柱面的概念(母线、准线); 截痕法; 椭球面、抛物面、双曲面. (熟知这几个常见曲面的特性)
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特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
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例 2 求与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2 的
点的全体所组成的曲面方程.
解设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
f y, x2 z2 0.
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总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的一个坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到 :
曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、负号)替代曲线方程中另一个变量即可.
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例 5 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，
的直线 y x.
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从柱面方程看柱面的特征：
只含x, y而缺z的方程F ( x, y) 0,在空间直角坐标系中表示平行于z轴的柱面, 其准线为xOy面上的曲线C. （其他类推）
实
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面
母线平行于x轴
例
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
母线平行于z轴
x2 2 pz 抛物柱面母线平行于y轴
所求方程为x2源自 y12z
42
116 .
3
3 9
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例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
垂直平分面的方程.
解设M( x, y, z)是所求平面上任一点，根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
x
O
y
注它分成上、下两个曲面.
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4. 椭圆抛物面
x2 y2 a2 b2 z
旋转抛物面
x2 y2 a2
z
XOZ平面上的抛物线
x2 a2
z
z
O
y
x
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5. 双曲抛物面
x2 y2 a2 b2 z
(马鞍面)
用截痕法讨论：
z
O
y
x
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五、小结
曲面方程的概念 F( x, y, z) 0;
相应地平面被称为一次曲面.
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1. 椭球锥面
x2 a2
y2 b2
z2
z
O
y
x
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2. 椭球面(椭圆面)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
O
z
y
O
x x
y
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椭球面的几种特殊情况:
(1) a b
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 a2
y2
ab2
z2 c2
1
旋转椭球面
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的
顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶
角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶
角为的圆锥面方程．
解 yoz面上直线方程为 z y cot
z
因为旋转轴为 z 轴,所以
只需将上面方程中的 y
改成z, 就可得到圆锥面
方程
•
• M1(0, y1, z1 )
所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 称为柱面的准线,
母
动直线L称为柱面的母线. 线
准线
LC
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柱面
z
举
例
O
x
y2 2x
y
抛物柱面
z
平面
O
y
x
y x
y2 2x表示母线平行于z y x 表示母线平行于z轴
轴的柱面, 其准线是xOy面的柱面, 其准线是xOy面上
上的抛物线 y2 2x.
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
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四、二次曲面
1. 二次曲面的定义三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
ax2 by2 cz2 exy fyz gzx lx my nz q 0 即为二次曲面. 其中a, b, c, e, f , g, l, m, n,q均为常数.
如:球面、某些柱面(圆柱面、抛物柱面、双曲柱面等)都是二次曲面.