反褶积及其应用

反褶积及其应用
刘能强
(中油测井技术服务有限责任公司　北京100043)
摘要　Schroeter、H ollaender和G ringarten等人解决了反褶积计算方法上稳定性问题,使反褶积方法应用于试井解释。

从反褶积的意义入手,论述了反褶积方法和Schroeter方法及其在试井解释中的应用。

反褶积方法存在一定局限性,但实例说明,它能综合测试全过程所探测的信息,帮助正确确定模型,得出比常规解释更多、更可靠的解释结果,是一个很有用的新方法、新工具。

关键词　褶积　反褶积　试井解释　应用　非线性回归
引 言
褶积(又名卷积)和反褶积(又名去卷积)是一种积分变换的数学方法,在许多方面得到了广泛应用。

用褶积解决试井解释中的问题,早就取得了很好成果;而反褶积,直到最近,Schroeter、H ollaender和G ringarten等人解决了其计算方法上的稳定性问题,使反褶积方法很快引起了试井界的广泛注意。

有专家认为,反褶积的应用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。

他们预言,随着测试新工具和新技术的增加和应用,以及与其它专业研究成果的更紧密结合,试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大。

反褶积方法
由实测资料构造出理想的、等效的、对应于相同时间段内以恒定产量生产条件下的压力变化,由此得到测试全部历程的压力响应,其探测范围要大得多,而且不存在叠加计算所带来的影响,也不存在产量史的不完整而造成的误差。

寻找到这些信息,便可获得比常规试井解释更多、更可靠的测试解释结果———这就是反褶积的大意和意义。

1.反褶积
从测试录取得到的资料是产量变化史q(t)和压力变化史Δp(t),这就是试井解释的对象,而试井解释的任务就是从这些资料识别测试层和测试井的类型并算出它们的各种参数。

实际上,由实测的压
力变化和产量资料计算
dΔp u
dln t
=t・Δp u′,是解释过程中至关要紧的一个步骤。

根据杜哈美(Duhamel)原理,得到研究压力降落和压力恢复的褶积方程为
p(t)=p i-∫t0q(τ)9Δp u(t-τ)
9(t-τ)d
τ
=p i-∫t0q(τ)Δp′u(t-τ)dτ(1)
Δp(t)=p
i
-p(t)=∫t0q(τ)9Δp u(t-τ)
9(t-τ)d
τ
=∫t0q(τ)Δp′u(t-τ)dτ(2)
其中 Δp
u
=Kh
0.9210qμB
Δp
Δp=p
i
-p wf(t)
式中:p
wf
(t)———开井生产t时刻井底压力,MPa;
t———测试井开井生产时间,h;
q———测试井产量,m3Πd;
p i———原始地层压力,MPa;
Δp
u———重整压力或单位产量下重整压力响应(以恒定1单位产量生产所造成压力变化)。

(2)式中,测试录取的两项资料,其中Δp(t)是褶积,q(t)则是构成此褶积的一个函数。

要通过解释得到构成此褶积的另一个函数
dΔp u
d t
=Δp u′,进而
2007年10月 油　气　井　测　试 第16卷　第5期
[作者简介]　刘能强,男,教授,长期从事试井评价、研究工作。

得到
d
Δp u dln t
=t ・Δp u ′,此过程就是反褶积。

2.Schroeter 方法
Schroeter 方法即是Schroeter 、H ollaender 和G ringarten 反褶积计算方法的简称。

这里只介绍此
方法梗概,其计算方法可参阅参考文献[2]。

通常是用试井解释诊断曲线———压力导数曲线(lg d Δp (t )dln t =lg t d Δp (t )d t
—lg t 曲线)来识别油藏
类型。

因而,想要得到的是d
Δp u dln t。

为此,Schroeter 等
人参照压力导数曲线,定义了两个新变量,即
σ=ln
Δt z (σ)=ln d p u (Δt )dln Δt =ln
d p u (σ
)d σ
事实上它们就是压力导数曲线的两个坐标,则
Δt =e σ
d
Δt =e σd σd p u (Δt )dln Δt =d p u (σ)d σ
=e z (σ
)d Δp (Δt )d (Δt )=1Δt d Δp u (Δt )dln (Δt )=1e
σe z (σ)
根据褶积的性质,有
f (t )・
g (t )=g (t )・f (t )
褶积方程(1)和(2)可分别写成
p (t )=p i -
∫ln t
-∞q (t -e σ)e
z (σ
)d σ(3)Δp =
∫ln t
-∞
q (t -e σ
)e
z (σ
)d σ
(4)
这里,构成褶积的两个函数是q (t -e σ
)和
e z (σ),它们都是复合函数。

运用上述褶积公式和最优化过程(此处Schro 2eter 方法是非线性回归方法),找出一个分段线性函
数z (σ
),也就是一条z (σ)—σ曲线,要求它能很好地拟合实测和理论的压力导数曲线,而拟合的时间范围是自生产开始直至最后一个数据录取点,也可以只包括若干个实测压力可靠的时间段。

这就是试井解释中的反褶积。

在这一反褶积中,最主要的“未知元”是z (σ
)—σ曲线。

还有两个附加可选“未知元”,一个是原始地层压力p i ,另一个是产量史容许误差限(在最优化过程中,需要它控制其收敛)。

最优化过程就是通过不断调整这三个未知元,使目标函数达到最小。

反褶积计算的本质就是最优化。

但它不是在解释结束时对模型的参数进行优化,而是选取一组有
代表性、离散的点,用以表示所要寻求的导数曲线,也就是要求寻求的导数曲线通过这些点,然后通过积分和褶积,进行选项和回归,不断反复地移动和调整曲线,直至它与所选的所有实测压力离散点完全重合。

在得到了反褶积结果之后
,再通过积分把它变换成为压力响应,在双对数坐标图上绘制出压差曲线和压力导数曲线,与恒定产量条件下压降模型的解释图版相拟合。

试井解释中的应用
1.某井A (引自K appa 公司的软件说明[3]
)
图1是某井A 永置式电子压力计测得的压力史及其对应的产量史,时间长达3000h ,
包括了若干次关井和长期的生产。

其中时间最长的两次关井称为关井1和关井2,它们分别历时200h 和300h ,其双对数曲线绘制在同一幅图中(见图2),彼此相当一致。

在变井筒储集效应之后,出现了很短的径向流动阶段,然后曲线上升了一个台阶,其原因可能是不渗透边界或流度变差的复合油藏反映。

从历时最长的关井2曲线末端看,似乎还存在
2油　气　井　测　试 2007年10月
恒压边界迹象。

选取这样一个模型进行解释,得到很好的双对数曲线拟合结果;用这一模型去解释关井1的资料,也可以得到类似的拟合结果。

但是,当进行全程压力史拟合检验时发现,解释结果是不正确的(见图1)。

压力的明显衰竭表明,不可能存在恒压边界。

这个信息在短期的压力恢复阶段并没有显现出来,但在比压力恢复阶段长得多的动态资料中,一定存在某些与压力衰竭有关的信息。

于是,考虑另外的模型,比如封闭油藏的模型,它的压力动态不但能与实测压力恢复的早期和中期段相拟合,而且在恢复前和后,也都能与实测压力史相拟合。

于是,会在适当远处加上某种或某些边界,以使压力能发生衰竭。

经过反复试验,最终得到可信、可靠的解释。

这是非常正常的思路和做法。

运用反褶积就可以又好又快地完成此项任务。

通过前述的回归过程,最后选取矩形封闭油藏模型,得到反褶积的结果。

它与该模型在恒定产量条件下的压降图版的拟合结果见图3,压力史拟合检验结果见图4。

就这样,我们选到了正确的模型,得到了令人满意的解释结果。

通过这个实例看到,反褶积的早期段受压力恢复资料的约束,即要求很好地拟合压力恢复阶段;而“尾端”则受其它资料的约束,即要求被调整到能和
其它阶段的压力变化(如例中的压力衰竭等)很好地拟合。

要是某个部分没有任何约束条件,则反褶积就用“总曲率最小化”的原则,选用最光滑的曲线。

这里我们又面对一个问题,在关井2的双对数曲线图中(见图2),压力导数曲线后期的下掉,误导我们作出恒压边界反映的判断。

实际上它是叠加所造成的后果,根本不代表测试层的任何性质。

这个问题,显然不靠反褶积是很难识别和解决的。

消除叠加效应,正是反褶积方法的优越性之一。

2.某井B (英国北海油田的一个实例[4]
)这个实例的特点是资料缺失。

某井B 在刚钻开时进行了一次DST 测试,后来在生产了一年半(约12000h )之后,又进行了一次生产测试。

这两次测试的开井生产时间都只有10h ,关井恢复时间也不超过20h 。

而在两次测试之间没有测量任何压力资料。

图5是其产量和压力史图,图6是两次测试的重整压力恢复双对数曲线,径向流动显然都已经出现,但历时都很短,根本谈不上任何边界反映。

然而,两次测试压力恢复的叠加函数曲线显示
3
第16卷　第5期 刘能强等:反褶积及其应用
出明显压力衰竭(见图7)。

分析可知,地层压力已经明显下降,它明确提示该油藏是个“封闭系统”。

图8是反褶积的结果。

图8从整个产量史和相隔一年半的两次压力测试资料(尽管其间没有任何压力资料)中,“提取”出油藏规模的信息,明显地显示出封闭系统的特征。

应用中的局限性
反褶积能综合测试全过程所探测到的信息,使
我们能够正确确定解释模型,得出比常规解释更多、更可靠的解释结果。

因此,它是一个很有用的新方法、新工具。

但它只不过是个非线性回归过程,而且是在模型未知的情况下,对模型的压力导数曲线进行的非线性回归。

因此,它也有局限性。

1.反褶积并不能当作黑箱使用,它只是个最优化过程。

在反褶积过程中产生的任何误差,都将积累并影响随后的整个过程。

反褶积是个反问题,而反问题总是多解的。

其计算过程要求若干控制参数或约束条件,由解释者在解释过程中进行调整。

因此,解释者必需具有相当的经验,在不同参数产生的不同反褶
积导数曲线中,选出最合理者,作为问题的解。

2.反褶积是以两个基本假设为前提的:①叠加原理适用。

事实上,反褶积计算的原理就是叠加原理。

但如果流动不是线性的,如出现非达西流或多相流等情形,反褶积计算就不正确;②测试过程中解释模型自始至终不会改变。

3.反褶积方法是在测得了相当多流动阶段的资料或长时期资料的情形下发挥作用的,如果只测得一条短时间的压降曲线,就不能使用;如果存在邻井干扰,反褶积方法也不能使用。

4.反褶积只是试井解释方法的一个很好的补
充,并不能替代现行的压力恢复分析。

在资料解释
当中,可以通过反褶积的综合分析,判断能得到哪些常规方法得不到的“额外”信息,而在最后,解释结果还得用实际资料的双对数曲线拟合和全程压力史拟合进行检验。

参　考　文　献
1　S Daungkaew ,F H ollaender and A C G ringarten.Frequently
Asked Questions in Well T est Analysis ,SPE 63077
2　Thomas v on Schroeter ,Florian H ollaender and Alain C
G ringarten.Deconv olution of Well T est Data as a N onlinear T o 2tal Least Squares Problem ,SPE 71574,20013　Olivier H ouz é,Didier Viturat and Ole S Fjaere.Dynamic Flow
Analysis 4　Alain C G ringarten.From S traight Lines to Deconv olution :the
Ev olution of the S tate of the Art in Well T est Analysis ,SPE 102079,2006
本文收稿日期:2007-08-22　编辑:王　军
4油　气　井　测　试 2007年10月
2007年10月 油　气　井　测　试 第16卷　第5期
WE LL TESTING(YOUQIJING CESHI)
V ol.16N o.5(Serial N o.103)2007
Abstracts
・R esearch of Theory&Method・
Deconvolution and I ts Application.2007,16(5):1～4
Liu Nengqiang(CNLC)
S tability of inverse conv olution calculating method has been res olved by Schroeter、H ollaender and G ringarten which makes it applied in well testing interpretation.From this sense,methods of deconv olution,Schroeter and their applications are discussed.Although deconv olution meth2 od has s ome limitations,it can test all detecting in formation during testing period com prehensively that helps to determine correct m odel and de2 rives m ore and much reliable results which is one of the new and helpful methods and tools.
K ey w ords:conv olution,inverse conv olution,well testing interpretation,application,non2linear regression
Determination Principle aboutT est Point Counting in Deliverability T est of G as Pool.2007,16(5):5～7
Liu Hua,Li Xiangfang,Sui Xiuxiang,Zhang Yi(CMOE K ey Laboratory o f Petroleum Engineering in China Univer sity o f Petroleum),Zhang Yi,Liu Yantao(Petroleum Engineering Department,Xi’an Petroleum Univer sity),Liu Yantao(No.3Oil Recovering Factory,Dagang Oil2 field)
Based on the filtration theory,the deliverability test theory and m odel are discussed and the relationship between coefficient of the binomial de2 liverability equation and the penetration rate,depth of pay zones and skin factor are analyzed.the principles of double points test,many points test and single point test are determined.I t is pointed out clearly that the numbers of test point has relationship with type of gas reserv oir,res2 erv oir physical characteristics,accuracy and testing method.F or actual ideal or approach gas pool,binomial points method is selected to derive binomial deliverability equation.while,for deviated from ideal gas reserv oirs and great change of formation parameters,many points method should be selected.The principle of determining test point provides a guiding reference for developing gas well efficiently.
K ey w ords:gas reserv oir,deliverability test,number of test point,permeability,skin factor
The Method for Productivity Equ ation of Low2Porosity and Low2Permeability G as Well Confirmed by Build2up of Pressure Data. 2007,16(5):8～9,11
Liao Huawei,Tang Hai,Lv Dongliang,Chen Junyu(South2West Univer sity),Shuai Yongqian(Tuha Oilfield Company)
Using conventional deliverability testing way to productivity of low porosity and low permeability gas well,testing time is long and cost is high. From the filtration theory,com paring the difference expression of destabilization turbulent flow equation of gas well and studying the productivity of it,the method of by build2up of pressure data the productivity to get equation of condense gas well is suggested which rises w ork efficiency and benefit.Analysis of field exam ple is proved that this method is reliable.
K ey w ords:low porosity and low percolation,gas well,build2up of pressure,productivity equation
An Improvement of Darcy’s La w With Threshold Pressure G radient.2007,16(5):10～11
Luo Yinfu(CMOE K ey Laboratory o f Petroleum Engineering in China Univer sity o f Petroleum),Long Zhengfeng(Chuan Dongbei Gas Field, South2West Oil and Gas Field Company),Xie Jianfei(Tarim Oilfield Company),Liu Guangtian(SINOPEC International Petroleum Explora2 tion&Production Corporation)
A proportional relationship between the threshold pressure gradient(TPG)and the exponent of m obility is found by the experiment results and the law of which has an im portant means for how to take measurements to decrease the TPG and guiding the development of low permeability reserv oirs.
K ey w ords:low permeability reserv oirs,Darcy’s Law,threshold pressure gradient
Dynamic Analysis for Pressure in Limit Conductivity V ertical Fracture Wells of T riple2Porosity R eservoir.2007,16(5):12～15
Cai Mingjin,Jia Yonglu(Xinan Petroleum Univer sity)
According to limit conductivity vertical fracture conducted by hydraulic fracture in triple porosity reserv oir,based on the Warant2R oot m odel in double porosity,mathematical m odel with continues point s ource has been built firstly.Furtherm ore,based on the principle of superposition of the continues point s ource,through superposition and integral to it,the formula of down hole pressure in laplace space to limit conductivity ver2 tical fracture m odel in triple porosity reserv oir can be ing numerical inversion,the type curves of pressure and its derivative to time can be drawn and the dynamic and in fluence factors can be discussed.
K ey w ords:triple porosity,vertical fracture,limit conductivity,hydraulic fracture,pressure per formance
・Evaluation&Application・
Application of Well Westing Data of Dra wdow n Curve and Build2up Curve and I ts Comp arison.2007,16(5):16～18
Han Bin,Yang Hao(Well Testing Company,Huabei Oilfield),Chen Yuanqian(China Petroleum Exploration Development Research Institute) Unsteady testing for oil and gas well includes testing of drawdown curve and build2up curve.F or a new well,it is an im portant w ork to deter2 mine initial reserv oir pressure,effective permeability,summary skin coefficient,supplementary pressure loss and flow efficiency.I t is not only by build2up curve to get them,but als o by drawdown curve to do.Theoretically,every parameter from both ways is same.T aking one of field exam ples of oil well integration testing drawdown curve and pressure recovery and using tw o kinds of interpreting methods,the calculated values of initial reserv oir pressure,effective permeability,summary skin coefficient,supplementary pressure loss and flow efficiency are same basical2 ly.。