高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章 空间向量与立体几何 单元检测(A卷)

第三章 空间向量与立体几何(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．以下命题中，不正确的个数为( )
①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③若a·b ＝0，b·c ＝0，则a ＝c ；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →
等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c
3．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( )
A ．x ＝6，y ＝15
B ．x ＝3，y ＝15
2
C ．x ＝3，y ＝15
D ．x ＝6，y ＝15
2
4．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →
垂直，则向量a 为( ) A ．(1,1,1)
B ．(－1，－1，－1)
C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
5．已知A (－1,0,1)，B (0,0,1)，C (2,2,2)，D (0,0,3)，则sin 〈AB →，CD →
〉等于( )
A ．－23 B.23 C.53 D ．－53
6．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75°
7．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )
A ．cos θ＝n·a
|n||a | B ．cos θ＝|n·a||n||a |
C ．sin θ＝n·a
|n||a | D ．sin θ＝|n·a||n||a |
8．若三点A (1，－2,1)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．不等边的锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形
9．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β
C ．α，β相交但不垂直
D ．以上均不正确
10．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →
|取最小值时，x 的值等于( )
A ．19
B ．－87 C.87 D.19
14
11.
如图所示，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )
A.22
B.33
C.77
D.57 12.
如图所示，在直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为( )
A.33
B.233
C. 3 D ．2 3
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝________. 14．如图所示，
已知正四面体ABCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝1
4
CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为
________．
15．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________． 16.
如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ ⎝⎛⎭
⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为______．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：AB1＝CA1. 18．(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
19.(12分)
如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断CE与MN是否共线？
20．(12分)
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD ＝∠BCD.
求证：C1C⊥BD.
21.(12分)
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB ＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
22．(12分)
如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； (2)证明AF ⊥平面A 1ED ；
(3)求二面角A 1—ED —F 的正弦值．
第三章 空间向量与立体几何(A)
1．C [只有命题④正确．] 2.
D [如图，A 1B →＝AB →－AA 1→＝CB →－CA →－AA 1→＝CB →－CA →
－CC 1→
＝b －a －c .] 3．D [∵a ∥b ，∴存在实数λ， 使⎩⎪⎨⎪
⎧
3＝2λx ＝4λy ＝5λ
，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝6y ＝152
.]
4．C [设a ＝(x ，y ，z )，∵AB →
＝(－2，－1,3)， AC →
＝(1，－3,2)，
又|a |＝3，a ⊥AB →，a ⊥AC →
， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝1，y ＝1，z ＝1
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.
∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．]
5．C [∵AB →＝(1,0,0)，CD →
＝(－2，－2,1)，
∴cos 〈AB →，CD →
〉＝AB CD AB CD
••＝－23
，
∴sin 〈AB →，CD →
〉＝53
.]
6．B [
建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛
⎭
⎫62，22，0，C 1(0，2，
0)，
B ⎝⎛⎭⎫62，2
2，1.
∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →
＝⎝⎛⎭
⎫62，－22，1，
∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，
即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.]
7．D [若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，
则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝n·a
|n||a |，∴sin θ＝|cos β|＝|n·a||n||a|
.]
8．A [AB →＝(3,4,2)，AC →＝(5,1,3)，BC →＝(2，－3,1)，AB →·AC →>0，得∠A 为锐角；CA →·CB →
>0，得
∠C 为锐角；BA →·BC →>0，得∠B 为锐角，所以△ABC 是锐角三角形且|AB →|＝29，|AC →
|＝35，|BC →
|＝14.]
9．A [∵v ＝－3u ，∴v ∥u .故α∥β.]
10．C [AB →
＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)， 则|AB →
|＝(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2
＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57
. 故当x ＝87
时，|AB →
|取最小值．]
11．C [如图所示，
作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝2
2
，P A ＝PB ＝2， 可以求得BD ＝
144
，
ED ＝
24
.∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →， ∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →.
∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →
〉＝－77，
即二面角B —AP —C 的余弦值为7
7
.]
12．B [
建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2)． AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →
＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.
令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)．
故点D 到平面ACE 的距离
d ＝＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪－23＝233
.]
13.258
解析 ∵a －2b ＝(8，－5,13)，
∴|a －2b |＝82＋(－5)2＋132＝258. 14.413
解析 因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD .设正四面体的棱长为4， 则BF →·DE →＝(BC →＋CF →)·(DA →＋AE →)
＝0＋BC →·AE →＋CF →·DA →＋0 ＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4， BF ＝DE ＝42＋12－2×4×1×cos 60°＝13， 所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为：
cos θ＝＝
413
. 15.π3或2π3
解析 设n 1＝(1,0，－1)，n 2＝(0，－1,1)，
则cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋0×(－1)＋(－1)×12·2
＝－1
2，
∴〈n 1，n 2〉＝2π
3
.因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所成
的角为π3或2π3.
16.3－2cos θ
解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →
，
所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.
所以|AD →
|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.
17．证明 以A 为原点，AC 为x 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系． 设B (a ，b,0)，C (c,0,0)，A 1(0,0，d )，
则B 1(a ，b ，d )，C 1(c,0，d )，AB 1→
＝(a ，b ，d )， B C 1→＝(c －a ，－b ，d )，CA 1→
＝(－c,0，d )，
由已知AB 1→·B C 1→
＝ca －a 2－b 2＋d 2＝0， CA 1→·B C 1→＝－c (c －a )＋d 2＝0，可得c 2＝a 2＋b 2. 再由两点间距离公式可得：
|AB 1|2＝a 2＋b 2＋d 2，|CA 1|2＝c 2＋d 2＝a 2＋b 2＋d 2， ∴AB 1＝CA 1.
18．证明 因为AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →
＝(3，－5,3)－(－1,1，－
3)＝(4，－6,6)，因为－24＝3－6＝－3
6
，
所以AB →和CD →
共线，即AB ∥CD .
又因为AD →
＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， BC →
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为0－2≠－4－1≠1－2
，所以AD →与BC →
不平行，所以四边形ABCD 为梯形．
19．解 ∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋1
2
FB .
又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →
＝－12CA →＋CE →－AF →－1
2FB ，
∴12CA →＋AF →＋1
2
FB ＝－12CA →＋CE →－AF →－1
2FB ，
∴CE →＝CA →＋2AF →
＋FB
＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →. ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →
共线．
20．证明 设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→
＝c ， 依题意，|a |＝|b |，
又设CD →，CB →，CC 1→
中两两所成夹角为θ，
于是BD →＝CD →－CB →
＝a －b ， CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c·a －c·b ＝|c||a |cos θ－|c||b |cos θ＝0， 所以C 1C ⊥BD .
21．解 因为BC →＝AC →－AB →
，
所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB → ＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝－162＋24.
所以cos 〈OA →，BC →
〉＝
＝24－1628×5
＝3－225.
即OA 与BC 所成角的余弦值为3－22
5
.
22．(1)解
如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得D (0,2,0)，F (1,2,1)，
A 1(0,0,4)，E ⎝⎛⎭⎫1，3
2，0. 易得EF →
＝⎝⎛⎭
⎫0，12，1， A 1D →
＝(0,2，－4)，
于是cos 〈EF →，A 1D →
〉＝
＝－35
. 所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为3
5
.
(2)证明 易知AF →
＝(1,2,1)，
EA 1→＝⎝⎛⎭⎫－1，－32，4，ED →
＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0， 于是AF →·EA 1→＝0，AF →·ED →＝0. 因此，AF ⊥EA 1，AF ⊥ED .
又EA 1∩ED ＝E ，所以AF ⊥平面A 1ED .
(3)设平面EFD 的法向量u ＝(x ，y ，z )， 则即⎩⎨⎧ 12y ＋z ＝0，
－x ＋12y ＝0. 不妨令x ＝1，可得u ＝(1,2，－1)，
由(2)可知，AF →为平面A 1ED 的一个法向量，
于是cos 〈u ，AF →〉＝
＝23
， 从而sin 〈u ，AF →〉＝53. 所以二面角A 1—ED —F 的正弦值为53
.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？
自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。