【大师珍藏】高三理科数学一轮单元卷：第二十三单元 随机变量及其分布 B卷(解析版)

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ） 第二十三单元 随机变量及其分布
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知随机变量ξ服从正态分布()
20,N σ，若()20.023P ξ>=，则()22P ξ-≤≤=（ ） A ．0477．
B ．0625．
C ．0954．
D ．0977．
2．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，24DX =．，()()46P X P X =<=，则p =（ ） A ．07．
B ．06．
C ．04．
D ．03．
3．如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”,图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点处相通,假设一个小弹子在交点处向左或向右是等可能的．若竖直线段有一条的为第一层,有两条的为第二层,……,依此类推,现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．则该小弹子落入第四层从左向右数第3个竖直通道的概率是（ ）
A ．18
B ．
14 C ．38
D ．
12
4．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得
黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ） A ．15
B ．
14 C ．13
D ．
12
5．已知A ，B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A 盒中有m 个红球与10m -个白球，B 盒中有10m -个红球与m 个白球(010)m <<，若从A ，B 盒中各取一个球，ξ表示所取的个球中红球的个数，则当D ξ取到最大值时，m 的值为（ ） A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
6．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X （单位：辆）均
服从正态分布()
2600,N σ，若()50070006
P X <<
=．，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ） A ．
1
125
B ．
12
125
C ．
61125
D ．
64125
7．设随机变量()1,1X N ~，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
注：若()
2,X N μσ~，则()06826P X μσμσ-<<+≈．，(22)09544P X μσμσ-<<+≈．．
A ．6038
B ．6587
C ．7028
D ．7539
8．某班级有男生32人，女生20人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男生当选的人数记为ξ，则ξ的数学期望为（ ） A ．
16
13
B ．
2013
C ．
3213
D ．
4013
9．已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则(|)P B A =（ ）
A ．14
π-
B ．
4
π C ．21-
π
D ．
2π
10．已知随机变量X 的概率分布列为k c
k X P 2
)(==(c 为常数，0>c )，1k =，2，3，4， 则=≤<)42(X P （ ） A ．
6
13 B ．
5
3 C ．
5
1 D ．
7
1 11．盒中有红球5个，白球11个，其中红球中有2个玻璃球，3个木质球；白球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球摸到的可能性相同，若已知取到的球是玻璃球，则它是白球的概率为（ ） A ．
3
2 B ．
3
1 C ．
16
11 D ．
16
5 12．日期间，某种鲜花的进价是每束5.2元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束6.1元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况的统计，市场需求量ξ(束)的分布如图所示，若购进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是（ ）
A ．676元
B ．698元
C ．706元
D ．756元
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知随机变量ξ服从正态分布()
2
,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP ．
14．已知随机变量服从正态分布()
22X N σ~，，若()032P X a <=．
，则()4P a X a <<-=______．
15．甲、乙两人独立地破译一密码，他们能单独破译该密码的概率分别是25，1
3
，假设他们破译密码彼此没有影响，则该密码被破译的概率为了__________．
16．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数12345A a a a a a =，其中，A 的各位数字中11a =，()2345k a k =，，，出现0的概率为13
，出现1的概率为2
3，若启动一次出现的数字为10101
A =则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得1-分．则100次重复试验的总得分X 的方差为___________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）某市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A ，B ，C 三个不同的郊区中学，且每个郊区中学至少一名教师．
（1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率； （2）求A 中学分到两名教师的概率；
（3）设随机变量ξ为这五名教师分到A 中学的人数，求ξ的分布列和数学期望ξE ．
18．（12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为
5
12
．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （1）求袋中原有白球的个数;
（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．
19．（12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．
20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟
退休年龄政策”．为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．
人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和
支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下
（1）由以上统计数据填22
认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人
①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．
②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
参考数据：
()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+
+
+．
22．（12分）如图是两个独立的转盘()A ，()B ，
在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为60︒、120︒、90︒、90︒．用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意
一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘()A 指针所对的区域数为x ，转盘()B 指针所对的区域数为y ，{},1,2,3,4x y ∈，设y x +的值为ξ，每一次游戏得到奖励分为ξ．
（A ） （B ）
（1）求3x <且2y >的概率；
（2）某人进行了6次游戏，求他平均可以得到的奖励分．
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）
第二十三单元 随机变量及其分布
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C
【解析】随机变量ξ服从正态分布()
20,N σ，∴正态曲线关于0x =对称，
∵()20023P ξ>=．
，∴()20023P ξ<-=．， ∴()221002*********P ξ-≤≤=--=．．．，故选C ． 2．【答案】B
【解析】∵()()D X np 1p =-，∴p 04=．或p 06=．
∵()()()()6
4
44661010P X 4C 1P X 6C 1p p p p ==-<==-，
∴()2
21p p -<,可知p 05>．故答案选B ． 3．【答案】C
【解析】根据题意可知，每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的， 故该小弹子落入第四层从左向右数第3个竖直通道的概率为2
3
3
C 3
8
2P ==
，故选C ． 4．【答案】D 【解析】111
2231224
C C C 1
2
C A P ==
．故选D ． 5．【答案】B
【解析】由题意可得：ξ表示红球的个数，则ξ可能取的值为：0，1，2， 根据题意可得：()100100
m m P ξ-==
（），
()()()22
11
1010
1010101100
C C m m m m m m P ξ--+⋅-+==
=
（），
()102100
m m P ξ-==
（），
所以ξ的分布列为：
所以()()22
1010121100
100
m m m m
E ξ-+-=⨯
+⨯
=，
所以()()()2
1010525
100
100
50
m m m m
m D ξ----+=
+
=
，并且19m ≤≤，
所以当5m =时，D ξ取最大值1
2
．故答案为B ． 6．【答案】C
【解析】根据正态曲线的对称性，每个收费口超过700辆的概率为： ()()()111
700150070010602225
P X P X ≥=-<<=⨯-==⎡⎤⎣⎦．．， ∴这三个收费口每天至少有一个超过700辆的概率3
161115125
P ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选C ．
7．【答案】B
【解析】∵()1,1X N ~，∴1μ=，1σ=，2μσ+=， ∵6826%P X μσμσ-+=（＜＜）．，∴026826%P X =（＜＜）．， 则123413%P X =（＜＜）．，∴阴影部分的面积为06587．．
∴正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．故选B ． 8．【答案】C
【解析】由题得ξ=0，1，2，3，4． ()420
4
52
C 0C P ξ==
，()13
3220452
C C 1C P ξ==
，()223220452
C C 2C P ξ==
，
()31
3220452
C C 3C P ξ==
，()403220452
C C 4C P ξ==
．
所以413
2231
4020
32203220322032204444452
52
52
52
52
C C C C C C C C C 32
0123413
C C C C C E ξ=⨯
+⨯+⨯
+⨯
+⨯
=
．故答案为C ．
9．【答案】C
【解析】设正方形ABCD 的边长为a ，则圆I 的半径为2a r =，其面积为2
2124a S a ⎛⎫
=π⨯=π ⎪⎝⎭
，
设正方形EFGH 的边长为b
a b =⇒=
，其面积为2
2112S a ⎫==⎪⎪⎝⎭， 则在圆I 内且在EFGH 内的面积为11S S S =-， 所以12
(|)1S S P B A S -==-π
，故选C ． 10．【答案】C 【解析】由
12
2224
321=+++c c c c ，解得1516
=c ， ∴341616
115
15(24)(3)(4)522P X P X P X <≤==+==+=，故选C ． 11．【答案】A
【解析】记“取到白球”为事件A ，“取到玻璃球”为事件B ， 则“已知取到的球是玻璃球，它是白球”的概率为)B (A P ， ∵ 164(AB)=
P ，16
6
(B)=P ，∴32P(B)P(AB))B (A ==
P ，故选A ． 12．【答案】C
【解析】设今年节日期间销售利润为η，则(5 2.5)(500)(2.5 1.6) 3.4450ηξξξ=----=-， ∵2000.203000.354000.305000.15340E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴=ηE (3.4450) 3.4450706E E ξξ-=-=，故选C ．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】3.0
【解析】∵()5.02=<ξP ，()4(2)(24)0.8P P P ξξξ<=<+<<=， ∴3.0)42(=<<ξP ，()02(24)0.3P P ξξ<<=<<=． 14．【答案】036．
【解析】由正态分布概率密度曲线的对称性可知，(4)12()036P a x a P x a <<-=-<=．， 故答案是036．． 15．【答案】35
【解析】两人独立地破译一个密码，能译出的概率分别为
25，1
3
，密码被译出的对立事件是密码不能被译出，而密码不能被译出的情况是：两个人同时不能破译这个密码，
所以密码被译出的概率为21323111153535P ⎛⎫⎛⎫
=---=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，故答案是35．
16．【答案】
30800
729
【解析】启动一次出现数字为10101A =的概率2
2
124P 3381⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由题意知变量符合二项分布，
根据成功概率和实验的次数的值，有4η~10081⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
∴η的数学方差为47730800
D η10081816561=⋅
⋅=
．设得分为()x 2η1100η3η100=-⋅-=-， 所以()30800
Dx D 3x 1009D η=729
=-=．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）
625；（2）25；（3）见解析，5
3
．
【解析】（1）设“甲乙两名教师同时分到一个中学为”事件A ，
基本事件总数22333
533531C C A C A 1502!
N =⋅+=，所以2313
3333C A A 6(A)15025C P +==．
（2）设“A 中学分到两名教师”为事件B ，则222532C C A 2
(B)1505
P =
=． （3）由题意知ξ的取值为1,2,3．
则有：(
)12232
54242
C C C C A 7
(1)150
15P ξ+==
=，5
22)(==ξP ，22
52C A 2
(3)15015P ξ==
=．
∴ξ的分布列为：数学期望7225
123155153
E ξ=⨯+⨯+⨯=． 18．【答案】（1）6；（2）见解析，
107
． 【解析】解：（1）设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为2
2
9
C C n ， 由题意知22
9C 5C 12n =，即12
52
892)
1(=⨯-n n ，化简得0302=--n n ， 解得6=n (5-=n 舍去)，故袋中原有白球的个数为6． （2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4．
3296)1(==
=X P ；418963)2(=⨯⨯==X P ；141789623)3(=⨯⨯⨯⨯==X P ； 841
67896123)4(=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯==X P ． 所以取球次数X 的概率分布列为：
所求数学期望为7
8441434231)(=⨯+⨯+⨯+⨯
=X E ． 19．【答案】（1）0025．；（2）035．；
（3）214536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>． 【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=， 第四类电影中获得好评的电影部数是20002550⨯=．．故所求概率为50
00252000
=．． （2）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为()()()
()()()()()()11P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=-+-．
由题意知：()P A 估计为025．，()P B 估计为02．． 故所求概率估计为0250807502035⨯+⨯=．．．．．． （3）214536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>．
20．【答案】（1）01．
；（2）①490，②应对余下的产品作检验． 【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为()()18
2220C 1f p p p =-．
因此()()()()()1817172222020C 211812C 1110f p p p p p p p p ⎡⎤='---=--⎣⎦
． 令()0f p '=，得01p =．．当()001p ∈，．时，()0f p '>；当()011p ∈．，时，()0f p '<． 所以()f p 的最大值点为001p =．． （2）由（1）知01p =．
， ①令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知()18001Y B ~，．，20225X Y =⨯+， 即4025X Y =+．所以()40254025490EX E Y EY =+=+=．
②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于400EX >，故应该对余下的产品作检验． 21．【答案】（1）有差异，见解析；（2）①
47，②1
2
． 【解析】（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充22⨯列联表如下：
因为2K 的观测值()2
1003554515625384150508020
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯．．，
所以在犯错误的概率不超过005．的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休 年龄政策”的支持度有差异．
（2）①抽到1人是45岁以下的概率为63
=84
，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以
上的概率为
1162
28
C C 3
7
C =，故所求概率3
47374
P ==．
②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人． 所以X 的可能取值为0，1，2．
()2
6
28C 15028C P X ===，()116228C C 1231287C P X ====，()22
2
8
C 1228C P X ===． 故随机变量X 的分布列为：
所以()311
127282
E X =⨯+⨯=．
22．【答案】（1）
5
24
；（2）29分． 【解析】（1）由题意可知：()116P x ==，()123P x ==，()134P x ==，()144
P x ==； ()113P y ==
，()124P y ==，()134P y ==，()1
46
P y ==； 则()()()13122P x P x P x <==+==
，()()()5
23412P y P y P y >==+==，
所以5
(3,2)(3)(2)24
P x y P x P y <>=<⋅>=
． （2）由条件可知ξ的可能取值为：2，3，4，5，6，7，8．
则：111
(2)(1)(1)3618
P P x P y ξ===⋅==⨯=，
111111
(3)(1)(2)(2)(1)643372P P x P y P x P y ξ===⋅=+=⋅==⨯+⨯=
，
同理可得：245)4(=
=ξP ，14437)5(==ξP ，7213
)6(==ξP ，
14415)7(=
=ξP ，24
1
)8(=
=ξP ． ∴ξ的分布列为：
他平均一次得到的奖励分即为ξ的期望值： 1115371315129
234567818722414472144246
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
． 所以给他玩6次平均可以得到296=⨯ξE 分．。