全国版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件理

x y 2 0, x 2y 4 0,
表示的平面区域的面积为
.
x 3y 2 0
【解析】如图所示,可得点A(0,2),B(2,0),C(8,-2),
根据图形计算可得S△ABC=1×2×2+ 1×2×2=4.
答案:4
2
2
【Hale Waihona Puke 固训练】 1.不等式组 x 0, 所表示的平面区域的面积等
为( )
A. 或-1 1
C.22或1
B.2或 D.2或-11
2
【解题导引】(1)将目标函数变形为y=2x-z,结合题意, 对m分类讨论,画出可行域,结合图象,可找出最优解,进 而求出m的值. (2)作出可行域,分析题干可知线性目标函数对应直线与 可行域某一边界重合,进而可求解.
【规范解答】(1)选C.如图所示,当
可行域内一点与原点连线的斜率,数形结合可求最值x .
【规范解答】(1)画出可行域如图所示. 目标函数y=-2x+z,当z取到最大值 时,y=-2x+z的纵截距最大,故将直 线移到点B(3,2)时,zmax=2×3+2=8. 答案:8
(2)作出可行域如图中阴影部分所示,由
斜率的意义知, 是y 可行域内一点与原 点连线的斜率,由x图可知,点A(1,3)与原
【典例1】(1)(2016·北京模拟)在平面
直角坐标系xOy中,不等式组 1 x y 3,
表示图形的面积等于( ) 1 x y 1
A.1
B.2
C.3
D.4
x y 1 0, (2)(2016·郑州模拟)已知不等式组 x y 1 0, 表示 的平面区域为D,若直线y=kx+1将区域D3分x 成y面 3积 0相等的
x 1, 所以zmyin=3,-3x+y=-3×1+3=0. 答案:0
感悟考题 试一试
3.(2015·安徽高考)已知x,y满足约束条件
x x
y 0, y4
0,
则z=-2x+y的最大值是 ( )
y 1,
A.-1
B.-2
C.-5
D.1
【解题提示】正确画出平面区域的可行域,是一个三角 形,再数形结合计算求值.
m≤0时,比如在①的位置,此时为开
放区域无最大值,当m>2时,比如在
②的位置,此时在原点取得最大值
不满足题意,当0<m<2时,在点A取得最大值,所以
代入得m=1.
x mx
2y 2 y0
0，
A(
2, 2m 1
2m ) 2m 1
(2)选D.由线性约束条件可得其图象如图所示,由图象 可知直线z=y-ax经过AB或AC时取得最大值的最优解 不唯一,此时a=2或-1.
命题方向
求目标函数 的最值
求参数的值 或范围
命题视角
一般是利用目标函数的几何意义求 解,有截距型、斜率型、距离型等, 考查最值的求法
考查最优解的应用及可行域的画法, 属中档题
【考题例析】 命题方向1:求目标函数的最值 【典例2】(1)(2015·全国卷Ⅱ)若x,y满足约束条件
x y 5 0, 则z=2x+y的最大值为
过点A(2,-1)时,z取最大值,最大值是3.
命题方向2:求参数的值或范围 【典例3】(1)(2015·福建高考)变量x,y满足约束条件
x y 0, 若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于( )
x 2y 2 0,
Am.-x2 y 0. B.-1
C.1
D.2
x y 2 0, (2)(2014·安徽高考)x,y满足约束条件 x 2y 2 0, 若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实2x数 ya的 2值 0，
.
2x y 1 0,
(本题源自人A必修5P91练习T1)
x 2y 1 0,
x 1 0,
(2)(2015·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件 x y 0,
则 y 的最大值为
.
x y 4 0，
x
【解题导引】(1)此题为截距型,根据约束条件画出可
行域,在三角区域的顶点处取得最值.
(2)此题为斜率型,作出可行域,由斜率的意义知, 是 y
2.(必修5P93习题3.3A组T2改编)已知x,y满足
x y 2 0, 则z=-3x+y的最小值为
.
x y 4 0,
x 3y 3 0,
【解析】由题意画出平面区域如图:
当直线z=-3x+y经过点A时,z取得最小值. 由 x y 2 0, 可得x y 即4 点0A, (1,3).
【技法感悟】
线性规划两类问题的解决方法
(1)求目标函数的最值:画出可行域后,要根据目标函数
的几何意义求解,常见的目标函数有:①截距型:形如
z=ax+by;②距离型:形如
③斜率型:
形如 z yb. xa
z x a2 y b2.
(2)求参数的值或范围:参数的位置可能在目标函数中, 也可能在约束条件中.求解步骤为:①注意对参数取值 的讨论,将各种情况下的可行域画出来;②在符合题意 的可行域里,寻求最优解.
2.最优解与可行解的关系 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解,最优 解不一定唯一.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(必修5P86练习T3改编)不等式组 x 3y 6 0，表示
的平面区域是 ( )
x y 2 0
【解析】选C.x-3y+6<0表示直线x-3y+6=0左上方 部分,x-y+2≥0表示直线x-y+2=0及其右下方部分. 故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分.
故选A.
x 0, 3.设动点P(x,y)在区域Ω: y x, 上,过点P任作直线 l,设直线l与区域Ω的公共部分x 为y线 4段AB,则以AB为直径
的圆的面积的最大值为 ( )
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
【解析】选D.作出不等式组所表示的可行域如图中阴 影部分所示,则根据图形可知,以AB为直径的圆的面积 的最大值S=π× =4π.
两部分,则实数k的值是
.
【解题导引】(1)画出不等式组所表示的平面区域,根据 图形便可计算面积. (2)画出不等式组表示的平面区域,直线y=kx+1过定点 (0,1),利用面积相等确定直线经过的区域边界上的点, 然后代入求k值.
【规范解答】(1)选B.不等式组对应的平面区域如图,
对应的区域为正方形ABCD,
【题组通关】
1.(2015·福建高考)若变量x,y满足约束条件
x x
2y 0, y 0,
则z=2x-y的最小值等于 ( )
则z=3x+y的最大值为
. 2x y 2 0，
【解析】画出可行域如图所示,
目标函数y=-3x+z,当z取到最大值时,y=-3x+z的纵截 距最大,即将直线移到点C时, x 2y 1 0， 解得C(1,1),zmax=3×1+1=4. x y 2 0， 答案:4
考向一 平面区域的面积问题
x y 1 0, 3x y 3 0,
所以AB的中点坐标为(3 , 3 )，代入直线方程y=kx+1得，
22
3
3
k
解得 1，
答2 案2：
k 1. 3
1
3
【规律方法】求平面区域面积的方法 (1)利用一般方法求解: ①画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应 利用题目的已知条件转化为不等式组问题,再作出平面 区域;
②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若 为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公 式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形 分别求解再求和即可.
(2)利用几何意义求解: 利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形, 利用数形结合的方法去求解.
【变式训练】(2014·安徽高考)不等式组
第二节 二元一次不等式(组)与简单的
线性规划问题
【知识梳理】 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
Ax+By+ C>0
Ax+By+ C≥0
不等式组
表示区域
直线Ax+By+C
不包括边界直线
=0某一侧的所有点
组成的平面区域
包括_________ 边界直线
各个不等式所表示平面区域的_________
A.1
B.-1
C.0
D.-2
【解析】选A.先作出不等式组 x 1,
对应的平面区域,如图:
x y 4
要使阴影部分为直角三角形,
当k=0时,此三角形的面积为 1×3×3= 9≠1,
所以不成立,
2
2
所以k>0,则必有BC⊥AB,
因为x+y-4=0的斜率为-1,
所以直线kx-y=0的斜率为1,即k=1,
x 3y 4, 于( ) 3x y 4
A. 3 B. 2 C. 4 D. 3
2
3
3
4
【解析】选C.平面区域如图所示.
解 x 3y 4, 得A3(1x ,1y), 4.
易得B(0,4),C |BC|=
所以S△ABC=
(0, 4 )， 3
1 8 1 4. 23 3
4 4 8. 33
x 1, 2.(2016·汕头模拟)已知约束条件 x y 4 0, 表示面 积为1的直角三角形区域,则实数k的值kx为 y (0 )
点连线的斜率最大,故 的最大值为3.
y
答案:3
x
【母题变式】1.本例题(1)条件不变,求z=2x+y的最小 值. 【解析】由例题解析知,当将直线移到点A时,取得最小 值.A点是直线2x-y-1=0和x-2y+1=0的交点,所以A点 坐标为(1,1),所以z的最小值为zmin=2×1+1=3.
y x, 2.本例题(1)条件变为 x y 1, 求z=2x+y的最大值. 【解析】作图易知可行域y 为一1. 个三角形,当直线z=2x+y
(2)特殊点定域,在直线上方(下方)取一点,代入不等式 成立,则区域就为上方(下方),否则就是下方(上方).特 别地,当C≠0时,常把原点作为测试点;当C=0时,常选点 (1,0)或者(0,1)作为测试点.
【特别提醒】 1.判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论 把Ax+By+C>0或Ax+By+C<0化为y>kx+b或y<kx+b的形式. (1)若y>kx+b则区域为直线Ax+By+C=0上方. (2)若y<kx+b则区域为直线Ax+By+C=0下方.
其中A(0,1),D(1,0),
边长AD= ,
则正方形的2 面积S= × =2,
故选B.
22
(2)区域D如图中的阴影部分所示,直线y=kx+1经过定
点C(0,1),如果其把区域D划分为面积相等的两个部分,
则直线y=kx+1只要经过AB的中点即可.
由方程组
解得A(1,0).
x y 1 0, 由方程组 3x y 解3 得0,B(2,3).
(4 )2 2
x y 5 0,
4.求不等式组 y 2,
所表示的平面区域的面积.
【解析】如图,平0面 x区域2 为直角梯形,
易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5),
所以AD=3,AB=2,BC=5.故所求区域的
面积为S= ×(3+5)×2=8. 1 2
考向二 线性规划相关问题 【考情快递】
公共部分
2.线性规划中的有关概念
名称
意义
约束条件 由变量x,y组成的_不__等__式__(_组__)_
线性约束条件
由x,y的一次不等式组成的 ___________
目标函数
关不于等x式,y(的组函) 数_______,
如z=x+2y
解析式
线性目标函数 关于x,y的_____解析式
可行解 满足线性约一束次条件的解(x,y)
名称
意义
可行域 最优解
所有_可__行__解__组成的集合 使 的目可标行函解数取得_最__大__值__或__最__小__值__
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函 数的_______或_______问题
最大值 最小值
3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时,经常采用 “直线定界,特殊点定域”的方法. (1)直线定界,不等式含等号,直线在区域内,不含等号, 直线不在区域内.
【解析】选A.根据题意画出约束条件确定的可行域, 如图所示:
因为z=-2x+y,则y=2x+z,可知过图中点A(1,1)时, z=-2x+y取得最大值-1,故选A.
4x 5y 8, 4.(2015·广东高考)若变量x,y满足约束条件 1 x 3,
则z=3x+2y的最小值为 ( )
0 y 2,
A.31 B.6 C. 23 D.4
5
5
【解析】选C.不等式组所表示的可行域如图所示,
由z=3x+2y得y=3 x z，依题当目标函数直线l:
22
y=
3
x
经z 过A
(1时, 4,)z取得最小值,
即zm2in=32×1+2×4
5 23
.
55
x y 2 0，
5.(2015·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件 x 2y 1 0，