基于Heston随机波动率模型和风险偏好视角的资产负债管理

基于Heston随机波动率模型和风险偏好视角的资产负债管
理
谢超强;吕文元;陈进
【摘要】本文研究基于Heston随机波动率模型的资产负债管理问题.假设金融市场由一个无风险资产和一个风险资产构成,投资者的目标是最大化其终端财富的期望效用.应用随机控制方法,得到了该问题最优资产配置策略的解析表达式和相应值函数的解析解,通过数值算例分析了Heston模型主要参数以及债务对最优资产配置策略的影响.结果表明:配置到风险资产的比例对Heston模型中的参数非常敏感;为了对冲债务风险,负债的引入使得配置到风险资产的比例比无负债情形下的高;在风险厌恶系数变大时,无论投资者是否有负债,其投资到风险资产的比例则越来越低.【期刊名称】《运筹与管理》
【年(卷),期】2018(027)006
【总页数】6页(P156-161)
【关键词】Heston随机波动率;资产负债管理;指数效用函数;最优资产配置策略【作者】谢超强;吕文元;陈进
【作者单位】上海理工大学管理学院,上海 200093;上海理工大学管理学院,上海200093;上海理工大学管理学院,上海 200093
【正文语种】中文
【中图分类】O211.63;F830.9
0 引言
资产负债管理是银行、基金和保险公司等金融机构进行风险管理的重要手段，是金融机构按一定策略进行资产配置以实现流动性、安全性和盈利性为目标的一种全方位管理过程[1]。

近年来，应用随机控制方法研究资产负债管理问题取得了不少成果。

如，Sharpe 与 Tint[2]首次在静态单周期均值一方差模型下研究具有负债的
投资组合选择问题，为从投资组合选择角度研究资产负债管理问题奠定了理论基础。

之后，Leippold和Trojani[3]用几何方法和嵌入法研究了离散多周期情形下的资
产负债管理问题；Chiu 和 Li[4]与 Xie 等[5]分别在不同负债过程下的连续时间资
产负债管理问题进行了研究，并应用随机线性二次控制方法得到了最优投资策略和有效前沿的解析解；Rudolf和Ziemba[6]在Black-Scholes市场模型下研究了终端盈余效用最大化问题并得到最优投资策略的解析解；Giamouridis等[7]研究了
最大化投资者终端时刻资产负债比率的资产负债问题；曾燕等[8]将文献[7]拓展到
连续时间框架下并得到最优投资策略和值函数的解析解。

然而，在上述考虑资产负债管理问题的文献中，风险资产的价格过程都是假定服从几何布朗运动(期望回报
率和波动率都不是随机的)，这与金融市场中风险资产的价格过程有很大的差距。

基于此，张玲等[9]在假设风险资产的期望回报率满足Ornstein-Uhlenbeck过程
条件下，利用随机控制方法得到了非短视的资产负债管理策略，但仍假定波动率是一个常数，这不符合实际金融市场的特点。

在金融市场中，风险资产的波动率通常不是一个常数，而是一个随机变量。

近年来，已经有学者建立了一些比较流行的随机波动率模型，如Cox[10]提出的常数弹性方差模型(CEV)模型(波动率与风险资产价格完全相关的波动率模型)，Heston[11]建立的Heston模型(波动率满足Cox-Ingersoll-Ross过程，即波动
率是非负的)以及Stein和Stein[12]提出的Stein-Stein模型(波动率满足
Ornstein-Uhlenbeck过程，此时波动率可以为负数)。

Heston 随机波动率假设作为全局随机波动率中最主流的观点，已经在学界和业界被广泛采用。

也有不少学者基于Heston随机波动率模型，研究了在对应金融市场下的最优投资问题。

如，Liu 和Pan[13]研究了波动率满足Heston模型时含衍生产品金融市场的最优资产配置问题；林祥和杨益非[14]与张初兵等[15]分别在指数效用与幂效用函数情形下研究了Heston模型下确定缴费型养老金的投资组合优化问题；A和Li[16]在Heston模型下研究了保险人的最优投资和再保险问题。

但这些模型均没有考虑负债因素，因此所得结论不能应用于投资过程存有负债的最优投资决策中。

受文献[9]，[14]和[15]的启发，本文研究Heston随机波动率模型下的资产负债管理问题并利用随机控制理论将该问题转化为随机最优控制问题。

借助HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)变分方法得到了随机最优控制问题的解析解，进而得到最优资产配置策略的解析表达式，是本文的主要创新点。

本文结构安排如下：第1节构建基于Heston随机波动率模型的资产负债管理问题；第2节给出资产负债管理问题的最优资产配置策略；第3节运用数值分析方法讨论Heston模型中的参数以及债务对最优资产配置策略的影响；第4节总结论文。

1 数学模型
1.1 金融市场
为了对本文进行严格的数学描述，假设所有的随机过程和随机变量都定义在完备的概率空间(Ω,F,P)上，并且有一满足通常条件的σ—流{Ft}t≥0，即Ft右连续且P完备。

在时间段[0,T]内，假定市场上有两个可连续交易的金融资产：一个是无风险资产(银行账户或国债)，其价格过程满足如下微分方程：
=rdt, B(0)=B0
(1)
其中r是无风险利率且为常数。

另一个是风险资产(股票)，其价格过程S(t)满足Heston随机波动率模型，即
S(0)=S0>0
(2)
其中正常数λ是风险资产波动溢价的系数，WS(t)是一个标准的布朗运动，m(t)满足具有均值回复特性的Cox-Ingersoll-Ross(CIR)模型：
m(0)=m0
(3)
其中k，θ和σm均为正常数且满足Feller条件以确保m(t)>0。

Wm(t)是一个与WS(t)相关的标准布朗运动，即Cov(dWm(t),dWS(t))=ρdt,|ρ|≤1。

在资产管理过程中，债务是投资者所面临的一个普遍而重要的问题。

令L(t)表示投资者在时刻t的累积外生负债并满足如下随机微分方程：
L(0)=l0
(4)
其中μ(t)是债务的预期增长率，σL(t)是债务的波动率且都是连续可微非负的确定性函数。

1.2 模型建立
记时刻t投资者的财富为X(t)，投资到风险资产的比例为π(t)，则投资到无风险资产的比例为1-π(t)。

假设该投资过程允许卖空且没有交易费和税收。

因此，在投资策略π(t)下，投资者的财富预算过程满足如下随机微分方程：
dX(t)=
=[λπ(t)X(t)m(t)+rX(t)-μ(t)]dt+
(5)
其中X(0)=x0且x0>l0。

定义1 投资策略π(t)被称为可容许的，如果π(t)是{Ft}t∈[0,T]可测且方程(5)有唯一强解以及E[(π(t)X(t)-σL(t))2m(t)dt]<+∞，其中E[·]表示取数学期望。

将所有可容许策略组成的集合记为∏={π(t)}0≤t≤T。

在资产负债管理中，投资者的目标是寻找到最优投资策略，使得π*(t)∈∏在投资结束时其终端财富X(T)的效用最大，即求解如下优化问题：
(6)
其中U(·)是满足条件U(·)′>0和U(·)″<0的效用函数，用来度量投资者对风险的偏好程度。

为了得到投资策略的解析解，本文考虑具有常数绝对风险厌恶(Constant absolute risk aversion (CARA))的指数效用函数，即
(7)
其中正常数q是绝对风险厌恶系数。

2 模型求解
2.1 值函数和HJB方程
根据随机控制理论，优化问题(6)的值函数H(t,x,m)可定义为：
m(t)=m]
(8)
其中H(T,x,m)=U(X(T))。

除此之外，如果H(t,x,m)足够光滑，那么它满足如下HJB方程：
ρσmm[πx-σL(t)]Hxm}=0
(9)
其中Ht，Hm，Hx，Hmm，Hxx和Hxm分别是H=H(t,x,m)关于t，m和x的
一阶和二阶偏导数。

由极大值问题的必要条件，得到
(10)
将(10)代入方程(9)并经过较为繁琐的计算后，得到如下二阶非线性偏微分方程：
2λσL(t)HxHxx]=0
(11)
2.2 指数效用函数下的最优资产配置策略
根据边界条件的形式，我们猜测方程(11)的候选解J(t,x,m)具有如下结构形式：
(12)
其中a(t)，b(t)和c(t)都是待定的函数且满足边界条件a(T)=1，b(T)=0和c(T)=0。

进一步地，我们有
Jt=J{-q[a′(t)x+b′(t)m+c′(t)]}，Jx=J[-qa(t)],Jxx=J[-qa(t)]2，Jm=J[-qb(t)]，Jmm=J[-qb(t)]2，Jmx=Jq2a(t)b(t)]
其中J=J(t,x,m)，Jt，Jx，Jm，Jmm，Jxx和Jxm分别是J关于t，x和m的一阶和二阶偏导数。

将(12)代入方程(11)并经过简单的计算后，方程(11)与其边界条件组成的定解问题
可分解为如下三个常微分方程定解问题：
(13)
(14)
(15)
下面利用常微分方程的方法求解问题(13)，(14)和(15). 首先利用分离变量法求解问题(13)。

通过简单的计算后，得到
a(t)=er(T-1)
(16)
问题(14)中的微分方程是黎卡提方程，通过较繁琐的计算后(详细的计算过程见附录1)，得到
(17)
其中
从而，由(16)和(17)，可以得到
c(t)= [kθb(s)-μ(s)a(s)]ds
(18)
最后，由(10)和(12)，得到如下定理1。

定理1 基于Heston随机波动率模型和指数效用函数的最优资产负债管理策略是
(19)
其中b(t)由(17)给出。

注1 在式(19)中，如果令σL(t)=0，可以得到基于Heston随机波动率模型和指数效用函数的最优资产分配策略其中
(20)
而
为了证明问题(6)的候选解确实是值函数，需要如下引理1和定理2：
引理1 令Q=[0,+∞)×[0+∞)。

在Q中取一系列有界的开集合Q1,Q2,…使得
Qi⊂Qi+1⊂Q，i=1,2，…且Q=∪i=1Qi，则对Qi中的任意停时τ,i=1,2,…
E[J(τi∧T,x(τi∧T),m(τi∧T))]<+∞, i=1,2,…
该引理的证明过程比较繁琐，我们把它放到附录2中。

定理2 (验证定理) 如果J(t,x,m)足够光滑且满足引理1的条件和方程(8)及其边界条件，那么J(t,x,m)≥H(t,x,m)；如果存在可允许策略π*(t)∈Π，使得对任意的(t,x,m)∈[0,T]×Q,
那么J(t,x,m)=H(t,x,m)且π*(t)是问题(6)的最优资产负债管理策略。

该定理的证明过程完全类似文献Fleming和Soner[17]。

3 数值分析
从π*(t)的表达式可以看出，Heston随机波动率模型下的资产负债管理策略结构比较复杂。

因此，很难通过计算偏导数来判断模型参数对最优资产负债管理策略的影响，特别是关于参数σL(t)，为了简便，假定σL(t)是常数。

下面通过数值分析来讨论模型主要参数λ，k，σm和σL(t)对资产负债管理策略π*(t)的影响。

除非另做说明，数值模拟的基本参数设置如下表1所示：
表1 基本参数的取值参数记号参数值无风险利率r0.05风险资产波动溢价的系数λ0.1m(t)的均值回复速度k1m(t)的波动率σm0.08风险资产与m(t)的相关系数ρ0.3风险厌恶系数q0.3初始财富x10(单位)债务的波动率σL(t)0.6投资时间T10年初始时刻t0年
这里需要指出的是：表1中的参数除了债务参数，主要取自文献[15]。

除此之外，基于表1中的数据，我们可以计算出Δ>0。

3.1 市场参数对资产负债管理策略的影响
为了凸显随机波动率对资产配置策略的影响以及π*(t)中x(t)的随机性，本小节主要考虑参数ρ，λ，σm和k对初始时刻风险资产最优配置比例的影响，即如下图1-4：
图1 参数ρ与资产负债管理策略的关系
图2 参数λ与资产负债管理策略的关系
图3 参数σm与资产负债管理策略的关系
图4 参数k与资产负债管理策略的关系
图1显示风险资产的最优配置比例与市场参数ρ存在负相关关系，即在其它参数不变的情况下，ρ越大，投资到风险资产的最优配置比例则更低。

从图2我们可以看出，不管是ρ=0.3(正相关)，还是ρ=-0.3(正相关)，风险资产的最优配置比例是λ的增函数。

原因是λ越大，表明风险资产的期望收益率越高。

为了获取更高的收益，投资到风险资产的比例也越高，这与金融市场中的投资实践一致。

此外，从随机微分方程(2)和(3)的表达式可以知道，σm越大表明风险资产的期望收益率和瞬时波动率的变化就越剧烈。

但投资到风险资产的配置比例与ρ的取值有关。

除此之外，从图4可以看出：当ρ为正数时，投资到风险资产的比例是先急速上升后再趋近平缓，而当ρ为负数时，投资到风险资产的比例是先急速下降后再趋近平缓。

这表明π*(t)对均值回复速度k非常敏感且与参数ρ有关。

3.2 债务对资产负债管理策略的影响
为了凸显债务对最优资产配置策略的影响，利用Matlab软件编程得到如下图5～6：
图5 参数σL与资产负债管理策略的关系
图6 风险厌恶系数q与资产管理策略的关系系
图5显示，负债的引入使得配置到风险资产的比例比无负债情形下的高。

原因是多出来的部分用来对冲债务风险。

除此之外，从图6，我们可以看到q越大，表明
投资者的风险厌恶程度在增大而变得更加保守。

此时，无论是否有负债，投资到风险资产的比例则越来越低。

4 结论
本文在最大化终端时刻指数期望效用框架下，研究了Heston随机波动率模型下的资产负债管理问题。

运用随机控制方法得到了最优资产负债管理策略的解析解，是本文的主要创新点。

为了凸显风险资产的随机波动性和负债对最优资产负债管理策略的影响，最后用数值分析讨论了模型中的相应参数对最优资产负债管理策略的影响。

研究结果表明：(1)在其它参数不变的情况下，风险资产的最优配置比例与市场参数ρ存在负相关关系，与市场参数λ存在正相关关系；(2)配置到风险资产的比例对Heston模型的参数σm和k非常敏感，但与参数ρ的取值有关；(3)为了对冲债务风险，负债的引入使得配置到风险资产的比例比无负债情形下的高；(4)在风险厌恶系数变大时，无论投资者是否有负债，其投资到风险资产的比例则越来越低。

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