6结点电压法和弥尔曼定律

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4.受控电源支路的处理
对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立 电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。
例 列写电路的结点电压方程。
(1)先把受控源当作独立 源列方程；
1 R2
iS1
+ uR2 _
R1
R3
gmuR2
11
1
( R1 R2 )un1 R1 un2 iS1
由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。
当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。
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结点法的一般步骤：
(1) 选定参考结点，标定n-1个独立结点；
(2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量， 列写其KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到n-1个结点电压；
R3 _
3
+ u3 R2
R4
i
gu3
un1 ri
2
111
1
1
( R1

R2

R4 )un2

R1
un1

R4
un3

iS1

gu3

1 R5
un1

1 R4
un2
1 (
R4

1 R3

1 R5
)un3

gu3

uS R5
(2) 用结点电压表示控制量。
u3 un3 i un2 R2
电
子
信
息
科
学
与
技
术
专
业
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1
一、结点电压法
1.结点电压法 以结点电压为未知量列写电路方程分析
电路的方法。适用于结点较少的电路。
基本思想：
选结点电压为未知量，则KVL自动满足， 就无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可 视为结点电压的线性组合，求出结点电压后， 便可方便地得到各支路电压、电流。

N 'UY N 'Y
----------⑥
⑤、⑥称为弥尔曼公式，它是节点电位法在只有两个节点时 的特例，在三相交流电路中有广泛应用。
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例2：
在如图所示电路中，
已知：U1=12V， U2=3V， R1=4， R2=4， R3=4
G4
G5
－GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =－USGS
3
1
3. 无伴电压源支路的处理
（1）以电压源电流为变量，增 补结点电压与电压源间的关系
+ Us
_
G1
G2
G3
2
G4
G5
3
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+ Us
I1
G1
G2
G3
(G1+G2)U1-G1U2 =I -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
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整理，得：
11
1
( R1

R2)Βιβλιοθήκη un1(R2
)un2

iS1

iS2
1
111
1

R2
un1
( R2

R3

R4
) un2

R3
un3

0
1 (
R3
)un2

1 ( R3

1 R5
)
un3

iS2

uS R5
等效电 流源
令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5 上式简记为：
1 － U 20A ＋
2 3 2
解得：
un3 20 50 105 175V
＋－ 110V
U un3 1 20 195V
I (un2 90) /1 120A
＋
－ 100V
1
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解2 应用回路法。
----------------⑤
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如果电源电动势用端电压表示，如图所示，则
L1
U+1
I1
U
+
3
––
N – U
2
+
IN I2
N L2
I3
L3
+
U 1
U 3
+
––
Z3
Z1
N' – U 2
Z2 +
U N '
U1Y1 U 2Y2 U 3Y3 Y1 Y2 Y3 YN
列写的方程
结点电压法列写的是结点上的KCL方
程，独立方程数为：
(n 1)
与支路电流法相比，
方程数减少b-(n-1)个。
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说明
任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即
是结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。
uA-uB
(uA-uB)+uB-uA=0
试用弥尔曼定律 求各支路电流
I1 、I2 、 I3
I1 A I2
R1
+ R3 _ U1
I3 R2 + U2 _
B
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解： 由弥尔曼公式：
U A

U1G1 U 2G2 G1 G2 G3
U1 U2

R1 R2 111
5V
(4) 求各支路电流(用结点电压表示)； (5) 其它分析。
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例
GS +
Us _
试列写电路的节点电压方程。
1
G1
G2
G3
2
(G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=USGS -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0

R1 R2 R3
I1 A I2
R1
+ R3 _ U1
I3 R2 + U2 _
B
I1 (U1 U A )G1 1.75A
∴ I2 (U2 U A )G2 0.5A
I3 U AG3 1.25A
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i1

un1 R1
i4

un2 R4
i2

un1 un2 R2
i5

un3 uS R5
i3

un2 un3 R3
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一 般
G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1
情
G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2
I
i1 20
1
i2 i1 120
－
90V
2i1 4i3 110 ＋
i3 150 / 4
解得：
I (i1 i2 ) 120
1
1
－
U
20A ＋
2 3 2
＋
－ 100V
＋－ 110V
2
U 2i3 100 1 20 195V
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自电导总为正，互电导总为负。
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iSn1=iS1+iS2 流入结点1的电流源电流的代数和。 iSn2=-iS2＋uS/R5 流入结点2的电流源电流的代数和。
流入结点取正号，流出取负号。
由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电 压，各支路电流可用结点电压表示：
16
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二、弥尔曼定律
A
在如图所示电路中，有 多条支路，但只有2个节点，
若以B点为电位参考点，则 A点的KCL方程为：
R1 +
E1
R2
R3 R4
+
E2
E3
+
B
(G1 G2 G3 G4 )U A E1G1 E2G2 E3G3
化简后可得：
UA

A EG AG
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例 列写电路的结点电压方程。
un1 4V
1
4U
un1 (1 0.5 3 2)un2 0.5un3 1 5
0.5un2 (0.5 0.2)un3 3A
1
＋
注：与电流源串接的
1
3
电阻不参与列方程 ＋
uA
uB KVL自动满足
iS3
2. 方程的列写
(1) 选定参考结点， 标 明 其 余 n-1 个 独 iS1 立结点的电压
1 i2 R2
i3 R3
3
i1
2
i4 R5 i5
R1
R4
+
u_ S
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(2) 列KCL方程：
iR出= iS入 i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0 -i3+i5=－iS2
_2 G4
G5
-G4U2+(G4+G5)U3 =－I
看
成
3
增补方程
U1-U3 = US
电
流
（2） 选择合适的参考点
1
源
U1= US
+ Us
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0 _
G1
G2
G3
2
3
G4
G5
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
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3A
4V
增补方程：
1V － 2 2
－ 5 3 ＋U －
U = Un3
3 ＋ 4U － 2
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I
例 求U和I 。
解1 应用结点法。
1
－
un1 100V
90V
un2 100 110 210V
＋ 2
0.5un1 0.5un2 un3 20
G11un1+G12un2 ＋G13un3 = iSn1 G21un1+G22un2 ＋G23un3 = iSn2
标准形式的结点 电压方程
G31un1+G32un2 ＋G33un3 = iSn3
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其 G11=G1+G2 中
结点1的自电导，等于接在结点1上所有 支路的电导之和。
况

Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
其中 Gii —自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之和 (包括电压源与电阻串联支路)。总为正。
Gij = Gji—互电导，等于接在结点i与结点j之间的所 支路的电导之和，总为负。
iSni — 流入结点i的所有电流源电流的代数和(包括
2
1
11

R1
un1
( R1

R3
)un2

gmuR2
iS1
(2) 用结点电压表示控制量。
uR2 un1
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例 列写电路的结点电压方程。
R5
uS +
_
解 (1)设参考点，把
受控源当作独 立源列方程；
1 iS1
R1
+ r i－
iS2
1 i2 R2
i3 R3
3
i1
2
i4 R5 i5
iS1
R1
R4
+
u_ S
把支路电流用结点电压表示：
un1 R1

un1 un2 R2
iS1 iS2
un1 un2 un2 un3 un2 0
R2
R3
R4
un2 un3 R3
un3 uS R5
iS2
G22=G2+G3+G4 G33=G3+G5 G12= G21 =-G2
结点2的自电导，等于接在结点2上所有
支路的电导之和。
结点3的自电导，等于接在结点3上所有 支路的电导之和。
结点1与结点2之间的互电导，等于接在 结点1与结点2之间的所有支路的电导之 和，为负值。
G23= G32 =-G3
结点2与结点3之间的互电导，等于接在结 点1与结点2之间的所有支路的电导之和， 为负值。