2021-2022年高中数学课时作业81.6垂直关系北师大版

2021-2022年高中数学课时作业81.6垂直关系北师大版 |基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知直线l ⊥α，α∥β，则( )
A ．l ∥β
B ．lβ
C ．l ⊥β
D ．以上均有可能
解析：由于α∥β，则平面β内存在两条相交直线m ，n 分别平行于平面α内两条相交直线a ，b ，又l ⊥α，则l ⊥a ，l ⊥b ，所以l ⊥m ，l ⊥n ，所以l ⊥β.
答案：C
2．已知直线a 、b 和平面α，下列推理中错误的是( )
A.
⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αbα⇒a ⊥b B. ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b ⊥α⇒b ⊥α C. ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b ⊥α⇒a ∥α或aα D. ⎭
⎪⎬⎪⎫a ∥α∥α⇒a ∥b 解析：当a ∥α，b ∥α时，a 与b 可能平行，也可能相交或异面，即D 推理错误．故选D.
答案：D
3．ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论错误的是( )
A ．BD ∥平面C
B 1D 1
B ．A
C 1⊥BD
C ．AC 1⊥平面CB 1
D 1
D ．AC 1⊥BD 1
解析：正方体中BD ∥B 1D 1，可知选项A 正确；
由BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1可得BD ⊥平面ACC 1；
从而BD ⊥AC 1，即选项B 正确；
由以上可得AC 1⊥B 1D 1，同理AC 1⊥D 1C ，
因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，
所以AC1⊥BD1不正确．选D.
答案：D
4．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中错误的个数是( )
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由于BD∥B1D1，故①正确；由于BD⊥AC，BD⊥CC1，故BD⊥平面ACC1，故BD⊥AC1，故②正确；同理AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故AC1⊥平面CB1D1，故①②③全正确．选A.
答案：A
5．(xx·淮安一中月考)在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．BC⊥平面PAE
C．DF⊥平面PAE D．AE⊥平面APC
解析：因为D，F分别为AB，AC的中点，
所以DF∥BC，故BC∥平面PDF，故A项正确．
又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC，PE⊥BC，所以BC⊥平面PAE，
又DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故B、C项正确．
由于AE与AP不垂直(否则，等腰三角形PAE将有两个直角)，故AE与平面APC不垂直．选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在三棱锥P－ABC中，最多有________个直角三角形．
解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．答案：4
7．有下列四种说法，正确的序号是________．
①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α.
解析：①正确；对于②，若直线nα，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，只有a，b相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．
答案：①
8．已知点O为三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的________心．解析：因为PA＝PB＝PC，
所以OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；
若PA⊥BC，又PO⊥平面ABC，
所以BC⊥PO.
所以BC⊥平面PAO.
所以BC⊥AO.
同理AC⊥OB.
所以O是△ABC的垂心．
若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．
答案：外垂内
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.
证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，
∴底面ABCD为直角梯形，
AD＝2－12＋22＝ 5.
∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.
又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，
∴SD⊥SA.
连接BD，则BD＝22＋12＝5，∴BD2＝SD2＋SB2，
∴SD⊥SB.
又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.
10．S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，
在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，
∴DE∥BC，∴DE⊥AB，
∵SA＝SB，
∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.
又SE∩DE＝E，
∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.
在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.
(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，
由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，
又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．(xx·太原五中高二月考)已知在矩形ABCD中，AB＝22，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是( )
A．1 B. 2
C．2 2 D．4 2
解析：假设在BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，
连接AQ(图略)，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD，
又由于PQ⊥QD，所以QD⊥平面APQ，
则QD⊥AQ，
即∠AQD＝90°，
易得△ABQ∽△QCD，
设BQ＝x，
所以有x(a－x)＝8，
即x2－ax＋8＝0，(*)
所以当Δ＝a2－32≥0时，(*)方程有解，
因此，当a≥42时，存在符合条件的点Q，
所以a的最小值是42，故选D.
答案：D
12．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．
解析：tan∠PCA＝PA
AC
＝
1
3
＝
3
3
，∴∠PCA＝30°.
答案：30°
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为CC1中点，O为底面ABCD的中心．
求证：A1O⊥平面GBD.
证明：连接GO，A1G.
∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴DB⊥平面A1ACC1，
而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB.
在矩形A1ACC1中，设A1A＝1，
∵tan∠AA1O＝
2
2
，tan∠GOC＝
2
2
，
∴∠AA1O＝∠GOC，则∠A1OA＋∠GOC＝90°，
∴A1O⊥OG.∵OG∩DB＝O，
∴A1O⊥平面GBD.
14．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明：(1)因为AB为⊙O的直径，
所以AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.
又因为PA∩AM＝A，
所以BM⊥平面PAM.
又AN平面PAM，所以BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB平面PBM，所以AN⊥PB.
又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
所以PB⊥平面ANQ.
又NQ平面ANQ，所以PB⊥NQ.34190 858E 薎19986 4E12 丒23112 5A48 婈30340 7684 的39548 9A7C 驼 20795 513B 儻34636 874C 蝌>L33828 8424 萤 V29447 7307 猇31511 7B17 笗。