人教版高中数学课件-不等式

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第三章 不等式
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3．4 基本不等式 ab≤a＋2 b
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1．瞭解基本不等式的代數和幾何背景． 2．會用基本不等式進行代數式大小的比較及證明不等 式． 3．理解並掌握基本不等式及其變形． 4．會用基本不等式求最值問題和解決簡單的實際問題．
对于 D，∵ab>0，∴ba＋ab≥2 ba·ab＝2.
答案： D
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3．若 x>0，则 x＋2x的最小值为________． 解析： ∵x>0⇒x＋2x≥2 2，当且仅当 x＝2x即 x＝ 2时取 “＝”．
答案： 2 2
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方法二：由题意知，y＝(x－50)·x－104502， 令 x－50＝t，x＝t＋50(t≥0)， 则 y＝t＋10150t 2＝t2＋2100t＋5t 100＝t＋110t005＋20 ≤201＋0520＝2 500，
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1．設x，y滿足x＋y＝40，且x，y都是正數，則xy的最大值
為( )
A．400
B．100
C．40
D．20
解析： xy≤x＋2 y2＝400，当且仅当 x＝y＝20 时，等号成 立，故选 A.
答案： A
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(4)∵x>1，y>2， ∴x－1>0，y－2>0. 又由 x＋y＝15，得(x－1)＋(y－2)＝12 ∴z＝(x－1)(y－2)≤x－1＋2 y－22＝36. 当且仅当 x－1＝y－2 时，z 有最大值 36.
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已知 a>0，b>0，代数式 a＋b 与 2 ab. [问题 3] 比较两个式子的大小． [提示] ∵a>0，b>0， a＋b－2 ab＝( a－ b)2≥0， ∴a＋b≥2 ab.
[问题 4] 不等式 a＋b≥2 ab中的“＝”什么时候成立？ [提示] a＝b
2．(1)函数 y＝2x＋2x(x>0)的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．6
(2)设 x>0，y>0，且 2x＋y＝1，求1x＋1y的最小值．
解析： (1)y＝2x＋2x≥2 2x·2x＝4，当且仅当 2x＝2x，x＝ 1 时取等号，ymin＝4.故选 C 项．
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∵x－50≥0，∴x－50＋x－10500≥20， ∴y≤201＋0520＝2 500， 当且仅当 x－50＝x－10500，即 x＝60 或 x＝40(舍去)时，等号 成立，ymax＝2 500.
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基本不等式
(1)重要不等式：对于任意实数 a，b，都有 a2＋b2__≥__2ab，
当且仅当__a_＝__b___时，等号成立．
(2) 基 本 不 等 式 ：
ab
__≤__
a＋b 2
(a>0
，
b>0)
，
当
且
仅
当
___a_＝__b__时，等号成立．其中a＋2 b和 ab分别叫做正数 a，b 的
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利用基本不等式證明不等式
已知 a，b，c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. [思路点拨] 判断a，b，c，ab2，bc2，ca2均大于0 → 证ab2＋b≥2a → 证bc2＋c≥2b → 证ca2＋a≥2c → 得所证不等式
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利用基本不等式解應用題
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售 价格为每件 x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为x－104502，若 想每天获得的利润最多，则销售价应定为多少元？
[思路点拨] 设出变量 ―→ 列函数关系式 ―→
利用基本不等式求最值 ―→ 作出结论
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在利用基本不等式求最值時要注意三點：一 是各項為正；二是尋求定值，求和式最小值時應使積為定值， 求積式最大值時應使和為定值(恰當變形，合理發現拆分項或 配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號成立的條件.
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ca2＋a≥2 ca2·a＝2c， 当且仅当ca2＝a 时等号成立. 相加得ab2＋b＋bc2＋c＋ca2＋a≥2a＋2b＋2c， ∴ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
9分 12 分
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方 法 二 ：1x ＋ 1y ＝1x＋1y ·1 ＝1x＋1y (2x ＋ y) ＝3 ＋2yx ＋ yx ≥3 ＋ 2 yx·2yx＝3＋2 2，
以下同方法一．
答案： (1)C
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(1)在利用 a＋b≥2 ab时，一定要注意是否 满足条件 a>0，b>0.
(2)在利用基本不等式 a＋b≥2 ab或a＋2 b≥ ab(a>0，b>0) 时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的 形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用.
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(3)∵0<x<13， ∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112， 当且仅当 x＝16时，函数 y＝x(1－3x)取得最大值112.
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(2)方法一：∵x>0，y>0，1x＋9y＝1， ∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9yx＋10≥6＋10＝16， 当且仅当yx＝9yx，又1x＋9y＝1， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号． 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
_算__術__平__均__數___和__幾__何__平__均__數__．
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基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b∈R*)的应用 (1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a>0， b>0，且 a＋b＝M，M 为定值，则 ab≤M42，当且仅当 a＝b 时 等号成立．即：a＋b＝M，M 为定值时，(ab)max＝M42. (2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 a>0， b>0，且 ab＝P，P 为定值，则 a＋b≥2 P，当且仅当 a＝b 时 等号成立．
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已知代數式a2＋b2,2ab(a，b∈R)， [問題1] 比較兩個式子的大小． [提示] ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. [問題2] “＝”在什麼條件下成立？ [提示] a＝b
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[边听边记] (1)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6， 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6.
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又 f(x)＝x＋x－9 2＝x－2＋x－9 2＋2 ≥2 x－2×x－9 2＋2＝8(x>2)． 当且仅当 x－2＝x－9 2， 即 x＝5 时取“＝”， 即 f(x)的最小值为 8.
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4．已知函数 f(x)＝x＋x－a 2(x>2)的图象过点 A(11,12)，求函 数 f(x)的最小值．
解析： 由题意知，12＝11＋11－a 2，解得 a＝9. 所以函数 f(x)＝x＋x－9 2.
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(2)方法一：∵x>0，y>0,2x＋y＝1， ∴1x＋1y＝2x＋x y＋2x＋y y＝3＋yx＋2yx ≥3＋2 yx·2yx＝3＋2 2， 当且仅当yx＝2yx，即 y＝ 2x 时，等号成立． 解得 x＝1－ 22，y＝ 2－1， ∴当 x＝1－ 22，y＝ 2－1 时，1x＋1y有最小值 3＋2 2.
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≥4＋2＋2＋2＝10， 当且仅当 a＝b＝c＝13时取等号． ∴Biblioteka ＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥10.
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利用基本不等式求最值
(1)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值； (2)已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值； (3)已知 0<x<13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值； (4)已知 x>1，y>2，且 x＋y＝15，求 z＝(x－1)(y－2)的最大值． [思路點撥] 利用基本不等式時，應按照“一正，二定， 三相等”的原則挖掘條件，檢查條件是否具備，再利用基本不 等式解之．
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解析： 方法一：设当销售价格为每件 x 元时，获得的利 润为 y，由题意知，
y＝(x－50)·x－104502 ＝(x－50)·x－502＋2100x5－50＋100 ＝x－50＋1x0－150500＋20.
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方法二：由1x＋9y＝1，得 (x－1)(y－9)＝9(定值)． 可知 x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 x－1y－9＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号， 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
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[规范解答] 证明：∵a，b，c，ab2，bc2，ca2均大于 0，
∴ab2＋b≥2 ab2·b＝2a.
当且仅当ab2＝b 时等号成立.
3分
bc2＋c≥2 bc2·c＝2b.
当且仅当bc2＝c 时等号成立.
6分
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1．已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1. 求证：a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥10.
证明： a＋1a＋b＋1b＋c＋1c ＝a＋a＋ab＋c＋b＋a＋bb＋c＋c＋a＋bc ＋c ＝4＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc
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2．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D．ba＋ab≥2
解析： ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误．
对于 B，C，当 a<0，b<0 时，明显错误．