2011届高考数学集合与简易逻辑综合能力复习题

第一章集合与简易逻辑综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)
1．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|mx＝1}，若Q⊆P，则实数m的数值为() A．1B．－1C．1或－1D．0,1或－1
答案：D
解析：当m＝0时，Q＝∅⊆P；
当m≠0时，由Q⊆P知，x＝1
m＝1或x＝
1
m＝－1，得m＝1或m＝－1.
2．已知U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则() A．M∩N＝{4,6} B．M∪N＝U
C．(∁U N)∪M＝U D．(∁U M)∩N＝N
答案：B
解析：由题意得M∩N＝{4,5}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，(∁U N)∪M＝{3,4,5,7}≠U，(∁U
M)∩N＝{2,6}≠N，综上所述，选B.
3．(2009·江西)已知空集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B 非空，则A∩B的元素个数为() A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n
答案：D
解析：依题意，结合韦恩图分析可知，集合A∩B的元素个数是m－n，选D.
4．(2009·北京)设集合A＝{x|－1
2＜x＜2}，B＝{x|x
2≤1}，则A∪B＝()
A．{x|－1≤x＜2} B．{x|－1
2＜x≤1}
C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}
答案：A
解析：B＝{x|－1≤x≤1}，A∪B＝{x|－1≤x＜2}．
5．如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的是()
①命题“p且q”是真命题
②命题“p且q”是假命题
③命题“p或q”是真命题
④命题“p或q”是假命题
A．②③B．②④C．①③D．①④
答案：C
解析：∵“非p或非q”是假命题，
∴非p和非q都是假命题，
∴p和q都是真命题，
故“p且q”和“p或q”都是真命题．
6．设全集为U，若命题p：2008∈A∪B，则命题┐p是() A．2008∈A∪B
B．2008∉A或2008∉B
C．2008∈(∁U A)∩(∁U B)
D．2008∈(∁U A)∪(∁U B)
答案：C
解析：命题p 即“2008∈A 或2008∈B ”，┐p 为“2008∉A 且2008∉B ”．故选C.
总结评述：集合与简易逻辑属简单题，概念清楚则得分不难．
7．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么命题丁是命题甲的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
答案：B
解析：“甲是乙的充分不必要条件”⇔“甲⇒乙且乙甲”；“丙是乙的必要不充分条件”
⇔“乙⇒丙且丙乙”；“丁是丙的充要条件”⇔“丙⇒丁且丁⇒丙”，由已知可得“甲⇒乙⇒丙⇒丁”，即“甲⇒丁”，若丁⇒甲，则由已知得“丙⇒丁⇒甲⇒乙”即“丙⇒乙”这与已知矛盾，
所以“丁甲”，因此丁是甲的必要不充分条件，故选B.
总结评述：①用“⇒”表示命题间关系显得清晰直观．②“丁甲”必须明确，否则结论不准确．
8．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是 ( )
A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0
B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0
C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0
D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0
答案：C
解析：该命题的否定为其否定形式，而不是否命题，故选C.
9．命题：“若a 2＋b 2＝0(a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是 ( )
A ．若a ≠b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
B ．若a ＝b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
C ．若a ≠0且b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
D ．若a ≠0或b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
答案：D
解析：“且”的否定为“或”，因此逆否命题为若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0.
10．(2009·衡阳第一次联考)在△ABC 中，“sin2A ＝sin2B ”是“A ＝B ”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由sin2A ＝sin2B ，得：A ＝B 或A ＋B ＝π2
，∴sin2A ＝sin2B A ＝B ，而A ＝B ⇒sin2A ＝sin2B .
11．(2009·湖北，5分)已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝ ( )
A ．{(1,1)}
B ．{(－1,1)}
C ．{(1,0)}
D ．{(0,1)}
答案：A
解析：由已知可求得P ＝{(1，m )}，Q ＝{(1－n,1＋n )}，再由交集的含义，有
⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝1－n m ＝1＋n ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
n ＝0m ＝1，所以选A. 12．(2010·河南省焦作市期中试题)设集合A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x 2}，则A ×B 等于 ( )
A ．(2，＋∞)
B ．[0,1]∪[2，＋∞)
C ．[0,1)∪(2，＋∞)
D ．[0,1]∪(2，＋∞)
答案：A
解析：A ＝{x |y ＝2x －x 2}＝{x |0≤x ≤2}
B ＝{y |y ＝2x 2}＝{y |y ≥0}
∴A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]
因此A ×B ＝(2，＋∞)，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上．)
13．设集合A ＝{x |(x －1)2＜3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中有________个元素． 答案：6
解析：由(x －1)2＜3x ＋7可得－1＜x ＜6，即得A ＝(－1,6)．
∴A ∩Z ＝{0,1,2,3,4,5}，即得集合A ∩Z 中共有6个元素．
14．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为______________．
答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －1
解析：写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．
15．若命题p ：不等式ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＞－b a
}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，则“p 且q ”“p 或q ”及“非p ”形式的复合命题中的真命题是__________．
答案：非p
解析：命题p 为假命题，命题q 为假命题，故只有“非p ”是真命题．
16．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是__________．
答案：[0，12
] 解析：解|4x －3|≤1得12
≤x ≤1.解q 得a ≤x ≤a ＋1.由题设条件得q 是p 的必要不充分条件，
即p ⇒q ，q p .
∴[12
，1][a ，a ＋1]． ∴a ≤12且a ＋1≥1，得0≤a ≤12
. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．)
17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求a 、b 、c 的值．
分析：由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考．
解答：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A 且－3∈B ，
将－3代入方程：x 2＋ax －12＝0中，得a ＝－1，
从而A ＝{－3,4}．
将－3代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得3b －c ＝9.
∵A ∪B ＝{－3,4}，∴A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .
∵A ≠B ，∴B A ，∴B ＝{－3}．
∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的判别式△＝b 2－4c ＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
3b －c ＝9 ①b 2－4c ＝0 ② 由①得c ＝3b －9，代入②整理得：(b －6)2＝0，
∴b ＝6，c ＝9.
故a ＝－1，b ＝6，c ＝9.
18．(2009·山东济南高三12月月考)(本小题满分12分)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1＞0的解集为R ，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求m 的取值范围．
解析：p 为真命题⇔⎩⎪⎨⎪⎧ △＝m 2
－4＞0－m ＜0
1＞0⇒m ＞2. q 为真命题⇔△＝[4(m －2)]2－4×4×1＜0⇒1＜m ＜3.
∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．
若p 真q 假，则m ＞2，且m ≤1或m ≥3，所以m ≥3.
若p 假q 真，则m ≤2，且1＜m ＜3，所以1＜m ≤2.
综上所述，m 的取值范围为{m |1＜m ≤2，或m ≥3}．
19．(本小题满分12分)设全集I ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ＞0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－ax ＋b ＜0，x ∈R }，C ＝{x |x 3＋x 2＋x ＝0，x ∈R }．又∁R (A ∪B )＝C ，A ∩B ＝{x |2＜x ＜4，x ∈R }，试求a 、b 的值．
解析：∵A ＝{x |x ＜0或x ＞2}，B ＝{x |x 2－ax ＋b ＜0，x ∈R }＝{x |x 1＜x ＜x 2，x 1、x 2∈R }，C ＝{x |x ＝0}，∁R (A ∪B )＝C ＝{0}，
∴A ∪B ＝{x |x ≠0且x ∈R }．
又A ∩B ＝{x |2＜x ＜4，x ∈R }，可得x 1＝0，x 2＝4.
又x 1、x 2是方程x 2－ax ＋b ＝0的两根，
∴x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝b .
从而求得a ＝4，b ＝0.
20．(本小题满分12分)求关于x 的方程ax 2－(a 2＋a ＋1)x ＋a ＋1＝0至少有一个正根的充要条件．
解析：方法一：若a ＝0，则方程变为－x ＋1＝0，x ＝1满足条件，若a ≠0，则方程至少有一个正根等价于
a ＋1a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝0a 2＋a ＋1a ＞0
或⎩⎨⎧
a 2＋a ＋1a ＞0a ＋1a ＞0△＝(a 2＋a ＋1)2－4a (a ＋1)≥0
⇔－1＜a ＜0或a ＞0.
综上：方程至少有一正根的充要条件是a ＞－1.
方法二：若a ＝0，则方程即为－x ＋1＝0，
∴x ＝1满足条件；
若a ≠0，∵△＝(a 2＋a ＋1)2－4a (a ＋1)
＝(a 2＋a )2＋2(a 2＋a )＋1－4a (a ＋1)
＝(a 2＋a )2－2a (a ＋1)＋1＝(a 2＋a －1)2≥0，
∴方程一定有两个实根．
故而当方程没有正根时，应有
⎩⎨⎧ a 2＋a ＋1a ≤0a ＋1a ≥0，解得a ≤－1，
∴至少有一正根时应满足a ＞－1且a ≠0，
综上，方程有一正根的充要条件是a ＞－1.
21．(本小题满分12分)已知条件p ：|5x －1|＞a 和条件q ：12x 2－3x ＋1
＞0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题；“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．
解析：已知条件p 即5x －1＜－a 或5x －1＞a ，
∴x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5
， 已知条件q 即2x 2－3x ＋1＞0，
∴x ＜12
或x ＞1； 令a ＝4，则p 即x ＜－35
或x ＞1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然． 故可以选取的一个实数是a ＝4，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．
(注：本题为一开放性命题，答案不唯一，只需满足1－a 5≤12，且1＋a 5
≥1即可．) 22．(2011·高考原创题)(本小题满分12分)已知函数f (x )满足下列条件：(1)f (12
)＝1；(2)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(3)f (x )的值域为[－1,1]．试证：14
不在f (x )的定义域内． 命题意图：本题主要考查利用函数的性质求值和反证法．
解析：假设14
在f (x )的定义域内． 则f (14)有意义，且f (14
)∈[－1,1]． 又由题设，得f (14)＝f (12·12)＝f (12)＋f (12)＝2∉[－1,1]与f (14
)∈[－1,1]矛盾． 故假设不成立，从而14
不在f (x )的定义域内． 总结评述：1.用反证法证明命题的一般步骤为：
(1)假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
(3)由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确．。