山东省济南市实验初级中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省济南市实验初级中学2022年高三数学理下学期期末试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）“x＞1”是“|x|＞1”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
【考点】：充要条件．
【专题】：简易逻辑．
【分析】：解绝对值不等式，进而判断“x＞1”?“|x|＞1”与“|x|＞1”?“x＞1”的真假，再根据充要条件的定义即可得到答案．
解：当“x＞1”时，“|x|＞1”成立，
即“x＞1”?“|x|＞1”为真命题，
而当“|x|＞1”时，x＜﹣1或x＞1，即“x＞1”不一定成立，
即“|x|＞1”?“x＞1”为假命题，
∴“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件．
故选A．
【点评】：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“x＞1”?“|x|＞1”与“|x|＞1”?“x＞1”的真假，是解答本题的关键．
2. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是A．B．C．D．
参考答案：
C
3. 定义在R上的函数f (x)在（－∞，2）上是增函数，且f (x＋2)的图象关于轴对称，则
A．f(－1)＜f (3) B．f(0)＞f(3) C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
参考答案：
A
4. 若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
参考答案：
C
【考点】球的体积和表面积．
【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之
得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．
【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，
可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4
∵两个球的表面积之比为1：4，
∴===，解之得=（舍负）
因此，这两个球的体积之比为==（）3=
即两个球的体积之比为1：8
故选：C
5. 已知集合，，则为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
6. 某四面体的三视图如图所示，且四个顶点都在一个球面上，则球面的表面积为（）
A．B．5πC．7πD．
参考答案：
D
【考点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由三视图想象出空间几何体，进而求出几何体外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．
【解答】解：该几何体的底面是边长为1的正三角形，侧棱垂直于底面，长度为，
设球心到底面中心的距离为d，球的半径为r，则
∵正三角形的外接圆的半径为，
∴r2=（）2+=，
∴球面的表面积为4πr2=．
故选：D．
【点评】本题考查了学生的空间想象力，考查了由三视图得到直观图，其中几何体的形状判断是解答的关键，属于中档题．7. 已知集合A={x∈N|x2﹣2x≤0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数为( )
A．3 B．4 C．7 D．8
参考答案：
D
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B的并集确定出B的个数即可．
【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，x∈N，即A={0，1，2}，
∵A∪B={0，1，2}，
∴B可能为{0}；{1}；{2}；{0，1}；{0，2}；{1，2}；{0，1，2}，?共8个．
故选：D．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
8. 在等差数列中，满足，且，是数列的前n项和。

若取得最大值，则（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
9. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果x1、
x2∈，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于( )
A．B．C．D．1
参考答案：
C
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．
解答：解：由图观察可知，T=2×（+）=π，
∴ω==2，
∵函数的图象经过（﹣，0），
∴可得：0=sin（﹣+φ），
∵|φ|＜，
∴可解得：φ=，
∴f（x）=sin（2x+），x1+x2=2×=，
∴f（x1+x2）=sin=．
故选：C．
点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力，属于中档题．10. 已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝，则sinα－cosα的值为( )
A． B． C. － D. －
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知三棱锥S - ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，二面角H - AB - C 的平面角等于30°, SA =2 。

那么三棱锥S - ABC 的体积为__________.
参考答案：
由题设，AH⊥面S BC．作B H⊥S C于E．由三垂线定理可知S C⊥AE，
S C⊥A B．故S C⊥面A B E．设S在面A BC内射影为O，则S O⊥面A BC．由三垂线定理之逆定理，可知C O⊥A B于F．同理，B O⊥A C．故O为△A B C的垂心．
又因为△A B C是等边三角形，故O为△A B C的中心，从而S A=S B=S C=．因为C F⊥A B，C F是E F在面A B C上的射影，由三垂线定理，E F⊥A B．所以，∠E FC是二面角H-AB-C的平面角．故∠E F C=30°，
OC=SCcos60°=，
SO=tg60°=×=3．
又 OC=AB，故AB=OC=×=3．
所以，V S-ABC=．
12. 如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若则
（）
A. 2
B.
C.
D.
参考答案：
D
试题分析：取向量作为一组基底，则有
，所以
又，所以，即.
13. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，，，则__________ 参考答案：
【分析】
由可计算得到；根据求出，利用模长的定义求得结果. 【详解】本题正确结果：
【点睛】本题考查向量模长的坐标运算，关键是能够根据向量的线性运算求出向量的坐标，属于基础题.
14. 设是曲线上的一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程
为
.
参考答案：
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程概念.
【试题分析】设，,因为M是线段的中点，则有，所以，即，故答案为.
15. 在△ABC中，，则∠B= ．
参考答案：
16. 在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2，），（3，），则O点到直线AB的距离是．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】转化思想；综合法；坐标系和参数方程．
【分析】把点的极坐标化为直角坐标的方法，可得直线AB 的方程，再利用点到直线的距离公式求得O 点到直线AB 的距离．
【解答】解：根据点A ，B 的极坐标分别是（2，
），（3，
），可得A 、B 的直角坐标分别
是（3，
）、（﹣，
），
故AB 的斜率为﹣，故直线AB 的方程为 y ﹣
=﹣
（x ﹣3），即x+3
y ﹣12=0，
所以O 点到直线AB 的距离是=，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
17. 设x ，y 满足约束条件，则的取值范围是
．
参考答案：
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立
，解得A （﹣4，﹣3），
联立，解得B （1，2）， 化为y=﹣
，由图可知，当直线y=﹣
分别过A 、B 时，z 有最小值和最大值分别为﹣
5、． ∴
的取值范围是：
．
故答案为：
．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 [30，35）岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任
主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学 期望
参考答案：
（I ）0.2×100=20，
，
∴①处是20，②处是0.35，
∵由频率分步直方图中，[30，35）的人数是0.35×500=175 在频率分步直方图知，在[25，30）这段数据上对应的频率是0.2，
∵组距是5，
∴小正方形的高是，
在频率分步直方图中补出高是0.04的一个小正方形．
（II）用分层抽样方法抽20人，
则年龄低于30岁的有5人，年龄不低于30岁的有15人，
故X的可能取值是0，1，2，
P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=
∴X的分布列是
∴X的期望值是EX=
19. （12分）
已知△ABC的面积S满足
（I）求θ的取值范围；
（II）求函数的最大值。

参考答案：
解析：（I）由题意知…………1分（II）
…………10分
20. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过其左焦点且与其长轴垂直的椭圆C的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程
（2）求与椭圆C交于两点且过点（0，）的直线l的斜率k的取值范围．
参考答案：
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）把x=﹣c代入椭圆方程解得，可得=1．又，a2=b2+c2，联立解得即可得出；
（2）设直线l的方程为y=kx+，与椭圆方程联立化为（1+4k2）x2++8=0，由于直线l与椭圆相交于两点，可得△＞0，解出即可．
解答：解：（1）把x=﹣c代入椭圆方程可得：，解得，∴=1．
又，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c=．
∴椭圆C的方程为=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+，联立，化为（1+4k2）x2++8=0，
）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距
离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既
以求得点E 到面ACD 1的距离．
（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ，
则∠DHD 1为二面角D 1﹣EC ﹣D 的平面角．
解法（二）：
以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1（1，0，1），D
（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间
何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1）
．
（2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0），从而
，
，设平面ACD 1的法向量为
，从而
，所以点E 到平面AD 1C
距离为．
（3）设平面D 1EC 的法向量
，可求得
．，因为二面角D 1﹣EC ﹣D 的大小为
所以根据余弦定理可得AE=
时，二面角D 1﹣EC ﹣D 的大小为
．
答：
解法（一）：
（1）证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E （2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=
，AD 1=
，
故
．∴，
∴，∴．
（3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ，∴∠DHD 1为二面角D 1﹣EC ﹣D 的平面角．
设AE=x ，则BE=2﹣x 在Rt △D 1DH 中，∵
，∴DH=1．
∵，∴在Rt △DHE 中，EH=x ，
． ∴
．
∴
．
解法（二）：
以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0）
（1）．（2）因为E 为AB 的中点，则E （1，
1，0），从而
，
，设平面ACD 1的法向量为
，
则也即，得，从而
，所以点E 到平面AD 1C 的距离为
．
（3）设平面D 1EC 的法向量
，
∴，
由
令b=1，∴c=2，a=2﹣x ，
∴
．
依题意
．
∴
（不合，舍去），
．
∴AE=
时，二面角D 1﹣EC ﹣D 的大小为
．
点评：
本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．
22. （本小题满分 某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了下：
（I）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；
（II）在北方工厂使用寿命不低于600小时的样本灯具中随机抽取两个灯具，求至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率。

参考答案：
（I）北方工厂灯具平均寿命：小时；南方工厂灯具平均寿命：小时. （Ⅱ）.
试题分析：（I）直接根据频率分布直方图的平均数的计算公式分别求出北方工厂灯具和南方工厂灯具平均
数，即为所求的结果；（Ⅱ）首先根据题意分别求出样本落在和的个数，然后将其分别编号，并列举出所抽取出的所有样本的种数，再求出至少有一个灯具寿命在之间的个数，最后运用古典概型计算公式即可计算出所求的概率的大小.
试题解析：（I）北方工厂灯具平均寿命：
小时；
南方工厂灯具平均寿命：小时.
（Ⅱ）由题意样本在的个数为3个，在的个数为2个；记灯具寿命在
之间的样本为1,2,3；灯具寿命在之间的样本为，.则：所抽取样本有（1,2），
（1,3），（1,），（1，），（2,3），（2，），（2，），（3，），（3，），（，），共10种情况，其中，至少有一个灯具寿命在之间的有7种情况，所以，所求概率为
.
考点：1、频率分布直方图；2、古典概型的概率计算公式；。