九年级数学上册 第一章 证明(二)复习课件 北师大版

(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
4．等边三角形的判定
(1)有一个角等于60°的
三角形是等边三角形；
等腰
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第1章复习 ┃ 知识(zhī shi)归类
(2)三边(sān biān)相等的三角形叫做等边三角形；
(3)三个角相等的三角形是等边三角形；
图S1－8
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第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
∴∠DCE＋∠CDE＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°， ∴∠3＝∠4. 在△FDE 与△ADE 中， ∠FDE＝∠ADE， DE＝DE， ∠3＝∠4， ∴△FDE≌△ADE(ASA)，∴DF＝DA. ∵CD＝DF＋CF，∴CD＝AD＋BC.
(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形．
5．直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
斜边的
.
一半 6．勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的
.
平方
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第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
方法技巧 角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有 着广泛的应用．而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特 殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗．掌握好“截长补短 法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助．
方法技巧 利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题， 也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转 化为平面图形问题——即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆 锥的侧面展开问题．这种由三维立体和二维平面的相互转化，充分 体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能 力、理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型．
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8．三线共点
三角形三条边的垂直平分线相交于 一点 ，并且(bìngqiě)这
一点到三角形三个顶点的相距等离
.
9．角平分线的性质定理及判定定理
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 .
判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离 相等的点， 在这个角的平分线上．
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第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
方法技巧 与全等三角形有关的开放型试题形式多样，设计新颖，能培养 同学们的逆向思维能力、创新能力和综合运用知识的能力．解答条 件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条 件．同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共 边等，然后合理选择全等三角形的知识解决．另外，要注意这类题 的答案往往不唯一，只要合理即可．
第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
► 例考2点(k如ǎo图dSi1ǎ－n)2二，在全△等AB三C和角△形D的E证F明中，B，E，C，F在同一直线 上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为 结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF.
变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
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[解析] 要证明△DEF为等腰三角形，需要证DE＝DF.连接AD，利 用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样(tóngyàng)的方 法．
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(2)等角对等边：有两个角
的三角形是等腰三角形． 相等
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3．用反证法证明的一般步骤(bùzhòu)
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定 理或已知条件相矛盾的结果；
方法技巧 等腰三角形的应用体现在利用等腰三角形的性质与判定上，尤 其是“三线合一”的性质用来对线段或角进行转化，从而摆脱用全 等三角形证明线段相等或角相等的思维定势，更简捷地说明两线段 或角相等．在中考中，等腰三角形常与其他知识结合，综合性强， 多以证明或计算题出现．
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┃知识(zhī shi)归纳┃
1．等腰三角形的性质
性质(1)：等腰三角形的两个底角
. 相等
性质(2)：等腰三角形顶角的 互相重合．
平分、线底边上的
、底中线边上的高
2．等腰三角形的判定
(1)定义：有两条边 相的等三角形是等腰三角形．
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► 例考点3三如勾图股S定1－理3(，ɡō已u 知ɡǔ圆dì柱nɡ体l底ǐ)面的圆应的用半径为π2，高为 2， AB，CD 分别是两底面圆的直径，AD，BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，求小虫爬行的最短路线的长度(结 果保留根号)．
下面证明命题一： 已知：如题图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线 上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF. 求证(qiúzhèng)：∠ABC＝∠DEF.
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第1章复习 ┃ 考点(kǎo diǎn)攻略
证明(zhèngmíng)：在△ABC和△DEF中， ∵BE＝CF，∴BC＝EF. 又∵AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF(SSS)． ∴∠ABC＝∠DEF.
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(2)若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图S1－6所示： 连接(liánjiē)AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点， ∴AD＝BD，AD⊥BC， ∴∠DAC＝∠ABD＝45°， ∴∠DAF＝∠DBE＝135°. 又AF＝BE， ∴△DAF≌△DBE(SAS)，
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角
形是
三角形直．角
7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理
性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距
离
.
判相定等定 理 ： 到 一 条 线 段 两 个 端 点 距 离 相 等 的 点 ， 在 这 条 线 段 的
上．
[垂点直拨平] 线分段线的垂直平分线可以(kěyǐ)看作和线段两个端点距离相等的所 有点的集合．
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[解析(jiě xī)] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看 上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转 化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A 开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才能得到直角， 再利用勾股定理解决此问题．
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► 例考点5 (k如ǎo图dSi1ǎ－n)7五，A角D∥平分BC线，与点“E截在长线补段短A”B上，∠ADE＝∠CDE， ∠DCE＝∠ECB.
求证：CD＝AD＋BC.
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[解析] 结论是CD＝AD＋BC，可考虑用“截长补短法”中的“截 长”，即在CD上截取(jiéqǔ)CF＝CB，只要再证DF＝DA即可，这就 转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的．
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第1章复习(fùxí) ┃ 知识归类
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须 加上“在角的内部”这个条件．
10．三角形三条角平分线的性质(xìngzhì) 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距
离 相.等
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第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
┃考点(kǎo diǎn)攻略┃
► 考点一 线段垂直平分线的性质(xìngzhì)的应用
例1 如图S1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝ 30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝________. 50°
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第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB， ∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°， ∴△DEF仍为等腰直角三角形．
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数学·新课标（BS）
第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
[解析] 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离(jùlí)相等，所以EA＝EC，∠A＝∠ACE＝30°，又∠ACB＝ 80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.
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数学(shùxué)·新课 Nhomakorabea第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
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第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
解：命题一：在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上， AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF.求证(qiúzhèng)：∠ABC＝∠DEF.
命题二：在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，AB ＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF.求证(qiúzhèng)：AC＝DF.
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第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
解：圆柱的底面周长为 2πr＝2×π×π2＝4，取其一半：12×4 ＝2，圆柱的高为 2，根据勾股定理，得 AC2＝22＋22＝8，所以 AC ＝2 2.
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第1章复习 ┃ 考点(kǎo diǎn)攻略
证明：(1)连接(liánjiē)AD，如图S1－5： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝AD， ∴∠B＝∠DAC＝45°， 又BE＝AF， ∴△BDE≌△ADF(SAS)， ∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF， ∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°， ∴△DEF为等腰直角三角形．
方法技巧 若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用“线 段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问 题．同时，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地 运用线段垂直平分线性质，可以大大简化解题过程，同学们在学习 中要注意到这一点！
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第二十七页，共30页。
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第1章复习(fùxí) ┃ 考点攻略
证明：在 CD 上截取 CF＝BC，如图 S1－8， 在△FCE 与△BCE 中，
CF＝CB， ∠FCE＝∠BCE， CE＝CE，
∴△FCE≌△BCE(SAS)， ∴∠2＝∠1. ∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°. 又∠ADE＝∠CDE，
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第1章复习 ┃ 考点(kǎo diǎn)攻略
► 考例点4 (k已ǎo知d：iǎ在n)四△AB等C腰中三，角∠A形＝的9判0°别，AB＝AC，D为BC的中点． (1)如图S1－4，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：
△DEF为等腰直角三角形； (2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不