2019版高考数学一轮复习 第12章 选4系列 12.2 参数方程学案 文

12.2 参数方程
[知识梳理] 1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函
数⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条
曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
提醒：直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)直线⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－2＋t cos30°，y ＝1＋t sin150°
(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )
(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参
数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →
的数量．( )
(3)方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝1＋2sin θ
表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )
(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos t ，
y ＝4sin t
(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π
3
，
点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．教材衍化
(1)(选修A4－4P 39T 1)直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2t －1，
y ＝t ＋1(t 为参数)被圆x 2＋y 2
＝9截得的弦长等于
( )
A.
125 B.1255 C.925 D.910
5
答案 B
解析 直线的普通方程为x －2y ＋3＝0. 圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3. ∴圆心到直线的距离d ＝
3
5
＝35
5.
∴弦长为2r 2－d 2
＝1255
.故选B.
(2)(选修A4－4P 24例2)已知点(x ，y )满足曲线方程⎩⎨⎧
x ＝4＋2cos θ，y ＝6＋2sin θ
(θ为参数)，
则y x
的最小值是( )
A.
32 B.3
2
C. 3 D ．1 答案 D 解析 曲线方程⎩⎨⎧
x ＝4＋2cos θ，y ＝6＋2sin θ
(θ为参数)化为普通方程得(x －4)2＋(y －6)
2
＝2，
∴曲线是以C (4,6)为圆心，以2为半径的圆， ∴y x
是原点和圆上的点的连线的斜率，
如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA 时，y x
取最小值，设过原点的切线方程为y ＝
kx ，
则圆心C (4,6)到切线y ＝kx 的距离： d ＝
|4k －6|k 2
＋1
＝2，即7k 2
－24k ＋17＝0， 解得k ＝1或k ＝17
7，
∴y
x
的最小值是1.故选D. 3．小题热身
(1)(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极
坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ＋1，
y ＝t －3(t 为参
数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )
A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2 答案 D
解析 由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ＋1，
y ＝t －3
消去t ，得x －y －4＝0，
由ρ＝4cos θ⇒ρ2
＝4ρcos θ，∴C ：x 2
＋y 2
＝4x ，即(x －2)2
＋y 2
＝4，∴C (2,0)，r ＝2.
∴点C 到直线l 的距离d ＝
|2－0－4|
2
＝2， ∴所求弦长＝2r 2
－d 2
＝2 2.故选D.
(2)(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t
－1t ，y ＝t ＋1t
(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.
答案 2 5
解析 直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2
－x 2
＝4. 由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝3x ，y 2
－x 2
＝4，
得x 2
＝12，即x ＝±22
，
则|AB |＝1＋k 2
AB |x A －x B |＝1＋32
×2＝2 5.
题型1 参数方程与普通方程的互化
典例 (2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t ，y ＝2－2t
(t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．
(1)用公式法，代入消参法；(2)过P 作PH ⊥l ，
垂足为H ，当|PH |最大时，|PA |取最大值．
解 (1)曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)．
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为
d ＝
55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin30°＝255
|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43
.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为
225
5
. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为25
5.
方法技巧
将参数方程化为普通方程的方法
1．将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2
θ＋cos 2
θ＝1等．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形．
冲关针对训练
已知直线l 的方程为y ＝x ＋4，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原
点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求直线l 与圆C 的交点的极坐标；
(2)若P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值． 解 (1)由题知直线l ：y ＝x ＋4，圆C ：x 2
＋(y －2)2
＝4，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋4，
x 2＋(y －2)2
＝4，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，y ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝4，
其对应的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2.
(2)解法一：设P (2cos θ，2＋2sin θ)，
则d ＝|2cos θ－2sin θ＋2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2，
当cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d 取得最大值2＋ 2.
解法二：圆心C (0,2)到直线l 的距离为|2|
2＝2，圆的半径为2，所以点P 到直线l 的
距离d 的最大值为2＋ 2.
题型2 参数方程的应用
典例 (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t (t 为参数)．
(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .
(1)方程组法；(2)代入点到直线的距离公式，采
用分类讨论思想求解．
解 (1)曲线C 的普通方程为x 2
9
＋y 2
＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋4y －3＝0，x 29
＋y 2
＝1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－21
25，y ＝24
25.
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2125，2425.
(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17
.
当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋9
17
.
由题设得
a ＋9
17
＝17，所以a ＝8；
当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋1
17
. 由题设得－a ＋1
17＝17，
所以a ＝－16.
综上，a ＝8或a ＝－16. 方法技巧
直线的参数方程在交点问题中的应用
1．若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→
||M 0M 2→
|＝|t 1t 2|，
|M 1M 2→
|＝|t 2－t 1|＝(t 2＋t 1)2
－4t 1t 2.
2．若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 2
2
.
3．若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.
提醒：对于形如⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋at ，
y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2
≠1时，应先化为标准形式后才
能利用t 的几何意义解题．见冲关针对训练．
冲关针对训练
(2017·湘西模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12
＋t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数，0<α<π)，
曲线C 的极坐标方程为ρ·sin 2
θ＝2cos θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值． 解 (1)由ρ·sin 2
θ＝2cos θ，得 (ρsin θ)2
＝2ρcos θ，即y 2
＝2x . ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝2x . (2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得
t 2sin 2α－2t cos α－1＝0.
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则
t 1＋t 2＝
2cos αsin 2α，t 1t 2＝－1
sin 2
α
， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2 ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos
αsin 2α2＋4sin 2α＝2sin 2α， 当α＝π
2
时，|AB |的最小值为2.
1．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy
中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos t ，
y ＝1＋a sin t (t
为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2
＋(y －1)2
＝a 2
，故C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2
－2ρsin θ
＋1－a 2
＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0，ρ＝4cos θ.
若ρ≠0，由方程组得16cos 2
θ－8sin θcos θ＋1－a 2
＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2
θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2
＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.
a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，
所以a ＝1.
2．(2017·河南洛阳一模)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos φ，y ＝2＋2sin φ(φ
为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C 的普通方程；
(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，
P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
解 (1)因为圆C
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos φ，
y ＝2＋2sin φ(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为
(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2
＋(y －2)2
＝4.
(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2
＋(y －2)2
＝4， 得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
设P (ρ1，θ1)，则由⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ1＝4sin θ1，θ1＝π
6，解得ρ1＝2，θ1＝π
6
.
设Q (ρ2，θ2)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧
2ρ2
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ2
＋π6＝53，
θ2
＝π
6，
解得ρ2＝5，θ2＝π
6.
所以|PQ |＝3.
[基础送分 提速狂刷练]
1．(2017·山西太原一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝2cos φ，y ＝sin φ
(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2
－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原
点O )．
(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；
(2)当0<α<π2
时，求|OA |2＋|OB |2
的取值范围．
解 (1)C 1的普通方程为x 2
2
＋y 2＝1，C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2
θ－2＝0，
C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2
＝21＋sin 2
α， 联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2
＝4sin 2
α，
则|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α＝21＋sin 2
α＋4(1＋sin 2
α)－4， 令t ＝1＋sin 2
α，
则|OA |2＋|OB |2
＝2t ＋4t －4，当0<α<π2时，t ∈(1,2)．设f (t )＝2t ＋4t －4，易得f (t )
在(1,2)上单调递增，
∴|OA |2
＋|OB |2∈(2,5)．
2．(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐
标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t cos α，
y ＝1＋t sin α(t 为参数，0<α<π)，
曲线C 的极坐标方程为ρsin 2
θ＝4cos θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设点P 的直角坐标为P (2,1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，并且|PA |·|PB |＝28
3
，求tan α的值． 解 (1)将方程ρsin 2
θ＝4cos θ两边同乘以ρ，得
ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，
由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得y 2
＝4x . 经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式． 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝4x .
(2)将⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α代入y 2
＝4x ，
得sin 2
α·t 2
＋(2sin α－4cos α)t －7＝0， 因为P (2,1)在直线l 上，
所以|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－7sin 2α＝283，所以sin 2α＝34，α＝π3或α＝2π3，即tan α＝3或tan α
＝－ 3.
3．(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C 1：
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－4＋cos t ，
y ＝3＋sin t
(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝8cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)．
(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2
，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．
解 (1)C 1：(x ＋4)2
＋(y －3)2
＝1，C 2：x 264＋y 2
9
＝1，
C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半
轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t ＝π
2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，
故M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， 又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到C 3的距离
d ＝
55|4cos θ－3sin θ－13|＝5
5
|3sin θ－4cos θ＋13| ＝
55|5sin(θ－φ)＋13|⎝
⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43，
所以d 的最小值为85
5
.
4．(2017·宣城二模)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是ρ＝a sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3
5
t ＋2，y ＝4
5t
(t 为参数)．
(1)若a ＝2，直线l 与x 轴的交点是M ，N 是圆C 上一动点，求|MN |的最大值； (2)直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍，求a 的值．
解 (1)当a ＝2时，圆C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2y ，即x 2
＋(y －1)2
＝1. ∴圆C 的圆心坐标为C (0,1)，半径r ＝1.
令y ＝45t ＝0得t ＝0，把t ＝0代入x ＝－3
5t ＋2得x ＝2.∴M (2,0)．
∴|MC |＝22
＋12
＝ 5.
∴|MN |的最大值为|MC |＋r ＝5＋1.
(2)由ρ＝a sin θ得ρ2
＝aρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程是x 2
＋y 2
＝ay ，即x 2
＋⎝ ⎛
⎭
⎪
⎫
y －a 22
＝a 2
4
. ∴圆C 的圆心为C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，a 2，半径为⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a 2，
直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0.
∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍，
∴圆心C 到直线l 的距离为圆C 半径的一半． ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a 2－842＋32＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a 4，解得a ＝32或a ＝3211. 5．(2017·锦州二模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值． 解 (1)∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2
，
∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为： ρ2＝4ρcos θ，
∴x 2＋y 2＝4x ，
∴(x －2)2＋y 2＝4.
(2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α
代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得： (t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，
化简得t 2－2t cos α－3＝0.
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
则⎩⎪⎨⎪
⎧ t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，
∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12，
∵|AB |＝14，
∴ 4cos 2
α＋12＝14.
∴cos α＝±22. ∵α∈[0，π)，
∴α＝π4或α＝3π4
. ∴直线的倾斜角α＝π4或α＝3π4
. 6．(2017·湖北模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π4＝ 2.
(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；
(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |. 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α，消去参数α得x 29＋y 2
＝1，
即C 的普通方程为x 29＋y 2
＝1.
由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)
将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2，
所以直线l 的倾斜角为π4.
(2)由(1)，知点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos π4
，
y ＝2＋t sin π4
(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22
t ，
y ＝2＋2
2t (t 为参数)，
代入x 2
9＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0，
Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0，
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝27
5>0，
所以t 1<0，t 2<0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝182
5.。