非一致连续性定义

非一致连续性定义
首先给出一致连续的定义：
【定义】我们称函数 f(x) 在区间 i 上一致连续，如果对于任意给定的 \varepsilon>0 ，都存在 \delta>0 ，且使得当x_1,x_2\in i 且 |x_1-x_2|<\delta 成立时，就有 |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon 成立.
由此不难看出一致连续是比连续更强的条件，因为如果函数
f(x) 一致连续，则保持 x_1 不动，令 x_2\to x_1 ，则自然f(x) 在 x_1 一点连续，而由 x_1 的任意性即可得到 f(x) 在 i 上连续，从而我们得到了第一个结论：
【命题一】若函数 f 在 i 上一致连续，则 f 在 i 上连续.
反过来想：如果 f 在 i 上连续，是否能够保证 f 在 i 上一致连续？答案是不能，我们给出一个反例：
【例一】讨论 f(x)=\log x 在 (0,1) 和 (1,+\infty) 上的一致连续性.
设 1<x_1<x_2 ，则对于任意给定的 \varepsilon>0 ，要得到\log x_2-\log x_1<\varepsilon ，即
\frac{x_2}{x_1}<e^{\varepsilon}
从而有 x_1<x_2<e^{\varepsilon}x_1 ，则 0<x_2-
x_1<(e^{\varepsilon}-1)x_1 ，因为 x_1>1 ，于是令
\delta=e^{\varepsilon}-1 即可.
故 \log x 在 (1,+\infty) 上一致连续.
而对于任意给定的 \varepsilon>0 ，要得到
\log\frac{1}{x_1}-\log\frac{1}{x_2}<\varepsilon ，即
\frac{1}{x_2}<\frac{1}{x_1}<e^{\varepsilon}\frac{1}{x_ 2} ，即 0<\frac{1}{x_1}-
\frac{1}{x_2}<\frac{e^{\epsilon}}{x_2}-
\frac{1}{x_1}<\frac{e^{\varepsilon}-1}{x_1} .这说明
\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} 的上界可以随 x_1 的取值任意地小，即 \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} 的上确界可以随x_1 的取值任意小，从而这时用任何对应于 \varepsilon 的给定的 \delta 来限制 x_1,x_2 的范围都是没有意义的.从而\log x 在 (0,1) 上不一致连续.
从刚才的例题中我们得到了一些灵感，要证明某一个特定函数一致连续，只需要给出 \delta=\delta(\varepsilon) 的一个具体刻画即可；而要证明某一个特定函数不一致连续，上题的方法确显得不那么令人信服。

从而我们迫切需要一个新的方法来考虑非一致连续性的证明问题。

由对偶法则可知，函数在 i 上不一致连续，如果存在
\varepsilon_0>0 使得对任意的 \delta>0 ，存在 x_1,x_2 满足 x_1,x_2\in i 且 |x_1-x_2|<\delta ，都有 |f(x_1)-f(x_2)|>\varepsilon_0 成立。

换个方式表述，就得到了下面的命题：
【命题2】若对定义在区间 i 上的函数 f 满足：存在
\varepsilon_0>0 使得存在数列 \{x_n\},\{y_n\} 满足
|x_n-y_n|\to0 但 |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0 成立.
于是在例一中，只需取 x_n=\frac{2}{n},y_n=\frac{1}{n} 即可
有了以上结论，下面通过一个例子应用一下：
【例二】考虑函数f(x)=\frac{x}{1+x^2\sin^2x}在
[0,+\infty) 上的一致连续性.
考虑取 x_n=2n\pi;\ \ y_n=2n\pi+\frac{1}{n} ，则
f(x_n)=2n\pi;\ \
f(y_n)=\frac{2n\pi+\frac{1}{n}}{1+(2n\pi+\frac{1}{n})^ 2\sin^2\frac{1}{n}}
由于
\lim\limits_{n\to\infty}(2n\pi+\frac{1}{n})^2\sin^2\fr ac{1}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n\pi+\frac{1} {n})^2}{n^2}=4\pi^2
从而 f(y_n)\sim\frac{n}{2\pi} ，从而 |f(x_n)-
f(y_n)|\to\infty ，而 |x_n-y_n|=\frac{1}{n}\to0
故 f 不一致连续.
再回到例一，结合一些其它的例子，如：
函数f(x)=\frac{1}{x} 在 [a,+\infty) 上一致连续，但在(0,a) 上不一致连续；
函数 f(x)=\tan x 在 [0,a) 上一致连续
(0<a<\frac{\pi}{2}) ，但在 [a,+\infty) 上不一致连续；
......
我们知道，以上的函数都是有意地去除了第二类间断点才使得其具有一致连续性的，下面分析这样的原因：
以 f(x)=\frac{1}{x} 为例，这里取了 \varepsilon=1 ，则当我们用”平行截割“的方式去看时，会发现 \delta_i 时是在不断变小且趋于 0 的，也就是说，不论约束 x_1,x_2 的距离在任何给定的区间 (0,\delta] 内，都有情况对应着：
\frac{\delta}{2}<|x_1-x_2|<\delta 且 |f(x_1)-f(x_2)|>1
就直观性而言，因为函数 f(x)=\frac{1}{x} 的"斜率"，在
x\to0^+ 时趋于无穷，从而导致了上述的结果；而这个"斜率"，换句话说就是导数，从而这迫使我们研究 f' 与一致连续性的关系，正如我们所期望的那样：
【命题3】若函数 f 在区间 i 上可导，且 f' 在 i 上有界，则 f 在 i 上一致连续.
f' 在 i 上有界，即存在 m>0 使得 |f'(x)|<m
从而对于任意的 x_1,x_2\in i ，由 \text{lagrange} 中值定理，存在 \xi\in i 使得 f'(\xi)=\frac{f(x_1)-
f(x_2)}{x_1-x_2}
即 |f(x_1)-f(x_2)|=|f'(\xi)||x_1-x_2|<m|x_1-x_2|
从而对任意给定的 \varepsilon>0 ，只需取
\delta=\frac{\varepsilon}{m}
则当 |x_1-x_2|<\delta 时，就有 |f(x_1)-f(x_2)|<m|x_1-x_2|<m\delta=\varepsilon ，即f 在 i 上一致连续.
但值得注意的是，该命题的逆命题不真，下面给出反例：
【例三】 f(x)=\arcsin x 在 [-1,1] 上一致连续
利用平行截割的思想，只需考虑在端点处的 \delta x 即可，即对任给的 \varepsilon>0 ，只需令
\delta=\frac{\varepsilon}{1-\cos\varepsilon} 即可。

具体过程略去.
而 f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ，它在 (-1,1) 上无界.
注意到在命题3的证明中出现了 |f(x_1)-
f(x_2)|=|f'(\xi)||x_1-x_2|<m|x_1-x_2| ，类似这个式子，我们引入 \text{lipschitz} 条件：
【命题4】\text{lipschitz} 条件：对于定义在区间 i 上的函数 f ，若存在正常数 m 使得 |f(x_1)-f(x_2)|\le m|x_1-x_2| 在 i 上恒成立，则称 f 满足\text{lipschitz} 条件.
具体可见我的另一篇文章。