人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章等式与不等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系

x1=2,x2=2,∴方程的解集为
3
2, 2
.
(3)原方程可化为(x-1)2-2(x-1)=0.
因式分解,得(x-1)(x-1-2)=0,
∴x-1=0或x-3=0,
∴x1=1,x2=3,∴方程的解集为{1,3}.
规律方法 一元二次方程的常见解法
(1)开平方法:如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=± 或
⑥|x1-x2|= (x1 -x2 )2 =
(x1 + x2 )2 -4x1 x2 .
=
(x 1 +x 2 )2 -2x 1 x 2
;
x1x2
过关自诊
1.一元二次方程3x2-6x-7=0的两根和为
.
答案 2
解析 设3x2-6x-7=0的两根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-
−6
3
=2.
2.利用一元二次方程根与系数的关系解题时,需要注意什么条件?
数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式;
④用直接开平方法解变形后的方程.
(3)因式分解法
①平方差公式法;
②完全平方公式法;
③提取公因式法;
④十字相乘法.
(4)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:当b2-4ac≥0时,
-± 2 -4
所以
(1 +2 )2 -(21 +22 )
x1x2=
2
=
9-5
=2,即该一元二次方程的两根之和为
2
积为 2,所以以 x1,x2 为根的一元二次方程可以是 x2-3x+2=0.
3,两根之
4.若 x1,x2 是方程 x2+x-1=0 的两个根,则 x1+x2=
答案 -1
3
解析 ∵x1,x2 是方程 x2+x-1=0 的两个根,
D.(0,4)
答案 C
解析 由题意知,Δ=m2-4m≥0,解得m≥4或m≤0.故选C.
)
3.(2022上海同济大学第二附属中学高一期末)若x1+x2=3,
x1,x2为根的一元二次方程可以是
12 + 22
=5,则以
.(写出满足条件的一个
一元二次方程即可)
答案 x2-3x+2=0(答案不唯一)
解析因为 x1+x2=3,12 + 22 =5,
2a
4a
知识点2 一元二次方程根与系数的关系
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两根x1,x2满足如下
关系:
(1)x1+x2=
b
-a
c
a
.
(2)x1x2=
;
名师点睛 (1)根与系数的关系的应用:①不解方程,求与方程的根有关的代
数式的值;②已知方程一根,求方程的另一根;③与根的判别式相结合,解决
(1)12 + 22 =(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×(-1)=11.
1
(2)
1
1
+
2
=
1 + 2
1 2
=
-3
=3.
-1
.
探究点三 一元二次方程根与系数关系的应用
【例3】已知关于x的一元二次方程x2-mx-3=0.
(1)对于任意的实数m,判断方程根的情况,并说明理由;
x1,2=
2
.
变式训练 1求下列方程的解集:
(1)4x2-4x-1=0;
(2)x2+3x+1=0;
(3)x2-7x+10=0.
解 (1)方程的两边同时加上 2,得 4x2-4x+1=2,即(2x-1)2=2,∴2x-1=± 2,
1+ 2
1- 2
∴x1=
,x2=
.
2
2
∴方程的解集为
1- 2 1+ 2
第二章
2.1.2 一元二次方程的解集及其根
与系数的关系
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标阐释
1.理解一元二次方程,会求一元二次方程的解集.(数学运算)
2.明确一元二次方程根与系数的关系并会灵活应用.(数学抽象)
基础落实•必备知识全过关
一些综合题.
(2)常见的涉及一元二次方程两根x1,x2的代数式的重要变形.
①x12 +
1
2
2
x2 =(x1+x2) -2x1x2;②
x1
+
1
x2
=
x 1 +x 2
x2
;③
x1x2
x1
+
x1
x2
=
x 21 +x 22
x1x2
④(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;⑤(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2;
(2)若x=-1是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根.
分析(1)根据判别式的意义判断根的情况;
(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根.
解 (1)Δ=m2-4×1×(-3)=m2+12,
∵m2≥0,∴Δ>0,∴方程有两个不相等的实根.
(2)设方程的另一个根为x2,∴-1×x2=-3,解得x2=3.
∴方程的解集为{2,5}.
探究点二 直接应用根与系数的关系进行计算
【例2】已知一元二次方程x2+3x-1=0的两根分别是x1,x2,请利用根与系数
的关系求:
(1)12 + 22 ;
1
(2)
1
1
+ .
2
分析先求x1+x2,x1x2,再用它们表示所求.
解 根据一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2=-3,x1x2=-1.
提示 不一定,a≠0时为一元二次方程,a=0,b≠0时为一元一次方程.
(2)任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)都可以化为(x-k)2=t的形式吗?
提示 都可以.一元二次方程
b
b 2 -4ac
k=- ,t= 2 .
2a
4a
2 -4ac
b
b
ax2+bx+c=0(a≠0)可以化为(x+ )2= 2 ,即
分析根据方程的特征,合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程.
解 (1)(方法一)移项,得x2-2x=8,
配方,得(x-1)2=9,由此可得x-1=±3,
∴x1=4,x2=-2,∴方程的解集为{-2,4}.
(方法二)原方程可化为(x-4)(x+2)=0,
∴x-4=0或x+2=0,∴x1=4,x2=-2,
,
2
2
.
(2)∵a=1,b=3,c=1,∴b2-4ac=32-4×1×1=5,
-± 2 -4
∴x1,2=
即
2
=
-3± 5
,
2
-3+ 5
-3- 5
x1=
,x2=
.
2
2
∴方程的解集为
-3- 5 -3+ 5
,
2
2
.
(3)∵x2-7x+10=(x-2)(x-5),
∴原方程可化为(x-2)(x-5)=0,从而可知x-2=0或x-5=0,即x=2或x=5.
为两个一元一次方程求解,它在解符合某些特点的方程时很方便,当不能用
因式分解法求解时,还需要利用公式法求解.
(2)用因式分解法解一元二次方程应注意的问题.①有些一元二次方程需要
变形后(如移项,去括号,合并同类项等),才能用因式分解法求解;②用因式
分解法解一元二次方程时,方程的一边必须为零;③不能在方程的两边同除
;
3.因式分解法
对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),左边若能因式分解,变成
(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式,根据几个因式之积为0,则至少有一个因式为0,
则
b1
b2
x1=-a ,x2=-a .
1
2
名师点睛 (1)因式分解法是解一元二次方程的特殊方法.
用因式分解法解一元二次方程是通过因式分解把一元二次方程降次转化
1

∴x1+x2=- =- =-1,x1x2=
以含有未知数的整式.
过关自诊
1.关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是(
A.两个不等的实数根
B.两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案 C
解析 ∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,
∴该方程无实数根.
)
2.(1)方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数)一定是一元二次方程吗?
(1)12 + 22 =(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×(-1)=11.
1
(2)
1
1
+
2
=
1 + 2
1 2
=
-3
=3.
-1
规律方法 在求含有一元二次方程两根的代数式的值时,利用根与系数的关
系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时,要先根据原方程求出
两根之和与两根之积,再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的
B.∵Δ=12>0,∴方程有两个不相等实数根;
C.∵Δ=12-4×1×(-1)=5>0,∴方程有两个不相等实数根;
D.∵Δ=0,∴方程有两个相等实数根.
故选A.
2.已知关于x的方程x2+mx+m=0有两个实数根,则m的取值范围为(
A.[4,+∞)
B.(-∞,0)∪(4,+∞)
C.(-∞,0]∪[4,+∞)
∴方程的解集为{-2,4}.
(2)(方法一)原方程可化为(x-2)(2x-3)=0,
∴x-2=0 或
3
2x-3=0,∴x1=2,x2=2,
∴方程的解集为
3
2, 2
.
(方法二)∵a=2,b=-7,c=6,∴Δ=b2-4ac=1>0,
-± 2 -4
∴x1,2=
即
2
=
-(-7)± 1
,
2×2
3
(1)求k的取值范围;
(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.
解
(1)依题意得Δ≥0,即[-2(k-1)]2-4k2≥0,解得k≤
即 k 的取值范围为
1
-∞,
2
.
(2)依题意,得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.
1
又由(1)知k≤ 2
,∴x1+x2=2(k-1)<0,
∴x1+x2=-(x1x2-1),即2(k-1)=-(k2-1),
形式,然后代入求值.
变式探究(1)若 x1,x2 是一元二次方程 x2+3x-5=0 的两个根,则12 x2+x122 的值
是
.
(2)已知 x1,x2 是方程 x
2
2
+6x+3=0 的两个实数根,则
1
1
+ =
2
答案 (1)15 (2)10
解 根据一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2=-3,x1x2=-1.


2
(1)若方程ax +bx+c=0(a≠0)的两实数根分别为x1,x2,则有:x1+x2=- ,x1x2=

(2)以两个实数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
.
变式训练2 已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.
提示 先把方程化为ax2+bx+c=0的形式,然后验证,是否满足a≠0,
Δ=b2-4ac≥0这两个条件,同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题.
重难探究•能力素养全提升
探究点一 求一元二次方程的解集
【例1】用适当的方法求下列方程的解集.
(1)x2-2x-8=0;
(2)2x2-7x+6=0;
(3)(x-1)2-2x+2=0.
mx+n=± ,从而通过降次转化为一元一次方程.
(2)配方法:
用配方法解一元二次方程的一般步骤是:
①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为x2+px+q=0的形式;
②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式;
③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成为含有未知
知识点1 一元二次方程的解集
1.配方法
(1)一般地,方程x2=t:①当t>0时,解集为 {- t, t} ;②当t=0时,解集为{0};③
当t<0时,解集为⌀.
(2)一般地,方程(x-k)2=t:①当t>0时,解集为 {k- t,k+ t} ;②当t=0时,解集为
{k} ;③当t<0时,解集为 ⌀ .
∵-1+3=m,∴m=2.
规律方法 一元二次方程根的情况
1.一元二次方程的判别式
方程ax2+bx+c=0(a,b,c为实数,且a≠0):
当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
解得k1=1,k2=-3.
∵k≤
1
2,∴k=-3.
1
.
2
素养培优
整体代入法求代数式的值
【典例】若a是方程x2+x-2 019=0的一个实数根,则2a2+2a-1的值
是
.
解析 ∵a是方程x2+x-2 019=0的根,
∴a2+a-2 019=0,即a2+a=2 019.
∴2a2+2a-1=2×2 019-1=4 037.
答案 4 037
方法点睛 根据一元二次方程解的定义得到a2+a=2 019,然后利用整体代入
法计算即可,不需求出方程的根.
学以致用•随堂检测全达标
1.下列方程中,无实数根的方程是(
A.x2+1=0
B.x2+x=0
C.x2+x-1=0
D.x2=0
)
答案 A
解析 A.∵Δ=-4×1=-4<0,∴方程无实数根;
2.公式法
方程 ax2+
2a
2
4ac
b
2
+ - (a≠0),
4a
(1)当 Δ=b2-4ac>0 时,方程的解集为
2
2
-b+ b -4ac -b - b -4ac