一些求特殊递推数列通项的方法

x+3 ,得 3x2 =3 ,得 x=±1 ,随便取一个根,不妨取 x=1 , 则 an+1 −1= 3x + 1 an + 3 −2(an − 1) 1 3an + 1 3an + 1 − 4+4 3 2 −1= , 于是 = = =− − . 3an + 1 3an + 1 an+1 −1 −2(an − 1) −2(an − 1) 2 an −1 1 3 3 1 1 令 bn = ,则 bn+1 = − 2bn − , 解特征方程 t= − 2t− ,得 t= − ,于是 bn+1 + = − an −1 2 2 2 2 n 1 1 1 3 1 3 3 · ( − 2) −1 2bn −1=−2(bn + ) ,由于 b1 = =1 , 于是 b1 + = ,于是 bn + = ·(−2)n , 即 bn = , 2 a1 −1 2 2 2 2 2 1 3·(−2)n−1 + 1 . 于是 an = +1= bn 3·(−2)n−1 − 1
zhangzhan19812000@
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上海光明中学
a1 =a 形式 3 若 {bn } 是一个等差数列,求 a =a +b n+1 n n an −an−1 =bn−1 an−1 −an−2 =bn−2 方法 列出 n 个等式 . . . a −a =b 2 1 1 a1 =1 例题 求 a =a +3n+1 n+1 n
一些特殊递推数列通项的求法
的通项公式.
将这 n 个等式相加,即可求出 an .
的通项.
an −an−1 =3n−2 an−1 −an−2 =3n − 5 解 我们有 . . . a −a =4 2 1 2 3n −n . 2
,于是 an −a1 =
(3n−2+4)(n−1) 3n2 −n−2 = ,即 an = 2 2
a1 =a 形式 4 若 {bn } 是一个公比为 q 等Байду номын сангаас数列且 k =q ,求 a =ka +b n+1 n n
的通项公式.
方法 构造数列 cn =an+1 −qan ,则 cn =(k −q )an +bn ,于是 cn+1 =(k −q )an+1 +bn+1 =(k −q ) (kan +bn )+qbn =(k −q )kan +kbn =k [(k −q )an +bn ]+d=kcn ,这样就转换到等比数列了. 5 an 1 例题 设数列 {an } 满足 a1 = , an+1 = + n+1 ,求 {an } 的通项公式. 6 3 2 an an 1 an an 1 an+1 解 设 bn = an+1 − ,则 bn = + n+1 − = − + n+1 ,于是 bn+1 = − + 2 3 2 2 6 2 6 1 an 1 1 an 1 bn a1 1 1 5 1 =− − + n+2 = − + = ,由于 b1 = − + 2 = − = ,因 n +2 n +1 n +1 2 18 6·2 2 18 3·2 3 6 2 4 36 9 1 1 1 1 1 此我们有 bn = = n+1 , 于是我们有 an =6( n+1 − bn ) = 6( n+1 − n+1 ) . 9·3n−1 3 2 2 3 a1 =a 形式 5 若 {bn } 是一个公比为 q 等比数列,求 的通项公式. a =qa +b
一些特殊递推数列通项的求法
a1 =a 形式 1 若 k, c 是常数且 k =1 ,求 a =ka +c n+1 n
的通项公式.
方法 解特征方程 x=kx+c ,得特征解 x0 ,然后在递推公式两边同减 x0 ,即可转换成等 比数列.
a1 =1 例题 求 a =2a +1 n+1 n
的通项公式.
方法 设等差数列 {bn } 的公差为 d . 构造数列 cn =an+1 −an ,则 cn =(k −1)an +bn ,于是 cn+1 =(k −1)an+1 +bn+1 =(k −1)(kan +bn )+bn +d=(k −1)kan +kbn +d=k [(k −1)an +bn ]+d=kcn +d, 这样就转化到形式1的情景. a1 =3 例题 求 a =6a +7n+11
的通项.
解 解特征方程 x=2x+1 ,得 x= − 1 ,于是我们有 an+1 +1=2an +1+1=2(an +1) , 由于 a1 +1=1+1=2 ,因此 an +1=2n ,即 an =2n −1 . 注意:当 k =1 时,形式1就是等差数列.
a1 =a 形式 2 若 {bn } 是一个等差数列且 k =1 ,求 a =ka +b n+1 n n
n+1 n n
zhangzhan19812000@
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一些特殊递推数列通项的求法
an bn 方法 令 cn = n ,在等式 an+1 =qan +bn 两边同时除以 q n+1 , 得 cn+1 −cn = n+1 ,列出 n q q b n − 1 cn −cn−1 = n q cn−1 −cn−2 = bn−2 q n−1 ,将这 n 个等式相加,即可求出 cn . 个等式 . . . b c2 −c1 = 1 q2 a1 =1 例题 求 的通项. a =3a +3n
n+1 n
的通项.
解 设 cn =an+1 −an =5an +7n+11 ,则 cn+1 =5an+1 +7n+11+7=5(6an +7n+11)+7n+11+7 =6(5an +7n+11)+7=6cn +7 . 7 42 7 7 解特征方程 x=6x+7 ,得 x=− ,于是 cn+1 + =6cn + =6(cn + ) .由于 c1 =15+7+11=33 5 5 5 5 7 172 7 172 n−1 172·6n−1 7 且 c1 + = , 于是 cn + = ·6 , 即 cn = − =5an +7n+11 , 因此我们有 an = 5 5 5 5 5 5 n−1 172·6 7 62 − n− . 25 5 25 1
a1 =a
形式 6 设 p1 , q1 , p2 , q2 是常数,求
p1 an +q1 an+1 = p2 an +q2
的通项公式.
p1 x+q1 p1 an +q1 ,若 x0 是其中一解, 将等式 an+1 = 两边同减 x0 再 p2 x+q2 p2 an +q2 取倒数,便可转换成形式1或等差数列的情景. 方法 解特征方程 x= 例题 已知 a1 =2, an+1 = 解 解特征方程 x= an + 3 ,求 {an } 的通项. 3an + 1
n+1 n
an 1 an+1 an 1 解 由于 an+1 =3an +3n ,因此 n+1 = n + , 令 cn = n ,即得 cn+1 −cn = ,于是我们有 3 3 3 3 3 1 cn −cn−1 = 3 cn−1 −cn−2 = 1 3 ,即 cn −c1 = n−1 ,由于 c1 = a1 = 1 , 因此 cn = 1 + n−1 = n ,即 an =3n cn =n3n−1 . . 3 31 3 3 3 3 . . c2 −c1 = 1 3