资产组合理论

3.1
1 1， 0
Lagrange 乘数法对 3.1 求解。令
3.2
） L 2 （ - 2 （ 1 1 -1 2 - a）
则
L 2 211 22 0
-1
解得： （11 2 ） 对 3.3 式两边左乘 1 ，得
var（ x） 最小；
（2）在风险水平确定的情况下，即 0 （已知） ，求 使收益最大，即
达到最大。
两个条件写成数学表达式，分别为： （1） min ，它满足约束条件：
1 1 ， a
（2） max ,它满足约束条件：
*
a
C aB 1 aA B 1 1
和
b
C bB 1 bA B 1 1
则有：
x, b x) cov(a
证明：
A B B 1 (a )(b ) A A A
3.13
x, b x) E (a x E (a x))(b x E (b x)) cov(a ( x E ( x))( x E ( x))b ) E (a E ( x E ( x))( x E ( x))b a b a a C bB bA B 1 a
2
1 因为 A 1 1 0 (正定)， C 0
1
由柯西-席瓦尔兹不等式（ Cauchy-Schwarz inequality）,可得：
1 1 （1 1） （ ）
-1
-
1 2
-
1 2
-
1 2
-
1 2
1 2
1 (C aB b(aA B )) A C B B (ab a b ) A A A A B B 1 ((a )(b )) A A A
四、两基金分离定理
命题 4-1：由 3.12 式，我们知全局最小方差资产组合为
1 1 g 1 1
方差最小的组合 以
g
B 2 1 , g A A
g
的值代替 3.6 和 3.7 式中的 a 得：
1
1 , 2 0 A
再将 1，2 的值代入 3.3 式得：
g
1 1 1 1 A 1 1
3.12
关于 g 点就是全局最小方差组合的严格证明如下：
命题 3-1： （ g）
即
a 1 1 1 2 1
x 的方差为： 此证券组合预期收益 a
2 ( （ x） a
C aB 1 aA B 1 1 ) C aB aA B 1 a a C aB aA B a 1 ( Aa 2 2 Ba C ) A B C ( a 2 2a ) A A A B 1 (a ) 2 A A
1 1 1 -（ 11 2 ）
3.3
由约束条件得
1 11 -1 1 2 1 -1
对 3.3 式两边左乘 ，得
1 -（ 11 2 ） 1 -1 1 2 -1
3.4
由约束条件可知
a 1 -1 1 2 -1
1 2 （ , , , ） 表示： 1 2 n n
约束条件为：

i 1
n
i
1
向量形式： 1 1 投资组合期望收益： E（x） E( x) 2.4
2 ( x) E ( x E ( x))( x E ( x)) E ( ( x E ( x))( x E ( x)) ) 投资组合方差： E (( x E ( x))( x E ( x))
同时，令
d
有
1 1 C , B0 1 B B
1 d 1 1
则 3.3（ （11 2 ） ）式可以改写成：
-1
4.1
a 1 A g 2 Bd
4.2
其中 1
C aB
E ( x1 ) 1 E ( x ) 2 E（x） 2 E ( xn ) n
var(x) E ( x )( x ) ij
设投资组合投资于第 i 种证券的比例为 i （i=1,2,...,n), 用向量 2.3
A
B A
1 A
3.11
2 2 （r - A ）
B
1 1 A A B 2 2 （r - A ） 1 1 A A2 1 A

B （0， ） （，r） A ,对称轴为 在 平面上，3.11 式为双曲线的标准型，中心在
0和
r
B A 。由于 0 ，故只取双曲线在第一象限那一支。
B ，由式 3.8 得： A
1 A
结论：g 点以下的前沿是所有可行组合中方差相同但期望收益较小的组合，任何一个理性的 投资者都不会选择这样的组合。g 点以上的边缘是所有可行组合中方差相同但期望收益较大 的组合，我们称这些组合为有效组合，所有有效组合的总和称为有效前沿。 命题 3-2 给定 [ * , ] 中的两个数 a 和 b,有：
2.5
三、最小方差投资组合
设 T (t1 , t 2 , , t r ) 为一向量， f (T ) 是 T 的函数，定义：
f f f f ( , ,, ) T t1 t2 tr
由此定义可得： （1）若 (1 , 2 , r ) 为常向量，而
f (T ) T i ti
令
3.5
A 1 -1 1
B 1 -1 -1 1
C -1
数字而非矩阵) 由 3.4 和 3.5 可得方程组： (说明这里的 A,B,C,
1 , 2 在林建忠书中用 c,b,a, 2 , 1 ， 同时它们表示为
1 A 2 B 1 1 B 2C a
-
1 2
-
1 2
1 2
A C
2
1 2
1 2
故 B AC ,从而 0 ，所以 还存在 0， 0 的情形） 由 3.9 式得：
2 2 （r - ）
0 ，抛物线开口向右。 （这里只考虑了 0 情况，其实 A
A
B A
1 A
移项得：
2 2 （r - ）
解得：
1
B
3.6
1
a C C aB
A 1
2
其中
B a aA B
3.7
AC B 2
将 1 ， 2 的值代入 3.3 中得
a 1 (
C aB aA B 1 )1 C aB 1 aA B 1 ( ) 1
二、资产的收益和风险特征
单个资产收益和风险特征
1.期望收益
E（r） pi ri
i 1
n
2.1
式中： ri 为该资产收益的第 i 状态的取值； pi 为资产收益取值 ri 的概率； E（r） 为该资产 的期望收益。 2.方差
2 pi (ri E (r )) 2
i 1
n
2.2
3.8
由 3.8 式可得
2
故
1 A B 2 （r ） A A
1 A
3.9
2
,可得 A B 2 2 1 （r ） ( ) A A A
对 3.9 式两边左乘 两边开平方并移项，得
3.10
r
B 1 （ 2 ） A A A
1 B （ . ） （ ，r） 在 平面上,3.10 表示了一条抛物线，顶点为 A A ，
，
2
aA B （ 1 , 2 都是由期望收益 a 确定的） 。
证明：由 3.3 式知
d
C dB 1 dA B 1 1
CA B B 1 AC B 2 1 B* 1 1 B
对于任意的 a [ * , ] ，有

p (r E (r ))
i 1 i i
n
2
市场资产组合 设有 n 种证券，其收益为 xi （i=1,2,...,n）, xi 为随机变量，以向量的形式表示 为：
x1 x x ( x1 , x2 ,..., xn ) 2 xn
数学期望和方差（协方差） ：
i 1
r
则
f T
（2）若 A 为 r 阶对称矩阵， f (T ) T AT ,则
f 2 AT T
（3）当 f (T ) T AT ,则
f ( A A)T T 2 f A A TT
马科维茨资产组合理论中最优资产组合必须符合以下两个条件之一： （1）在预期收益水平确定的情况下，即 a ，求 使风险达到最小，即
一、基本假设 （10 条）
马科维茨的基本设 （一） 关于投资者的假设
（金融工程，林清泉）
（1） 投资者在投资决策中只关注投资收益这个随机变量的两个数字特征：投资的期望收 益和方差。期望收益率反映了投资者对未来收益水平的衡量，而收益的方差则反映 了投资者对风险的估计。 （2） 投资者是理性的，也是风险厌恶的。即在任一给定的风险程度下，投资者愿意选择 期望收益高的有价证券；或者在期望收益一定时，投资者愿意选择风险程度低的有 价证券。
2
1 1 B 2 的充分必要条件是 a 。 ，且 （ g） A A A
证明：由于 A>o, 0 ,由 3.8 式知：
2 （ g）
1 A
2
必要性：设 （ g）
由 3.8 式知：
1 A
B B 2 （a ） 0,a A A
充分性：反之，当 a
2 （ g）
f ( E(r ), ) 最大化，其中 E ( r ) 和 2 分别 （3） 投资者的目标是使其期望效用 E（U）
2
是投资的期望收益和方差。对于一个风险厌恶的投资者来说，其期望效用 函数
E （ U） 是单调凸函数。
（二）关于资本市场的假设 （1）资本市场是有效的。证券的价格反映了其内在价值，证券的任何信息都能够迅速地被 市场上每个投资者所了解，不存在税收和交易成本。 （2）资本市场上的证券是有风险的，也就是说收益具有不确定性，证券的收益都服从正态 分布，不同证券的收益之间有一定的相关关系。 （3）资本市场上的每种证券都是无限可分的，这就意味着只要投资者愿意，他可以购买少 于一股的股票。 （4）资本市场的供给具有无限弹性，也就是说资产组合中任何证券的购买和销售都不会影 响到市场的价格。 （5）市场允许卖空（市场不允许卖空的情况在此不做讨论） 。 Capm 假设 （1）投资者具有同质预期，即市场上的所有投资者对资产的评价和对经济形势的看法都是 一致的，他们对资产收益和收益概率分布的看法都是一致的。 （2）存在无风险资产，投资者可以以无风险利率无限制地借入或者贷出资金。
*
a 1 -1 1 2 -1
-1 1 -1 B 2 1 1 1 B 1 A g 2 Bd 1 A
从而 a 是 g 和 d 的一个线性组合， 4.2 式成立。
1 A 2 B