【冀教数学学九年级(河北)305二次函数与一元二次方程的关系
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x … －1 0 1 3 … y … －1 3 5 3 … 下列结论错误的是( C ) A．ac<0 B．x＝3是关于x的方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根 C．当x>1时，y的值随x值的增大而减小 D．当－1<x<3时，ax2＋(b－1)x＋c>0
7．抛物线y＝a(x－h)2＋k经过(－1，0)，(5，0)两点，则关于x的一元二次 方程a(x－h＋1)2＋k＝0的解是___x_1＝__－__2_，___x_2＝__4___． 8．(2020·大庆中考)已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0，有下列结论： ①当a＞－1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞－1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.以上4个结论中， 正确的个数为___3___．
8．根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值， 判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( C)
x
6.17
6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04
A.6<x<6.17 C．6.18<x<6.19
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，对称轴是直线x＝1，则下 列四个结论错误的是( D )
A．c>0 C．b2－4ac>0
B．2a＋b＝0 D．a－b＋c>0
6．(教材P47T1拓展)已知二次函数的表达式是y＝x2－2x－3. (1)与y轴的交点坐标是______，顶点坐标是______． (2)在坐标系中利用描点M，N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在 线段AB上移动，点A，B的坐标分别为(－2，－3)，(1，－3)，点N的横坐标 的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为( B )
A．－1
B．－5
C．5
D．7
6．(2021·秦皇岛质检)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的 x与y的部分对应值如表：
30．5 二次函数与一元二次方程的关系
必备知识·基础练
对点达标 知识点1 二次函数和一元二次方程之间的关系 1．(性质理解题)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的交点，则关于 x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
(3)①∵当x＝0时，y＝3，∴二次函数图像与y轴的交点为(0，3)，①正确；② ∵抛物线的对称轴为x＝2，∴抛物线的对称轴不变，②正确； ③二次函数y＝kx2－4kx＋3＝k(x2－4x)＋3，将其看成y关于k的一次函数，令 k的系数为0，即x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝4，∴抛物线一定经过两个定点 (0，3)和(4，3)，③正确．
【解析】见全解全析
关键能力·综合练
1．已知函数 y＝kx2－7x—7 的图像和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( C )
A．k>－74
B．k≥－47 且 k≠0
C．k≥－74
D．k>－47 且 k≠0
2．若二次函数 y＝2x2＋mx＋8 的图像如图，则 m 的值是( B )
A．－8 B．8 C．±8 D．6
＋bx＋c－m＝0 有两个不相等实数根．其中正确的结论是( C )
A．①③④ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
10．(2021·保定期中)已知二次函数y＝x2－4x＋3. (1)求该二次函数图像的顶点和对称轴； (2)在所给坐标系中画出该二次函数的图像； (3)根据图像直接写出方程x2－4x＋3＝0的根； (4)根据图像写出当y＜0时，x的取值范围．
x…
…
y…
…
(3)结合图像回答：当－2＜x＜2时，函数值y的取值范围是____． 【解析】见全解全析
知识点2 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解
7．根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列哪个方程的
近似解( A )
A．x2＝－3x＋1
B．x2＝3x－1
C．x2＝3x＋1
D．x2＝－3x－1
B．6.17<x<6.18 D．6.19<x<6.20
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y… 0
4 m64…
现给出下列结论： ①抛物线与 x 轴的一个交点为(3，0)；②函数 y＝ax2＋bx＋c 的最大值为 6；③
抛物线的对称轴是直线 x＝12 ；④在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大；⑤方程 ax2
2．二次函数y＝ax2＋bx的图像如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数 根，则m的最大值为( B )
A．－3
B．3 C．－6
D．9
3．若二次函数y＝2x2－2mx＋2m2－2的图像的顶点在y轴上，则m的值是( A )
A．0 B．±1 C．±2 D．± 2
4．直线y＝3x—3与抛物线y＝x2 －x＋1的交点的个数是( B ) A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【解析】(1)∵二次函数 y＝kx2－4kx＋3 的图像与 x 轴只有一个交点，∴关于 x 的方程 kx2－4kx＋3＝0 有两个相等的实数根，∴Δ＝(－4k)2－4×3k＝16k2－12k ＝0，解得 k1＝0，k2＝43 ，又∵k≠0，∴k＝34 ； (2)∵AB＝2，抛物线的对称轴为 x＝2，∴两交点的坐标为(1，0)，(3，0)，将(1， 0)代入表达式，可得 k＝1；
易错点 忽视分类讨论 案例1：若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图像与x轴有且只有一个交点，则a的值 为__－___1_或__2_或__1___．
案例2：已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝2x－m，将该二次函数在x 轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数 的图像(如图所示)，当直线y＝2x－m与新函数图像有4个交点时，m的取值范 围是( C )
9．(素养提升题)给定关于x的二次函数y＝kx2－4kx＋3(k≠0)， (1)当该二次函数的图像与x轴只有一个交点时，求k的值； (2)当该二次函数的图像与x轴有2个交点时，设这两个交点为A，B，已知AB ＝2，求k的值； (3)由于k的变化，该二次函数的图像性质也随之变化，但也有不会变化的性质， 某数学学习小组在探究时得出以下结论： ①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点； 请判断以上结论是否正确，并说明理由．
A．－4＜m＜6
B．－245 <m＜－4
C．6＜m<343
D．－245 <m＜6
3．若函数 y＝mx2＋(m＋2)x＋12 m＋1 的图像与 x 轴只有一个交点，则 m 的值
为(D )
A．0
B．0 或 2
C．2 或－2
D．0 或 2 或－2
4．若函数 y＝x2－2x＋b 的图像与坐标轴有三个交点，则 b 的取值范围是(A )
A．b<1 且 b≠0
B．b>1
C．0<b<1
D．b<1
7．抛物线y＝a(x－h)2＋k经过(－1，0)，(5，0)两点，则关于x的一元二次 方程a(x－h＋1)2＋k＝0的解是___x_1＝__－__2_，___x_2＝__4___． 8．(2020·大庆中考)已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0，有下列结论： ①当a＞－1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞－1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.以上4个结论中， 正确的个数为___3___．
8．根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值， 判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( C)
x
6.17
6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04
A.6<x<6.17 C．6.18<x<6.19
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，对称轴是直线x＝1，则下 列四个结论错误的是( D )
A．c>0 C．b2－4ac>0
B．2a＋b＝0 D．a－b＋c>0
6．(教材P47T1拓展)已知二次函数的表达式是y＝x2－2x－3. (1)与y轴的交点坐标是______，顶点坐标是______． (2)在坐标系中利用描点M，N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在 线段AB上移动，点A，B的坐标分别为(－2，－3)，(1，－3)，点N的横坐标 的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为( B )
A．－1
B．－5
C．5
D．7
6．(2021·秦皇岛质检)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的 x与y的部分对应值如表：
30．5 二次函数与一元二次方程的关系
必备知识·基础练
对点达标 知识点1 二次函数和一元二次方程之间的关系 1．(性质理解题)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的交点，则关于 x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
(3)①∵当x＝0时，y＝3，∴二次函数图像与y轴的交点为(0，3)，①正确；② ∵抛物线的对称轴为x＝2，∴抛物线的对称轴不变，②正确； ③二次函数y＝kx2－4kx＋3＝k(x2－4x)＋3，将其看成y关于k的一次函数，令 k的系数为0，即x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝4，∴抛物线一定经过两个定点 (0，3)和(4，3)，③正确．
【解析】见全解全析
关键能力·综合练
1．已知函数 y＝kx2－7x—7 的图像和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( C )
A．k>－74
B．k≥－47 且 k≠0
C．k≥－74
D．k>－47 且 k≠0
2．若二次函数 y＝2x2＋mx＋8 的图像如图，则 m 的值是( B )
A．－8 B．8 C．±8 D．6
＋bx＋c－m＝0 有两个不相等实数根．其中正确的结论是( C )
A．①③④ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
10．(2021·保定期中)已知二次函数y＝x2－4x＋3. (1)求该二次函数图像的顶点和对称轴； (2)在所给坐标系中画出该二次函数的图像； (3)根据图像直接写出方程x2－4x＋3＝0的根； (4)根据图像写出当y＜0时，x的取值范围．
x…
…
y…
…
(3)结合图像回答：当－2＜x＜2时，函数值y的取值范围是____． 【解析】见全解全析
知识点2 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解
7．根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列哪个方程的
近似解( A )
A．x2＝－3x＋1
B．x2＝3x－1
C．x2＝3x＋1
D．x2＝－3x－1
B．6.17<x<6.18 D．6.19<x<6.20
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y… 0
4 m64…
现给出下列结论： ①抛物线与 x 轴的一个交点为(3，0)；②函数 y＝ax2＋bx＋c 的最大值为 6；③
抛物线的对称轴是直线 x＝12 ；④在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大；⑤方程 ax2
2．二次函数y＝ax2＋bx的图像如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数 根，则m的最大值为( B )
A．－3
B．3 C．－6
D．9
3．若二次函数y＝2x2－2mx＋2m2－2的图像的顶点在y轴上，则m的值是( A )
A．0 B．±1 C．±2 D．± 2
4．直线y＝3x—3与抛物线y＝x2 －x＋1的交点的个数是( B ) A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【解析】(1)∵二次函数 y＝kx2－4kx＋3 的图像与 x 轴只有一个交点，∴关于 x 的方程 kx2－4kx＋3＝0 有两个相等的实数根，∴Δ＝(－4k)2－4×3k＝16k2－12k ＝0，解得 k1＝0，k2＝43 ，又∵k≠0，∴k＝34 ； (2)∵AB＝2，抛物线的对称轴为 x＝2，∴两交点的坐标为(1，0)，(3，0)，将(1， 0)代入表达式，可得 k＝1；
易错点 忽视分类讨论 案例1：若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图像与x轴有且只有一个交点，则a的值 为__－___1_或__2_或__1___．
案例2：已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝2x－m，将该二次函数在x 轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数 的图像(如图所示)，当直线y＝2x－m与新函数图像有4个交点时，m的取值范 围是( C )
9．(素养提升题)给定关于x的二次函数y＝kx2－4kx＋3(k≠0)， (1)当该二次函数的图像与x轴只有一个交点时，求k的值； (2)当该二次函数的图像与x轴有2个交点时，设这两个交点为A，B，已知AB ＝2，求k的值； (3)由于k的变化，该二次函数的图像性质也随之变化，但也有不会变化的性质， 某数学学习小组在探究时得出以下结论： ①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点； 请判断以上结论是否正确，并说明理由．
A．－4＜m＜6
B．－245 <m＜－4
C．6＜m<343
D．－245 <m＜6
3．若函数 y＝mx2＋(m＋2)x＋12 m＋1 的图像与 x 轴只有一个交点，则 m 的值
为(D )
A．0
B．0 或 2
C．2 或－2
D．0 或 2 或－2
4．若函数 y＝x2－2x＋b 的图像与坐标轴有三个交点，则 b 的取值范围是(A )
A．b<1 且 b≠0
B．b>1
C．0<b<1
D．b<1