备战2020高考数学“3+1”保分大题强化练(二)理

“3＋1"保分大题强化练(二)
前3个大题和1个选考题不容有失
1．已知△ABC的内角A，B,C所对的边分别为a,b,c，且2（c －a cos B）＝错误!b.
（1）求角A；
(2）若a＝2，求△ABC面积的取值范围．
解：(1）由2(c－a cos B）＝错误!b及正弦定理得2(sin C－sin A cos B)＝3sin B，
所以2sin（A＋B）－2sin A cos B＝错误!sin B，
即2cos A sin B＝错误!sin B，
因为sin B≠0，所以cos A＝错误!，
又0〈A〈π,所以A＝错误!.
（2）因为a＝2,所以由正弦定理得b＝4sin B，c＝4sin C，
所以S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!bc＝4sin B sin C.
因为C＝π－（A＋B）＝错误!－B，
所以S△ABC＝4sin B sin错误!
＝4sin B错误!
＝2sin B cos B＋2错误!sin2B
＝sin 2B－3cos 2B＋错误!
＝2sin错误!＋错误!。

因为0〈B<错误!，所以－错误!〈2B－错误!〈错误!，
所以－错误!〈sin错误!≤1，
所以0<S△ABC≤2＋3。

即△ABC面积的取值范围为（0，2＋错误!］．
2。

如图，四棱柱ABCD。

A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一点,AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD,AA1＝AB＝2AD＝2DC.
（1)若M是DD1的中点，证明：平面AMB⊥平面A1MB1；
(2)若DM＝2MD1，求平面AMB与平面ACB1所成锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB,
又AB⊥AD,AA1∩AD＝A，所以AB⊥平面AA1D1D.
又MA1⊂平面AA1D1D,所以AB⊥MA1。

因为AD＝DM，所以∠AMD＝45°，同理∠A1MD1＝45°，所以MA1⊥AM，
又AM∩BA＝A，所以MA1⊥平面AMB.
因为MA 1⊂平面A 1MB 1，
所以平面AMB ⊥平面A 1MB 1.
（2)设AD ＝1，则DD 1＝2,DM ＝
2MD 1＝错误!,以A 为坐标原点，错误!，错误!,错误!的方向分别为x 轴,y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A .xyz ，如图所示．
则A （0，0,0），B （2，0,0)，B 1（2,2，0），C (1,0,1），M 错误!,错误!＝（2，0,0),错误!＝错误!，错误!＝(2,2，0）,错误!＝(1，0，1)，
设平面AMB 的法向量为n 1＝（x 1，y 1，z 1），
则错误!即错误!可取n 1＝（0，3，－4）．
设平面ACB 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，
则错误!即错误!可取n 2＝(－1,1，1），
则|cos 〈n 1，n 2〉|＝错误!＝错误!＝错误!，
所以平面AMB 与平面ACB 1所成锐二面角的余弦值为错误!。

3．设椭圆x 2
a
2＋错误!＝1(a ＞b ＞0）的右顶点为A ,上顶点为B ，已知椭圆的离心率为错误!，｜AB |＝错误!.
(1)求椭圆的方程．
(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0）与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面
积的2倍，求k的值．
解：(1）设椭圆的焦距为2c,由已知有c2
a2＝错误!,
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
又｜AB|＝错误!＝错误!，从而a＝3，b＝2。

所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。

(2）设点P的坐标为（x1,y1），点M的坐标为（x2,y2),由题意知,x2＞x1＞0,点Q的坐标为(－x1，－y1）．
因为△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,
所以|PM|＝2|PQ｜，
所以x2－x1＝2［x1－（－x1）]，即x2＝5x1。

易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，
由方程组错误!消去y,可得x2＝错误!。

由方程组错误!消去y,可得x1＝错误!.
由x2＝5x1,可得9k2＋4＝5(3k＋2)，
两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，
解得k＝－错误!或k＝－错误!.
当k＝－错误!时,x2＝－9＜0，不合题意，舍去；
当k＝－错误!时，x2＝12，x1＝错误!，符合题意．
所以k的值为－错误!.
选考系列(请在下面的两题中任选一题作答）
4．[选修4－4：坐标系与参数方程］
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为错误!（t为参数，t≥0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2，C3的极坐标方程分别为ρ2－2ρcos θ－错误!＝0，ρ（cos θ＋sin θ）＝错误!。

(1)判断C2，C3的位置关系，并说明理由;
(2）若tan α＝错误!(0≤α<π），C1分别与C2，C3交于M，N两点,求｜MN|.
解：（1)由C2:ρ2－2ρcos θ－错误!＝0，可得x2＋y2－2x－错误!＝0，即C2是圆心为（1,0），半径为错误!的圆．
由C3：ρ(cos θ＋sin θ)＝错误!,可得x＋y－错误!＝0，即C3是一条直线，
因为圆C2的圆心(1,0）到直线C3的距离d＝错误!＝错误!＜错误!,即d 〈r，
所以圆C2与直线C3相交．
（2）由tan α＝错误!(0≤α<π),得sin α＝错误!，cos α＝错误!，
由错误!得ρ2－错误!ρ－错误!＝0，解得ρ1＝2,ρ2＝－错误!（舍去)，
由错误!得ρ错误!＝错误!，解得ρ3＝1,
故｜MN｜＝|ρ1－ρ3|＝1.
5．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f（x）＝|x＋5|－｜x－4｜。

(1）解关于x的不等式f(x）≥x＋1；
（2）若函数f(x）的最大值为M，设a，b为正实数，且（a＋1)·(b＋1)＝M，求ab的最大值．
解：(1）f(x）＝|x＋5｜－|x－4|≥x＋1等价于错误!或错误!或错误!
解得x≤－10或0≤x＜4或4≤x≤8,
于是原不等式的解集为（－∞，－10]∪［0，8］．
(2）因为|x＋5|－｜x－4｜≤|（x＋5）－（x－4)|＝9，即M＝9。

所以（a＋1）(b＋1)＝9，
即9＝（a＋1）(b＋1）＝ab＋a＋b＋1≥ab＋2ab＋1，
解得0<ab≤4,当且仅当a＝b＝2时等号成立，
所以ab的最大值为4。