优选第七章IIR滤波器的设计方法Ppt

c 通带内：在1和1/ 1 2 间等波纹起伏
c 通带外：迅速单调下降趋向0
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3. 系统函数Ha(s)：P359-
Ha(s)Ha(s)
H
a
(
j)
2 s/
j
1
1
2CN2
s jc
sk k jk k 1,2,...,2N
2 k
(ca)2
k2 (cb)2
1
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7.3 数字滤波器的技术指标
滤波器的频率响应：
H (e j ) H (e j ) e j ( j)
H (e j ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器
后各频率成分的衰减情况
( j) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波
器后在时间上的延时情况
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1.低通滤波器幅度响应的容限图
若滤波器通带内 (e j ) = 常数，
则为线性相位滤波器
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7.5 模拟原型低通滤波器设计
将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指 标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器
模拟滤波器
巴特沃思 Butterworth 滤波器 切贝雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Ellipse 滤波器
幅度平方响应
H (e j ) 2 H (e j )H *(e j )
H (e j )H (e j ) H (z)H (z1) ze j
H (z)H (z1) 的极点既是共轭的，又是以单
位圆成镜像对称的
j Im[z]
H(z)的极点：单位圆内的极点
a
0 a*
1/ a*
Re[ z ]
a 1
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设增益常数为K0
Ha
(s)
K0(s2 (s 7)(s
25) 6)
由Ha (s)
s0
Ha(
j)
0
=
4 25 76
，得K
0
4
Ha (s)
4(s2 25) (s 7)(s 6)
4s2 100 s2 13s 42
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7.5.2 模拟巴特沃思低通滤波器
1. 幅度平方函数： N 为滤波器的阶数
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7.5.3 模拟切贝雪夫低通滤波器
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1.幅度平方响应：
Ha(
j)
2
1
1 2CN2
( c
)
Type I Chebyshev
0<<1，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大
c ：截止频率，不一定为3dB带宽
N：滤波器的阶数
CN(x) ：N 阶Chebyshev多项式
2N
同理：
1
s c
100.1As
Ha ( j p )
p
s
N
1
p c
2N
100.1Rp 1 100.1As 1
令
s
s p
g
100.1Rp 1 100.1As 1
则：
N lg g
lg s 第24页，共126页。
求出归一化系统函数：
Han (s) N 1
(s sk )
其中极点：
解：（1）求阶数N：
Ha ( j) 2
1
2N
1
c
Rp 20 lg Ha ( jc ) 10 lg[1 (c / c )2N ] 10 lg 2 As 20 lg Ha ( jst ) 10 lg[1 (st / c )2N ]
联立求解，得：
N 3.249
因此，可取 N=4；
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sk
1
(1)2N
jc
ej
1 2
22kN1
c
k 1,2,...,2N
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• 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N
点• 极点间的角度间隔为 π/N rad
• 极点不落在虚轴上
• N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点
Ha(s) Ha(-s)的零极点分布 (a) N=3 (三阶） (b)N=4 （四阶）
Ha (s)
s
c c
( N 1) / 2
Hk (s)
k 1
N为奇数 （7.5.11）
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为了便于对各种类型及各种截止频率 c 滤波器的 设计，滤波器设计手册中，都是将低通滤波器的截 止频率 c 归一化为1，即
c 1 rad / s
这时得到的是归一化系统的系统函数
Han (s)
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(2)Ha(s)的极点
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左 半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个
极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为
Ha (s) N cN
(s sk )
k 1
其中分子系数 由Ha(0)=1解得。 设N=3，极点有6个（见前页图），它们 分别为：（下页）
s ej
1 2
22kN1
k
k 1
k 1,2,..., N
或者由N，直接查表得 Han (s)
去归一化
Ha
(s)
H an
s c
其中技术指标c给出或由下式求出：
c
p
100.11 1
1 2N
或
c
s
100.12 1
1 2N
阻带指标有富裕
通带指标有富裕
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例：试设计一个模拟低通巴特沃思滤波器，要求通带截止频率 Ωc=2π×4000rad/s，通带最大衰减Rp=3dB，阻带下限截止频率 Ωst=2π×8000rad/s，阻带最小衰减As=20dB.
阻带最小衰减： As (dB)
H (e j0 )
As 20lg H (e jst ) 20lg H (e jst ) 20lg2
其中： H (e j0 ) 1
当 H (e jc ) 2 / 2 0.707 时，Rp 3dB
称 c 为3dB通带截止频率
第6页，共126页。
3.表征数字滤波器频率响应特性的三个参量
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由幅度平方函数 Ha ( j) 2确定模拟滤波器的系 统函数 Ha (s)
Ha(
j)
2
Ha(
j)
H
* a
(
j)
h(t)是实函数
Ha ( j)Ha ( j)
Ha (s)Ha (s) s j
将左半平面的的极点归Ha(s)
将以虚轴为对称轴的对称零 点的任一半作为Ha(s)的零点
Hk
(s)
(s
sk
c2 )(s
sN 1k
)
s2
2c s
c2
cos(
2
(2k 1)
2N
)
c2
第21页，共126页。
整个系统由N/2（N为偶数）个此二阶系统级联而成：
N /2
Ha (s) Hk (s) k 1
N为偶数 （7.5.10）
当N为奇数，则系统由一个一阶系统（极点s=-1）和(N1)/2个二阶系统组成：
Ha(
j)
2
1
1 c
2N
c为通带截止频率
当
Ha ( jc ) 2 1/ 2时
1 20lg
Ha ( j0) Ha ( jc )
3dB
称c为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽
第15页，共126页。
2. 幅度函数特点：
Ha(
j)
2
1
1 c
2N
0 Ha ( j) 2 1 c Ha ( j) 2 1/ 2 1 3dB 3dB不变
Ha(
j)
2
16(25 2 ) (49 2 )(36
2
2
)
，求系统函数H
a
(
s)
解： Ha (s)Ha (s)
Ha
(
j)
2 2
s2
16(25 s2 )2 (49 s2 )(36 s2 )
极点： s 7, s 6 零点： s j5（二阶）
Ha (s) 的极点： s 7, s 6 零点： s j5
（2）求极点：
由式：sk
ej
1 2
22kN1
c
k 1,2,..., N
s1 s4* ce j5 /8 s2 s3* ce j7 /8
（3）求系统函数Ha(s)：
Ha (s)
H1(s)
H 2 (s)
s2
c2 0.7653cs c2
c2 s2 1.8478cs c2
实际上，求出N=4时，可以直接查表（表7-2，P370），得到归 一化的（Ωc=1）4阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，然后再 用s/Ωc代替其中的s即可得到同样的结果。
去归一化，得
Ha (s) Han (s) s s c
H an
s c
第23页，共126页。
4. 滤波器的设计步骤：(P355-356)
确定技术指标： p Rp s As
根据技术指标求出滤波器阶数N：
2
1
由 Rp 20lg Ha ( j p )
得：1
p c
2N
100.1Rp
第29页，共126页。
cos(N cos1 x) x 1 等波纹幅度特性
CN (x)
ch( Nch 1x)
x 1 (双曲余弦)单调增加
第30页，共126页。
2.幅度函数特点：
0
N为奇数
Ha ( j0) 1
N为偶数
Ha ( j0) 1/ 1 2
c Ha ( j) 1/ 1 2
第七章IIR滤波器的设计方法
第1页，共126页。
主要内容
掌握冲激响应不变法 掌握双线性变换法
掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程 了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法
第2页，共126页。
数字滤波器的实现步骤
c
a
sin
2N
(2k
1)
jcb
cos
2N
(2k
1)
k 1,2,..., N
第34页，共126页。
数字滤波器设计的4个步骤:
(1) 按任务的需要，确定滤波器性能指标； (2) 用一个因果稳定的LSI系统函数去逼近这一性能 要求，有IIR和FIR两种； (3) 用有限精度算法实现这个系统函数（包括选择 运算结构（第5章）、选择合适的字长等）； （4）实际的技术实现；可以采用通用计算机软件，也 可以采用DSP。
通带： c
1 1 H (e j ) 1
阻带： st H (e j ) 2
过渡带： c st
c ：通带截止频率 st ：阻带截止频率
1 ：通带容限（波纹
2 ：）阻带容限（波纹）
第5页，共126页。
通带最大衰减：Rp （dB）
H (e j0 )
Rp 20lg H (e jc ) 20lg H (e jc ) 20lg(1 1)
性 c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
c 过渡带及阻带内快速单调减小 当＝st（阻带截止频率）时，衰减的2为阻带最小衰减
第16页，共126页。
3. 滤波器的系统函数：
（1）
Ha (s)Ha (s)=
Ha(
j) 2 s/ j
1
1 s jc
2N
Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：
e2 j (e j )
(e j )
1 2j
H (e j )
ln
H
*
(e
j
)
1 2j
H(z) ln H (z1) ze j
H (e j )
第8页，共126页。
群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
(e j ) d (e j ) d
dH (z) 1 Re z dz H (z) ze j
第32页，共126页。
k
c
a
sin
2N
(2k
1)
k
c
b
cos
2N
(2k
1)
sk k jk k 1,2,...,2N
a
1 2
1 N
1 N
b
1 2
1 N
1 N
1
1
2
1
第33页，共126页。
Ha (s) N K
(s sk )
k 1
K
cN
2N 1
其中：
sk
第19页，共126页。
系统函数为：
Ha (s) N cN
极点为：
(s sk )
k 1
sk
1
(1)2N
jc
ej
1 2
22kN1
c
k 1,2,..., N
当N为偶数，Ha(s)的极点（左半平面）皆成共轭对，记为：
sk , sN 1k, k 1, 2,...N / 2
这一对共轭点构成一个二阶子系统：（7.5.9）
第10页，共126页。
模拟滤波器设计步骤：
1）给定滤波器技术指标：p , st , (1 1)或Rp (dB), 2或As (dB) 2）选定滤波器类型（巴特沃思、切贝雪夫、椭圆）； 3）计算滤波器所需阶次N； 4）查表或计算确定归一化低通滤波器的系统函数Han(s)； 5）将Han(s)转换为所需类型的滤波器系统函数Ha(s) 。
，虚轴上的零点一半归Ha(s)
Ha(s) Ha(-s)的零极点分布
第12页，共126页。
由 Ha ( j) 2 确定Ha (s)的方法
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 由零极点分布，得系统函数 Ha (s) 对比 Ha ( j) 和 Ha (s) ，确定增益常数
第13页，共126页。
例： 已知幅度平方函数：
相位响应
H (e j ) H (e j ) e j (e j ) Re H (e j ) j Im H (e j )
相位响应：
(e
j
)
arctan
Im[H Re[H
(e (e
j j
)] )]
H *(e j ) H (e j ) e j (e j )
H (e j ) H *(e j )