(统编版)2020高中数学第二章函数2.3函数的应用Ⅰ同步训练新人教B版必修4

2.3 函数的应用(Ⅰ)
5分钟训练
1.已知在x 克a%的盐水中,加入y 克b%的盐水,浓度变为c%,将y 表示成x 的函数关系式为
( ) A.y=x b c a c -- B.y=x c
b a
c -- C.y=x a c b c -- D.y=x a c c b -- 答案：B
解析：因为配制前后溶质不变,有等式a%x+b%y=c%(x+y),
即ax+by=cx+cy,故y=x c
b a
c --. 2.向高为H 的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
答案：B
解析：观察图象,h 较小时V 值上升的较快说明下底大，而h 较大时V 值上升的较慢说明上底小.
3.某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（kg ）与其运费（元）由下图的一次函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为_______________.
答案：19 kg
解析：设y=kx+b ，将点（30，330）、（40，630）代入,得y=30x-570.令y=0即可.
4.有一块长为20厘米，宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.则盒子的容积V 与x 的函数关系式是_____________. 答案：V=（20-2x ）（12-2x ）x
解析：由题意找出x 与边长的关系，然后利用体积公式写出容积V 与x 的函数关系式. 10分钟训练
1.某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次,存车费为:变速车0.3元/辆次,普通车0.2元/辆次.若当天普通车存车数为x 辆次,存车费总收入为y 元,则y 关于x 的函数关系式为
( )
A.y=0.2x(0≤x≤4 000)
B.y=0.5x(0≤x≤4 000)
C.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000)
D.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000)
答案：C
解析：由题意,得y=0.3(4 000-x)+0.2x(0≤x≤4 000),
即y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000).
2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x 2(0<x<240,
x∈N *),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为( )
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
答案：C
解析：设生产者不亏本时的最低产量为x 台,
依题意,得25x-3 000-20x+0.1x 2≥0,
即x 2+50x-30 000≥0.
解得x≤-200(舍)或x≥150.
所以生产者不亏本时的最低产量为150台.
3.某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表：
网络 月租费 本地话费 长途话费
甲:联通130网 12元 每分钟0.36元 每6秒钟0.06元 乙:移动“神州行”卡
无 每分钟0.6元 每6秒钟0.07元
(注:本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费)
若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍,且每月通话时间(分钟)的范围在区间(60,70)内,则选择较为省钱的网络为( )
A.甲
B.乙
C.甲、乙均一样
D.分情况确定 答案：A
解析：(1)若按甲网络计费,则需支出的费用为y 1=12+5×0.36x+
660x ×0.06=2.4x+12. 当60<x<70时,156<y 1<180.
(2)若按乙网络计费,则需支出的费用为y 2=5x×0.6+60x×6
07.0=3.7x. 当60<x<70时,222<y 2<259.
由(1)(2)可知选择甲网络省钱.
4.对于每一个实数x ，f （x ）是y=2-x 2和y=x 这两个函数值中的较小者，则f （x ）的最大
值是( )
A.1
B.2
C.0
D.-2
答案：A
解析：由数形结合的思想，比较两函数图象在同一坐标系下的位置关系.
5.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系如图所示,则该汽车在前3小时内行驶的路程为________km,假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 006 km,那么在t∈［1,2］时,汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式为_______________.
答案：220 s=1 976+80t(t≥0)
解析：该汽车在前3个小时内行驶的路程为50×1+80×1+90×1=220 km.
由于这辆汽车在行驶这段路程前的里程表的读数为2 006 km,
所以当t∈［1,2］时,汽车里程表的读数s 与时间t 的函数关系式是s=2 006+50×1+80(t -1)=1 976+80t(t≥0).
6.绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润?
解：设销售价为x 元/瓶,则根据题意(销售量等于进货量),正好当月销售完的进货量为05
.04x -×40+400,即400×(9-2x)瓶. 此时所得的利润为f(x)=400(9-2x)(x-3)=400(-2x 2
+15x-27)(元),
根据函数的性质,当x=3.75时,f(x)取得最大值450,
这时进货量为400×(9-2x)=400×(9-2×3.75)=600(瓶).
获得最大利润为450元.
30分钟训练
1.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表:
每户每月用水量 水价
不超过12 m 3的部分 3元/m 3
超过12 m 3但不超过18 m 3的部分 6元/m 3
超过18 m 3的部分 9元/m 3
若某户居民本月交纳的水费为48元,则此户居民本月用水量( )
A.比12 m 3少
B.比12 m 3多,但不超过18 m 3
C.比18 m 3多
D.恰为12 m 3
答案：B
解析：设每户每月用水量为x,水价为y, 则y=⎪⎩
⎪⎨⎧>⨯-++≤<⨯-+≤<,18,9)18(3636,1812,
6)12(36,120,3x x x x x x 即⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤<-≤<=.18,909,1812,366,120,3x x x x x x y
∴48=6x -36,x=14,故选B.
2.如图,是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有
( )
①这几年人民的生活水平逐年得到提高;②人民生活费收入增长最快的一年是2003年;③虽然2005年生活费收入增长最缓慢,但由于生活价格指数也略有降低,因而人民的生活仍有较大改善.
A.1项
B.2项
C.3项
D.0项
答案：C
解析：根据题图,“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确.“生活费收入指数”2003-2004年最“陡”，②正确.生活价格指数下降,而“生活费收入指数”的曲线呈上升趋势，故③正确.
3.(探究题)如图,△ABO 为正三角形,直线x=t 截三角形得△ABO 左侧的阴影图形,当直线自左向右匀速移动时(0≤t≤a),阴影图形面积S 关于t 的函数图象大致是
( )
答案：A
解析：S=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤.2,32
3,202
322a t a at t a t t 4.为了稳定市场,确保农民增收,某农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购价格有关,且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：
月份 1 2 3 4 5 6 7 价格(元/担) 68 78 67 71 72 70 则7月份该产品的市场收购价格应为( )
A.69元
B.70元
C.71元
D.72元
答案：C
解析：f(a)=(a-71)2+(a-72)2+(a-70)2=3(a-71)2+2.
当a=71时,f(a)最小.
5.一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断序号是____________.
答案：①
解析：由题中甲、乙两图可知,一个水口单位时间内的出水量是进水量的2倍.对于①,由于蓄水量持续增加,所以它是正确的;对于②,由于单位时间内的出水量同进水量一致,所以它表示同时打开一个进水口和一个出水口;对于③,也可表示同时打开两个进水口和一个出水口.
6.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一书共纳税420元,这个人的稿费为____________元.
答案：3 800
解析：∵3 200×14%=448>420,
∴稿费超出800元的部分为420÷14%=3 000,即可求出.
7.用 4 m 长的合金条做一个“日”字形的窗户.当窗户的长和宽各为多少时,透过的光线最多?
解：设“日”字形窗户的长为x m ，则宽为
3
24x - m ，其面积为 S=x x x x 34323242+-=-•=3
2)1(322+--x . 所以当窗户的长为1 m ，宽为32m 时，窗户的面积最大为32m 2，即透过的光线最多. 8.某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台.现销售给A 地10台,B 地8台.已知从甲地调运1台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元,从乙地调运1台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元.
(1)设从乙地调运x 台至A 地,求总运费y 关于x 的函数关系式.
(2)若总运费不超过9 000元,问共有几种调运方案?
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.
解：由甲、乙两地调运至A 、B 两地的机器台数及费用列表如下：
调出地 甲地 乙地
调至地 A 地 B 地 A 地 B 地
台数 10-x 12-(10-x) x 6-x 每台运费 400 800 300 500
运费合计 400(10-x) 800［12-(10-x)］ 300x 500·(6-x)
(1)依题意,得y=400(10-x)+800［12-(10-x)］+300x+500(6-x),
即y=200(x+43)(0≤x≤6,x∈Z ).
(2)由y≤9 000,解得x≤2.
∵x∈Z ,0≤x≤6,
∴x=0,1,2.
∴共有三种调运方案.
(3)由一次函数的单调性,知当x=0时,总运费y 最低,y min =8 600元,即从乙地调6台给B 地,甲地调10台给A 地、调2台给B 地的调运方案的总运费最低,最低运费为8 600元.
9.某商场经营一批进价为12元/个的小商品,在4天的试销中,对此商品的单价x(元)与相应的日销量y(个)作了统计,其数据如下：
x 16 20 24 28
y 42 30 18 6
(1)能否找到一种函数,使它反映y 关于x 的函数关系?若能,写出函数解析式.
(2)设经营此商品的日销售利润为P(元),求P 关于x 的函数解析式,并指出当此商品的销售价每个为多少元时,才能使日销售利润P 取最大值?最大值是多少?
解：(1)观察x 、y 的关系,可大体看到y 与x 是一次函数,令y=kx+b.
代入当x=16时,y=42;x=20时,y=30.
得⎩⎨⎧+=+=)
2(.2030)1(,1642b k b k
由②-①,得-12=4k,
∴k=-3.
代入②,得b=90.
所以y=-3x+90,显然当x=24时,y=18.
当x=28时,y=6.
对照数据,可以看到y=-3x+90即为所求解析式.
(2)利润P=(x-12)·(-3x+90)=-3x 2+126x-1 080=-3(x-21)2+243.
∵二次函数开口向下,
∴当x=21时,P 最大为243.
即每件售价为21元时,利润最大,最大值为243元.。