信源编码等长码
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对于D进制码，从树根开始，每次引出D个分支， 某一节点确定为码字之后，不再引出分支
● 根
0
º
0
1● 1●
0 1
10
º
0
110
º
111
º
码字是从树根节点出发到达终节点所对应的码符号序列
•
码的分类结构图
奇异码 非奇异码
唯一可译码
非唯一可译码
等长码
非等长码
即时码
延时码
• 平均码长
码字长度
n nm P(Cm )
码 , 或单义可译码。否则，就称为非唯一可译码或非 单义可译码。
例如,表3.1中码1是唯一可译码,而码2是非唯一可
译码。因为对于码2，其有限长的码符号序列能译成 不同的信源符号序列。如码符号序列为0010，可译 成s1s2s1或s3s1，就不唯一了。
唯一可译码 非唯一 可译码
表3.1
唯一可译码
[定义] 若W中任一有限长的码字序列 （即有限长的一 串W），可以被唯一地分割成一个一个码字，就称为是单义 可译或唯一可译的，W也叫做单义代码。 从扩展性定义：码的任意N次扩展码都是非奇异码，则唯一可译
• 求信息传输速率。
7 i=0
H X =-p(x i )log(p(x i )) 2.75log2 2.75(比特/符号) 1 1 1 n 2 2 2 3 2 4 2.75 （码元/符号） 4 8 16 信源特殊分 H X 2.75 RD = =1(比特/码元时间) 布，每个消 2.75 n 息的概率
码C: 0 10
110
111
4、码C是唯一可译的,因为任一串有限长的码字w, 如 100111011010 只能被分割成 10，0，111，0，110，10 任何其他分割方法都会产生一些不属于代码W的 码字（如1，001，11，011，010）；
码E: 0
01
011
111
a1 a2
a3
a4
5、比较微妙的是码E：当收端收到“0”时，仍不能 及时判决为a1，必须等到第二个码元来时，也许 才可做出判断。 例如，当第二个码元为“0”时，就可判断前一个“0” 对应于a1；但若第二个码元仍为“1”，则还无法 做出判断，因为是a2或a3的可能性都还存在。所 以它的译码就要等待一段时间。特别是若遇到如 下的码字序列： 0 1 1 1 1 1 1 1 1 …1 1 1 1 1
这样一来，就产生了时间上的延迟和存储容量的增加。甚 至可以说，也许要有无限大的存储容量才够用.
码F: 0
10
101
a3，
111
a4
a1， a2，
• 5、对于码F，即使从尾开始判断，也不是 唯一可译的，如对码序列 1 0 1 1 1 1 0 1 0 既可译成“a2，a4，a2，a2”，也可判决 为“a3，a4，a1，a2”。
[例]考虑以下几种变长码：
信源字母 概率 码A 码B 码C 码D 码E 码F
a1 a2 a3 a4
1/2 1/4 1/8 1/8
0 0 1 10
0 1 11 111
0 10 110 111
0 01 011 0111
0 01 011 111
0 10 101 111
码B: 0
1
11
111
2、码B是一一对应的（非奇异码），但由它所构成的序 列不能被唯一分割。比如码字序列01110，可以分割成 0,1,1,1,0;也可分割成0,1,11,0；0,11,1,0；或0,111,0等, 因而也不是唯一可译的。 但它与码A还有不同之处：只要在码字之间留有空隙 （例如像莫尔斯电报那样）或者加个“逗号”，就可以 正确译码。 码D: 0 01 011 0111 3、码D正是在码B各码字（除了w1）之前加了起一个逗 号作用的码元“0”，从而成为唯一可译的，但这就使 平均码长增加了0.5bit；
m 1 4
n2 nm P(Cm ) 1 0.4 2 0.2 3 0.2 4 0.2 2.2
m 1
• N次扩展码平均码长
n nm ns P(um )P(us )
m 1 M
原信源消息码字长度
• 问题： • 怎么使得平均码长尽量短？ • 概率大 码长小 • 概率小 码长大
集合C称为码。
映射： 一一对应， 无压缩编码 多对一，压缩编码
[举例]
待发消息：
阴 晴
雨 雪
信源符号集： {a1, a2, a3, a4} 用二进制信道： {0,1}，4个消息转化为4个二进制代码： {a1: 00, a2: 01 , a3: 10 , a4: 11}, 码长为2 汉字电报：10000个常用字 ↔ 10000个4位十进制数 每个十进制数字 ↔ 5位二进制等重代码组 u1 ↔ 0000 ↔ 01101 01101 01101 01101
紧致码。二进制符号最大信息量为1bit 2^(-h)
• 3.2 等长码及等长编码定理 简单信源S: 信源符号集包含K个符号，码符号集包 n 含D个符号，码字长度为n，码字个数为 D
• 对S进行 等长无差错编码，得到码集C是唯一可译，必 须满足： n
KD
信源消息 u1 u2 u3 u4
概率 码1 1/2 00 1/4 11 1/8 10 1/8 11
其中只有第一个码元为“ 0 ”，其余均为“ 1 ”，收端 在开始几步就无法加以判决。因为将开头几个码元 “ 01111 ”判决成“ a1 1111” 固然可以，但判决成“ a2 111”或“a3 11”也未尝不行。
因而最好的办法就是待收到全部序列 ( 如无第二个“ 0 ”出 现)后，再从尾开始进行判决，才能正确地决定第一个消息 是什么。
x0 ,x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 00,01,110,101,1000,1001,1110,1111
• 为提高传输效率使得平均码长尽可能短，进行二进制不等长编码：
奇异码 奇异码
求码的N次扩展码：
求码2的二次扩展码 :[s1=0；s2=01；s3=001;s4=111]
信源S的二次扩展信源
S2=[a1=s1s1,a2=s1s2,a3=s1s3,…,a16=s4s4]
所以码2的二次扩展码为
8. 唯一可译码
若码的任意一串有限长的码符号序列只能被唯一
地译成所对应的信源符号序列 , 则此码称为唯一可译
为码符号(或者码元)。
编码器是将信源符号集中的符号Si(或者长为N的信源
符号序列)变换成由xj(j=1,2,…,r)组成的长度为Li的一
一对应的码符号序列Wi的序列，称为码字。
即 Si(i=1,…,q) ↔Wi=(xi1xi2…xiLi) , xi1∈X(k=1,…,Li) Si= { Si1,Si2,…,SiN} ↔Wi=(xi1xi2…xiLi) , SiK∈S (k=1,…,Li) 长度 Li 称为码字长度或简称码长。所有这些码字的
若码C={W1,W2,…,Wq}其中 则N次扩展码
可见,N次扩展B中,每个码字Bi(i=1,…,qN)与N次扩展信 源SN中每个信源符号序列Si={si1,si2,…,siN}一一对应。 举例，设信源S的概率空间为
若把它通过一个二元信道进行传输，为使信源适合信 道传输，就必须把信源符号Si变换成0,1符号组成的码 符号序列(二元序列)。我们可采用不同的二元序列其 与信源符号Si一一对应，这样就可得到不同的二元码， 如表3.1所示。 等长非 变长非 表3.1
logloglog27475logloglog2403loglog2编码效率不同loglog是小于1的无量纲数可以定义为等长编码的编码效率loglh在编码环节编码效率是衡量编码质量的重要指标之一对信源编码应当尽量提高编码效率例离散无记忆信源010702logloglog31585logloglog201log0107log0702log0211561116loglog2定理31要求的码长下界比36要求的码长下界更紧致但码长为整数因此码长都取2对该信源进行二进制等长编码先确定码长因为信源消息数k3信源序列长l1码符号数d2根据3611550587log2log2lh010702编码效率取码长001007002logloglog33170logloglog20000000100100011010011560578log4log2lh根据定理31确定码长
[例]考虑以下几种变长码：
信源字母 概率 码A 码B 码C 码D 码E 码F
a1 a2 a3 a4
1/2 1/4 1/8 1/8
0 0 1 10
0 1 11 111
0 10 110 111
0 01 011 0111
0 01 011 111
0 10 101 111
1、码A不是一一对应的（码字0同时对应 a1与a2），奇异码，故不是唯一可译的 （虽然它具有最小的码长L ）；
u2 ↔ 0001 ↔ 01101 01101 01101 01011
信源消息 … 码符号集： 0，1 码序列 u10000 ↔ 9999 ↔ 10011 10011 10011 10011 信源符号集：0,1,2，…,9
码的定义
1. 二元码
若码符号集为X={0,1},所得码字都是一些二元序列,
则称为二元码。
5.奇异码 若一组码中有相同的码字, 信源消息到码字的映射不是 一一对应
则称码C为奇异码。---不具备唯一可译性
6.同价码 若码符号集X:{x1,x2,…,xr}中每个码符号xi所占的传输时
间相同,则所得的码C为同价码。
一般二元码是同价码。对同价码来说，等长码中每个码 字的传输时间都相同；而变长码中每个码字的传输时间就不 一定相同。电报中常用的莫尔斯码是非同价码，其码符号点 (•)和划(—)所占的传输时间不相同。 7.码的N次扩展码 假设某码C,它把信源S中的符号Si一一变换成码C中的码 字Wi,则码C的N次扩展码是所有N个码字组成的码字序列的 集合。
码2 00 01 10 11
必要非充分 • 码1，码2 • K=4，D=2，n=2 唯一可译
不是唯一可译
• 简单信源S的L次扩展信源 S L 进行等长编码， 扩展信源 S L 包含 K L 个消息，得到长为n的唯一 可译码，需满足：
• 信息传输速率
• -----信道单位时间内所传输的实际信息量
• 非压缩（无失真编码）
• -----信源的熵率（时间熵）
• 信息传输率定义： Rt
HX tn
信源熵
(比特/秒)
平均码长
码符号时间
• 若以码元时间为单位：
RD HX n (比特/码元时间)
• [举例]
x0 ,x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 X p( X ) 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , 4 4 8 8 16 16 16 16
• 即时码：
• 对于变长码的定义： • 字头（前缀）： c=c1c2…cn； c1c2…ci（i<n）是字头 • 异字头码（无前缀码）：任一码字都不是另一码字的字 头，可以即时译码，即时码 • 非异字头码不能即时译码，称为非即时码 • 即时码唯一可译，而唯一可译码不一定是即时码
信源符号 码C 码D 码E 码F
S(消息、信源符号集)
{S1,S2,…,Sq}
编 码 器
W(码字符号集)
{w1,w2,…,wq}
适合信道传输
码/信道符号集
{X1,X2,…,Xr}
图3.1 无失真信源编码器
输入信源符号 S={S1,S2,…,Sq} 。同时存在另一符号 X={x1,x2,…,xr} ，一般元素 xj 是适合信道传输的，称
第三章 离散信源无失真编码
主讲：肖 竹
第三章 Part I
1. 编码的基本概念 2. 唯一可译码 3. 等长码与等长信源编码原理
3.1 编码的基本概念
编码实质上是对信源的原始符号按一定的数学规 则进行一种变换。由于无失真信源编码可以不考虑抗 干扰问题，所以它的数学描述比较简单。如图所示, 就是一个编码器。
a1 a2 a3 a4
0 10 110 111 即时码 唯一可译
0 01 011 0111 非即时码 唯一可译
0 01 011 111 非即时码 可译
0 10 101 111 非即时码 非唯一可译
•即时码可以通过树图来构造：根节点到终结点对应 的码符号序列
• [树图举例] ={0,10,110,111}.
二元码是数字通信和计算机系统中最常用的一种码。
2.等长码(或称固定长度码) 若一组码中所有码字的码长都相同,即 Li=L(i=1,2,…,q), 则称为等长码。
3.变长码 若一组码中所有码字的码长各不相同,即任意码字由不同长 度Li码符号序列组成,则称为变长码。 4.非奇异码 若一组码中所有码字都不相同,即所有信源符号映射到不同 的码符号序列，
m 1
M
码长的概率加权平均
码字Cm出现概率
• 等长码：平均码长 = 每个码字码长
• 变长码平均码长
n nm P(Cm )
m 1 M
• 码：{0, 1, 00, 11}； • {1, 10, 100, 1000}， • 假定各消息概率：（0.4, 0.2, 0.2, 0.2）
4
n1 nm P(Cm ) 1 0.4 1 0.2 2 0.2 2 0.2 1.4
● 根
0
º
0
1● 1●
0 1
10
º
0
110
º
111
º
码字是从树根节点出发到达终节点所对应的码符号序列
•
码的分类结构图
奇异码 非奇异码
唯一可译码
非唯一可译码
等长码
非等长码
即时码
延时码
• 平均码长
码字长度
n nm P(Cm )
码 , 或单义可译码。否则，就称为非唯一可译码或非 单义可译码。
例如,表3.1中码1是唯一可译码,而码2是非唯一可
译码。因为对于码2，其有限长的码符号序列能译成 不同的信源符号序列。如码符号序列为0010，可译 成s1s2s1或s3s1，就不唯一了。
唯一可译码 非唯一 可译码
表3.1
唯一可译码
[定义] 若W中任一有限长的码字序列 （即有限长的一 串W），可以被唯一地分割成一个一个码字，就称为是单义 可译或唯一可译的，W也叫做单义代码。 从扩展性定义：码的任意N次扩展码都是非奇异码，则唯一可译
• 求信息传输速率。
7 i=0
H X =-p(x i )log(p(x i )) 2.75log2 2.75(比特/符号) 1 1 1 n 2 2 2 3 2 4 2.75 （码元/符号） 4 8 16 信源特殊分 H X 2.75 RD = =1(比特/码元时间) 布，每个消 2.75 n 息的概率
码C: 0 10
110
111
4、码C是唯一可译的,因为任一串有限长的码字w, 如 100111011010 只能被分割成 10，0，111，0，110，10 任何其他分割方法都会产生一些不属于代码W的 码字（如1，001，11，011，010）；
码E: 0
01
011
111
a1 a2
a3
a4
5、比较微妙的是码E：当收端收到“0”时，仍不能 及时判决为a1，必须等到第二个码元来时，也许 才可做出判断。 例如，当第二个码元为“0”时，就可判断前一个“0” 对应于a1；但若第二个码元仍为“1”，则还无法 做出判断，因为是a2或a3的可能性都还存在。所 以它的译码就要等待一段时间。特别是若遇到如 下的码字序列： 0 1 1 1 1 1 1 1 1 …1 1 1 1 1
这样一来，就产生了时间上的延迟和存储容量的增加。甚 至可以说，也许要有无限大的存储容量才够用.
码F: 0
10
101
a3，
111
a4
a1， a2，
• 5、对于码F，即使从尾开始判断，也不是 唯一可译的，如对码序列 1 0 1 1 1 1 0 1 0 既可译成“a2，a4，a2，a2”，也可判决 为“a3，a4，a1，a2”。
[例]考虑以下几种变长码：
信源字母 概率 码A 码B 码C 码D 码E 码F
a1 a2 a3 a4
1/2 1/4 1/8 1/8
0 0 1 10
0 1 11 111
0 10 110 111
0 01 011 0111
0 01 011 111
0 10 101 111
码B: 0
1
11
111
2、码B是一一对应的（非奇异码），但由它所构成的序 列不能被唯一分割。比如码字序列01110，可以分割成 0,1,1,1,0;也可分割成0,1,11,0；0,11,1,0；或0,111,0等, 因而也不是唯一可译的。 但它与码A还有不同之处：只要在码字之间留有空隙 （例如像莫尔斯电报那样）或者加个“逗号”，就可以 正确译码。 码D: 0 01 011 0111 3、码D正是在码B各码字（除了w1）之前加了起一个逗 号作用的码元“0”，从而成为唯一可译的，但这就使 平均码长增加了0.5bit；
m 1 4
n2 nm P(Cm ) 1 0.4 2 0.2 3 0.2 4 0.2 2.2
m 1
• N次扩展码平均码长
n nm ns P(um )P(us )
m 1 M
原信源消息码字长度
• 问题： • 怎么使得平均码长尽量短？ • 概率大 码长小 • 概率小 码长大
集合C称为码。
映射： 一一对应， 无压缩编码 多对一，压缩编码
[举例]
待发消息：
阴 晴
雨 雪
信源符号集： {a1, a2, a3, a4} 用二进制信道： {0,1}，4个消息转化为4个二进制代码： {a1: 00, a2: 01 , a3: 10 , a4: 11}, 码长为2 汉字电报：10000个常用字 ↔ 10000个4位十进制数 每个十进制数字 ↔ 5位二进制等重代码组 u1 ↔ 0000 ↔ 01101 01101 01101 01101
紧致码。二进制符号最大信息量为1bit 2^(-h)
• 3.2 等长码及等长编码定理 简单信源S: 信源符号集包含K个符号，码符号集包 n 含D个符号，码字长度为n，码字个数为 D
• 对S进行 等长无差错编码，得到码集C是唯一可译，必 须满足： n
KD
信源消息 u1 u2 u3 u4
概率 码1 1/2 00 1/4 11 1/8 10 1/8 11
其中只有第一个码元为“ 0 ”，其余均为“ 1 ”，收端 在开始几步就无法加以判决。因为将开头几个码元 “ 01111 ”判决成“ a1 1111” 固然可以，但判决成“ a2 111”或“a3 11”也未尝不行。
因而最好的办法就是待收到全部序列 ( 如无第二个“ 0 ”出 现)后，再从尾开始进行判决，才能正确地决定第一个消息 是什么。
x0 ,x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 00,01,110,101,1000,1001,1110,1111
• 为提高传输效率使得平均码长尽可能短，进行二进制不等长编码：
奇异码 奇异码
求码的N次扩展码：
求码2的二次扩展码 :[s1=0；s2=01；s3=001;s4=111]
信源S的二次扩展信源
S2=[a1=s1s1,a2=s1s2,a3=s1s3,…,a16=s4s4]
所以码2的二次扩展码为
8. 唯一可译码
若码的任意一串有限长的码符号序列只能被唯一
地译成所对应的信源符号序列 , 则此码称为唯一可译
为码符号(或者码元)。
编码器是将信源符号集中的符号Si(或者长为N的信源
符号序列)变换成由xj(j=1,2,…,r)组成的长度为Li的一
一对应的码符号序列Wi的序列，称为码字。
即 Si(i=1,…,q) ↔Wi=(xi1xi2…xiLi) , xi1∈X(k=1,…,Li) Si= { Si1,Si2,…,SiN} ↔Wi=(xi1xi2…xiLi) , SiK∈S (k=1,…,Li) 长度 Li 称为码字长度或简称码长。所有这些码字的
若码C={W1,W2,…,Wq}其中 则N次扩展码
可见,N次扩展B中,每个码字Bi(i=1,…,qN)与N次扩展信 源SN中每个信源符号序列Si={si1,si2,…,siN}一一对应。 举例，设信源S的概率空间为
若把它通过一个二元信道进行传输，为使信源适合信 道传输，就必须把信源符号Si变换成0,1符号组成的码 符号序列(二元序列)。我们可采用不同的二元序列其 与信源符号Si一一对应，这样就可得到不同的二元码， 如表3.1所示。 等长非 变长非 表3.1
logloglog27475logloglog2403loglog2编码效率不同loglog是小于1的无量纲数可以定义为等长编码的编码效率loglh在编码环节编码效率是衡量编码质量的重要指标之一对信源编码应当尽量提高编码效率例离散无记忆信源010702logloglog31585logloglog201log0107log0702log0211561116loglog2定理31要求的码长下界比36要求的码长下界更紧致但码长为整数因此码长都取2对该信源进行二进制等长编码先确定码长因为信源消息数k3信源序列长l1码符号数d2根据3611550587log2log2lh010702编码效率取码长001007002logloglog33170logloglog20000000100100011010011560578log4log2lh根据定理31确定码长
[例]考虑以下几种变长码：
信源字母 概率 码A 码B 码C 码D 码E 码F
a1 a2 a3 a4
1/2 1/4 1/8 1/8
0 0 1 10
0 1 11 111
0 10 110 111
0 01 011 0111
0 01 011 111
0 10 101 111
1、码A不是一一对应的（码字0同时对应 a1与a2），奇异码，故不是唯一可译的 （虽然它具有最小的码长L ）；
u2 ↔ 0001 ↔ 01101 01101 01101 01011
信源消息 … 码符号集： 0，1 码序列 u10000 ↔ 9999 ↔ 10011 10011 10011 10011 信源符号集：0,1,2，…,9
码的定义
1. 二元码
若码符号集为X={0,1},所得码字都是一些二元序列,
则称为二元码。
5.奇异码 若一组码中有相同的码字, 信源消息到码字的映射不是 一一对应
则称码C为奇异码。---不具备唯一可译性
6.同价码 若码符号集X:{x1,x2,…,xr}中每个码符号xi所占的传输时
间相同,则所得的码C为同价码。
一般二元码是同价码。对同价码来说，等长码中每个码 字的传输时间都相同；而变长码中每个码字的传输时间就不 一定相同。电报中常用的莫尔斯码是非同价码，其码符号点 (•)和划(—)所占的传输时间不相同。 7.码的N次扩展码 假设某码C,它把信源S中的符号Si一一变换成码C中的码 字Wi,则码C的N次扩展码是所有N个码字组成的码字序列的 集合。
码2 00 01 10 11
必要非充分 • 码1，码2 • K=4，D=2，n=2 唯一可译
不是唯一可译
• 简单信源S的L次扩展信源 S L 进行等长编码， 扩展信源 S L 包含 K L 个消息，得到长为n的唯一 可译码，需满足：
• 信息传输速率
• -----信道单位时间内所传输的实际信息量
• 非压缩（无失真编码）
• -----信源的熵率（时间熵）
• 信息传输率定义： Rt
HX tn
信源熵
(比特/秒)
平均码长
码符号时间
• 若以码元时间为单位：
RD HX n (比特/码元时间)
• [举例]
x0 ,x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 X p( X ) 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , 4 4 8 8 16 16 16 16
• 即时码：
• 对于变长码的定义： • 字头（前缀）： c=c1c2…cn； c1c2…ci（i<n）是字头 • 异字头码（无前缀码）：任一码字都不是另一码字的字 头，可以即时译码，即时码 • 非异字头码不能即时译码，称为非即时码 • 即时码唯一可译，而唯一可译码不一定是即时码
信源符号 码C 码D 码E 码F
S(消息、信源符号集)
{S1,S2,…,Sq}
编 码 器
W(码字符号集)
{w1,w2,…,wq}
适合信道传输
码/信道符号集
{X1,X2,…,Xr}
图3.1 无失真信源编码器
输入信源符号 S={S1,S2,…,Sq} 。同时存在另一符号 X={x1,x2,…,xr} ，一般元素 xj 是适合信道传输的，称
第三章 离散信源无失真编码
主讲：肖 竹
第三章 Part I
1. 编码的基本概念 2. 唯一可译码 3. 等长码与等长信源编码原理
3.1 编码的基本概念
编码实质上是对信源的原始符号按一定的数学规 则进行一种变换。由于无失真信源编码可以不考虑抗 干扰问题，所以它的数学描述比较简单。如图所示, 就是一个编码器。
a1 a2 a3 a4
0 10 110 111 即时码 唯一可译
0 01 011 0111 非即时码 唯一可译
0 01 011 111 非即时码 可译
0 10 101 111 非即时码 非唯一可译
•即时码可以通过树图来构造：根节点到终结点对应 的码符号序列
• [树图举例] ={0,10,110,111}.
二元码是数字通信和计算机系统中最常用的一种码。
2.等长码(或称固定长度码) 若一组码中所有码字的码长都相同,即 Li=L(i=1,2,…,q), 则称为等长码。
3.变长码 若一组码中所有码字的码长各不相同,即任意码字由不同长 度Li码符号序列组成,则称为变长码。 4.非奇异码 若一组码中所有码字都不相同,即所有信源符号映射到不同 的码符号序列，
m 1
M
码长的概率加权平均
码字Cm出现概率
• 等长码：平均码长 = 每个码字码长
• 变长码平均码长
n nm P(Cm )
m 1 M
• 码：{0, 1, 00, 11}； • {1, 10, 100, 1000}， • 假定各消息概率：（0.4, 0.2, 0.2, 0.2）
4
n1 nm P(Cm ) 1 0.4 1 0.2 2 0.2 2 0.2 1.4