第十章§10.4 随机事件的概率与古典概型课件

2.事件的关系与运算
定义
符号表示
若事件A产生，事件B一定产生，则称事件B(或称事件A包含于事件B)
相等关系 若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等
_A_＝__B_
若某事件产生当且仅当事件A产生 或 事件B 并事件
产生，则称此事件为事件A与事件B的并事 A∪B(或A＋B) (和事件)
则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对峙事件，
所以
P(N)＝1－P(A∪B)＝1－1
0100＋1
10000＝1908090.
故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1908090.
思维升华
(1)判断互斥事件、对峙事件一般用定义，不可能同时产生的两个事件为 互斥事件；若两个事件中有且仅有一个产生，则这两个事件互为对峙事 件.对峙事件一定是互斥事件. (2)概率与频率的关系：频率反应了一个随机事件出现的频繁程度，频率 随着实验次数的增加越来越接近概率，而概率是一个确定的值，通常用 概率来反应随机事件产生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件 概率的估计值.
命题点2 随机事件的频率与概率 例2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元， 售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根 据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温 不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶； 如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前 三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数散布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
解 当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100； 若最高气温位于区间[20,25)， 则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300； 若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900， 所以，利润Y的所有可能值为－100,300,900. Y大于零当且仅当最高气温不低于20， 由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为36＋2950＋7＋4＝0.8. 因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0≤P(A)≤1 . (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) . (5)对峙事件的概率 若事件A与事件B互为对峙事件，则P(A)＝ 1－P(B) .
件(或和事件)
若某事件产生当且仅当事件A产生_且__ 交事件
事件B产生，则称此事件为事件A与事 (积事件)
件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
A∩B为不可能事件，则称事件A与事 互斥事件
件B互斥
A∩B＝_∅__
A∩B＝∅且
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事
对峙事件
P(A∪B)
件，则称事件A与事件B互为对峙事件 ＝_P_(_A_)_＋__P_(B__)＝__1__
课时精练
主干梳理 基础落实
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
知识梳理
1.概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次实验，视察某一事件A是否出现，称n次实验 中事件A出现的次数nA为事件A出现的 频数 ，称事件A出现的比例fn(A)＝ nA n 为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A产生的频率fn(A)随着实验次数的增 加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
依题意，P(A)＝1 0100，P(B)＝1 10000，P(C)＝1 50000，
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝1＋11000＋0 50＝1
61 000.
故
1
张奖券的中奖概率为1
61 000.
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解 设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，
D 中，该教职工的年龄在 35 岁及以上且具有研究生学历的概率 P＝11250＝ 18＝12.5%>10%，故正确.
(3)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件 A 表示“出现小于 5 的偶数点”，事件 B 表示“出现小于 5 的点数”，则一次试验中，事件
A∪ B ( B 表示事件 B 的对立事件)发生的概率为
参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三
天参加活动的概率为
1 A.15
√B.15
1 C.4
1 D.2
解析 由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为： 第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况， ∴所求概率 P＝C436··AA3333＝15.故选 B.
6.抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数
跟踪训练1 (1)袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，给出下列
四组事件：①“恰有1个白球”和“全是白球”；②“至少有1个白球”
和“全是黑球”；③“至少有1个白球”和“至少有2个白球”；④“至
少有1个白球”和“至少有1个黑球”.在上述每组事件中，互为对峙事
件的是 A.①
√B.②
C.②③
D.①④
命题点3 互斥事件与对峙事件的概率 例3 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.记1张 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)1张奖券的中奖概率；
解 设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，
解析 根据互斥和对峙事件的定义知，B，C都不是互斥事件； D不但是互斥事件而且是对峙事件； 只有A是互斥事件但不是对峙事件.
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对峙事件是
A.恰有一次击中 C.三次都击中
B.三次都没击中
√D.至多击中一次
解析 根据题意，一个人连续射击三次， 事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件， 其对峙事件为“一次都没有击中和击中一次”， 即“至多击中一次”.
2
1
是3的倍数”，则P(A∪B)＝___3__，P(A∩B)＝___6__.
解析 由题意知，事件A表示“出现的是1点，3点或5点”； 事件B表示“出现的是3点或6点”. 所以事件A∪B表示“出现的是1点，3点，5点或6点”，包含4个基本事件； 事件A∩B表示“出现的是3点”，包含1个基本事件. 又抛掷一枚骰子的结果有6种， 所以 P(A∪B)＝46＝23，P(A∩B)＝16.
第十章 计数原理、概率、随机变量及其散布
考试要求
1.了解随机事件产生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义 及频率与概率的区分.
2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 3.理解古典概型及其概率计算公式. 4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件产生的概率.
内容 索引
主干梳理 基础落实
题型突破 核心探究
1 4.甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则甲赢的概率为__3___. 解析 设平局(用△表示)为事件A，甲赢(用⊙表示)为事件B，乙赢(用※ 表示)为事件C.容易得到如图.
甲赢含 3 个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝39＝13.
题组三 易错自纠
5.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人
解析 ①互斥但不对峙； ②互为对峙事件， ③不是互斥事件， ④不是互斥事件.
(2)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查， 其结果如下表：
本科 研究生 合计
35岁以下 40
30
70
35～50岁 27
13
40
50岁以上 8
2
10
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是 A.该教职工具有本科学历的概率低于60% B.该教职工具有研究生学历的概率超过50% C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%
4.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：
(1)实验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ；
(2)每个基本事件出现的可能性 相等 .
5.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数
P(A)＝ 基本事件的总数
.
微思考
1.随机事件A产生的频率与概率有何区分与联系？ 提示 随机事件A产生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常 数，但在大量随机实验中，事件A产生的频率稳定在事件A产生的概率附近. 2.随机事件A，B互斥与对峙有何区分与联系？ 提示 当随机事件A，B互斥时，不一定对峙；当随机事件A，B对峙时， 一定互斥.也即两事件互斥是两事件对峙的必要不充分条件.
√D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%
解析 A 中，该教职工具有本科学历的概率 P＝17250＝58＝62.5%>60%，故 错误； B 中，该教职工具有研究生学历的概率 P＝14250＝38＝37.5%<50%，故错误；
C 中，该教职工的年龄在 50 岁以上的概率 P＝11200＝112≈8.3%<10%，故 错误；
放回，直到取出红球”是古典概型.( × )
题组二 教材改编
2.下列事件中，不是随机事件的是
√A.长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形
B.经过有信号灯的路口，遇上红灯 C.下周六是晴天 D.一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上
3.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
(3)求复杂互斥事件的概率的两种方法：①将所求事件转化成几个彼此互 斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率.②若将一个较 复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对峙面 的分类较少，可考虑先求其对峙事件的概率，即运用“正难则反”的思 想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.
题型突破 核心探究
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 随机事件
多维探究
命题点1 随机事件的关系 例1 (1)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件 是互斥事件但不是对峙事件的是
√A.恰好有1件次品和恰好有2件次品
B.至少有1件次品和全是次品 C.至少有1件正品和至少有1件次品 D.至少有1件次品和全是正品
则该射手在一次射击中不够8环的概率为
A.0.9
B.0.3
C.0.6
√D.0.4
解析 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A， 则事件 A 的对立事件 A 是“该射手在一次射击中不小于 8 环”. ∵事件 A 包括射中 10 环，9 环，8 环，这三个事件是互斥的， ∴P( A )＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6， ∴P(A)＝1－P( A )＝1－0.6＝0.4， 即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.
天数
2
16
36
25
7
4
解 这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25， 由表中数据可知，最高气温低于 25 的频率为2＋1960＋36＝0.6. 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸 奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在大量重复实验中，概率是频率的稳定值.( √ ) (2)两个事件的和事件是指两个事件都得产生.( × )
(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这
三个结果是等可能事件.( × )
(4)实验“口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，视察颜色后