山东省青岛市第一中学2025届高三上学期第一次模块考试数学试卷

山东省青岛市第一中学2025届高三上学期第一次模块考试数学
试卷
一、单选题
1．已知集合{12},{1}A x
x B x x a =<<=<<∣∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．()
2,+∞B ．(]
1,2C ．(]
,2-∞D ．[)2,+∞2．已知直线1:210l x ay +-=和直线2:(31)10l a x ay --+=，则“1
6
a =”是“12l l ∥”的（）
A ．充分且不必要条件
B ．必要且不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知向量,,a b c ，满足1a = ，2b = ，3c = ，π
,,3
a b a b c =+= ，则a b + 在c 方向上
的投影向量为（）
A B ．143
c
C D ．76
c
4．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆台的底面半径分别是1r 和2r ，且212,10r r AD ==，圆台的侧面积为150π，则该圆台的体积为（
）
A
B ．
3
C ．
3
D ．5．函数2e ()e 1
x
x x f x =+的大致图象为（
）
A ．
B ．
C
．D ．
6．已知等差数列{}n a 的公差小于0，前n 项和为n S ，若72713
1
a a a +=-，844S =，则n S 的最大值为（
）
A ．45
B ．52
C ．60
D ．90
7．设A 、B 、C 是函数()()sin 0f x x ωω=>与函数()()5cos 06g x x πωω⎛⎫
=-> ⎪⎝⎭
的图象连续相邻的三个交点，若ABC V 是锐角三角形，则ω的取值范围是（）
A
．⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
B
．,3∞⎫
+⎪⎪⎝⎭
C
．⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D
．,2∞⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
8．已知正三棱锥A BCD -
的外接球为球,6,O AB BC ==E 为BD 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（）
A ．21π,12π4⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
B ．27π,12π4⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C ．[]
21π,48πD ．[]
27π,48π二、多选题
9．已知0a >，0b >，3a b +=，则（）A ．ab 的最大值为
94
B
C ．3b b
a b
++的最小值为4
D ．22
11
a b a b +
++的最小值为9510．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2,MN 为正方体1111ABCD A B C D -内切球O 的直径，点P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上一动点，则下列说法正确的是（
）
A ．当P 为BC 中点时，1A
B 与DP
所成角余弦值为5
B ．当P ∈面1114
,3
P ACD BCC B V -=
时，点P
的轨迹长度为C ．PM PN ⋅
的取值范围为[]
0,2D ．AM 与1AC 所成角的范围为π0,3⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
11．已知函数()3
2f x x ax =-+，则下列说法正确的是（
）
A ．点0,2是曲线=的对称中心
B ．当1a =时，函数()f x 有3个零点
C ．若函数()f x 有两个零点，则3a =
D ．过坐标原点可以作曲线=三条切线
三、填空题
12．已知i,,R z x y x y =+∈，i 是虚数单位，复数
i 1i
z
+-是实数．则z 的最小值为.
13．已知直线(0)y kx k =≠与曲线4323y x x =-相切，则k =．
14．设数列{}n a 满足11a =，2
2a
=，()
*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨
⎩为奇数
为偶数
，令
()22221πlog sin 2n n n b a a -⎛
⎫=⋅⋅ ⎪⎝
⎭，则数列{}n b 的前100项和为
．
四、解答题
15．已知函数()()23ln 132
f x ax x a x =-+-，其中a ∈R ．(1)若1
2
x =
是函数()f x 的极值点，求a 的值；(2)若0a <，讨论函数()f x 的单调性．
16．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 2
A C
a b A +=．(1)求B ；
(2)若ABC V
为锐角三角形，且b =，求ABC V 周长的取值范围．
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面,ABCD ABC
是边长为2AD =，23
ADC ∠=
π．
(1)证明：平面PCD ⊥平面PBC ；
(2)若平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为
21
7
，求PC 的长．18．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2
434a a =，等差数
列数列{}n b 的前n 项和244,6,10n S b b S +==．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：(2)设{}*252123,,n n n n n n b d a n d b b +++=
∈N 的前n 项和n T ，求证：1
3
n T <．
19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数
m ，n ，我们定义函数()f x 在0x =处的[,]m n 阶帕德近似为011()1m
m n
n a a x a x R x b x b x +++=+++ ，该函
数满足()()
(0)(0),(0)(0),(0)(0),,(0)(0)m n m n f R f R f R f R ++''''''====L ．
注：[][](3)()(1)
()(),()(),,()()-''''''''⎡⎤===⎣⎦
n n f x f x f x f x f x f x L ．设函数()x f x e =在0x =处的[0,1]阶帕德近似为()R x ．(1)求()R x 的解析式；
(2)证明：当1x <时，()()≤f x R x ；
(3)设函数21
()e 1=-
-+x g x x kx
，若0x =是()g x 的极大值点，求k 的取值范围．。