人教版数学九年级上册用列举法求概率画树状图

一个因素中有2种 第一个因素 当试验至少三步（或三个因素）时,用树形图法方便.
∴ P(恰有两个数字相同)= 当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列表法就不方便了.
A
B
可能情况;第二个 (2) P(两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上)
(课本P137/练习)
因素中有3种可能 你认为她的想法对吗，为什么？ 第二个 的情况;第三个因
2022年5月9日星期一
练习：小明和小岗用如图两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别 旋转两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分，当所转 到的数字之积为偶数时，小岗得1分，这个游戏公平吗？若公平， 说明理由；若不公平，如何修改规则才公平？
解：列表得：
(2) (1)
1
2
3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
1
2
31
2
3
素中有2种可能的
情况,
第三个 a b a b a b a b a b a b
则其树形图如图.
n=2×3×2=12
练习：小明和小岗用如图两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别 旋转两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明得2分，当所转 到的数字之积为偶数时，小岗得1分，这个游戏公平吗？若公平， 说明理由；若不公平，如何修改规则才公平？
(1)三辆车全部继续直行; (2)两辆车向右转,一辆车向左转; (3)至少有两辆车向左转.
答案:
2. (1)
1 27
(2)
1 9
(3)
7 27
解：画树形图如下：
第
左
直
一
辆
第
二左 直 右 左直 右
辆
右 左直 右
第
三 左直右 左直右
左直右
左直右 左直右
辆
左直右
左直右 左直右
左直右
共有27种行驶方向
(1)P(全部继续直行1） 27
能的结果有12种,它们出现的 可能性相等.
取球试验

甲A
B
(1)只有1个元音字母结果有5个 乙 C D E C D E
∴ P(一个元音)= 5 12
丙H I H I H I H IH I H I
∴ P(两个元音)=
142=
1 3
(2)全是辅音字母的结果有2个
∴ P(三B个元音)= 1 D E
A
12 C
1 3
试一试：一个家庭有三个孩子，若一个
孩子是男孩还是女孩的可能性相同．
(1)求这个家庭的3个孩子都是男孩的概率；
(2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概
率；(3)求这个家庭至少有一个男孩的概
率．
解:
(1)这个家庭的3个孩子都是男孩的概率为 1/8;
(2)这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率
为3/8;
能性务必相同。
利用树形图或表格可以清晰地表示出某 个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方 便地求出某些事件发生的概率.
当试验包含两步（或两个因素）时,用列 表法比较方便,当然,此时也可以用树形图法;
当试验至少三步（或三个因素）时,用树 形图法方便.
思考2:
甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别 写有字母A和B;乙口袋中装有3个相同的小 球,它们分别写有字母C.D和E;丙口袋中装 有2个相同的小球,它们分别写有字母H和I, 从3个口袋中各随机地取出1个小球.
第25章概率初步
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而能够 配成紫色的结果只有一种： （红，蓝），故游戏者获胜的概率为1∕9 。
25.2.2用树形图求概率 用树形图可以清晰地表示出某个事件所有可能出现的结果，从而使我们较容易求简单事件的概率.
∴ P(恰有一个空盒)= (2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率； (2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率； (1)三辆车全部继续直行; 把3个不同的球任意投入3个不同的盒子内(每盒装球不限),计算: (1)无空盒的概率; (2)恰有一个空盒的概率. (1)求这个家庭的3个孩子都是男孩的概率； (1)只有1个元音字母结果有5个 (1) P(三枚硬币全部正面朝上)
解: 由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出
现的可能性相等. (1)无空盒的结果有6个
∴
P(无空盒)=
267=
2 9
(2)恰有一个空盒的结果有
18个
∴
P(恰有一个空盒)=1287=
2 3
例题 例3.甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢?
他们决定用 “石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时 三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手势中的一 种,规定“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布” 胜“石头”. 问一次比赛能淘汰一人的概率是多少?
解: 画树形图如下： 第①枚
正
反
第②枚 正 反 正 反
由树形图可知, 所有可能共8种.
第③枚 正 反 正 反 正 反 正反
(1) P(三枚硬币全部正面朝上)
=
1 8
(2) P(两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上)
=
3 8
(3) P(至少有两枚硬币正面朝上)
=
4 8
=
1 2
树形图
当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列 表法就不方便了.为了不重不漏地列出所有可能的结果, 通常采用“树形图”.
∴
P(恰有两个数字相同)=
18 27
=
2 3
练习
4.把3个不同的球任意投入3个不同的盒子内(每盒装球
不限),计算: (1)无空盒的概率; (2)恰有一个空盒的概率. 投球开始
球①
盒1
盒2
盒3
球② 1 2 3 1 2 3 1 2 3
球③ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 (2,1) (2,2) (2,3)
2
所有的结果有6种，则P（积为奇数）=
1
，
P（积为偶数）= 4 2
63
小明的积分为
1
6
2
2
3
3
3
2
，小岗的积分为 3
1
2 3
因此，游戏对双方公平。
复习当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现
的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可 能的结果,通常采用列表法.
∴ P(三个辅音I)= H
2 12
=
1 6
练习
3. 用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数
字的概率.
组数开始
百位
1
2
3
十位 1 2 3 1 2 3 1 2 3
个位 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
解由: 树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出现 的可能性相等. 其中恰有2个数字相同的结果有18个.
灰
绿 （灰，绿） 黄 （灰，黄） 蓝 （白，蓝）
想法对吗， 为什么？
开始 白
绿 （白，绿）
黄 （白，黄
红
绿）蓝
（红，蓝） （红，绿）
黄 （红，黄）
用树状图或列表
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，法而求能概率时，各
够 配成紫色的结果只有一种： （红，蓝），故种游结戏果出现的可
者获胜的概率为1∕9 。
解：列表得：
二一
1
2
1
(1,1)
(2,1)
2
(1,2)
(2,2)
3
(1,3)
(2,3)
所有的结果有6种，则P（积为奇数）= 2 1 ，
P（积为偶数）=
4 6
小明的积分为 1 2
3
2 3
2
63
3
2
，小岗的积分为 3
1
2 3
本题能否用 树形图来表 示呢？
因此，游戏对双方公平。
想一想
(1) 列表法和树形图法的优点是什么? (2)什么时候使用“列表法”方便?什么时候使 用“树形图法”方便?
(3)这个家庭至少有一个男孩的概率为7/8.
点拔:
当一次试验要涉及3个或更多的因素时, 列表就不方便了,为不重不漏地列出所 有可能的结果,通常采用树形图.
用树形图可以清晰地表示出某个事件 所有可能出现的结果，从而使我们较 容易求简单事件的概率.
再见
练习 (课本P137/练习)
2.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向 左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,当有三辆 汽车经过这个十字路口时,求下列事件的概率:
树形图的画法: 如一个试验 (2) P(两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上)
(2) P(两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上)
一个试验
中涉及3个因数,第 如一个试验中涉及3个因数,第一个因素中有2种可能情况;第二个因素中有3种可能的情况;第三个因素中有2种可能的情况,
用树形图可以清晰地表示出某个事件所有可能出现的结果，从而使我们较容易求简单事件的概率.
游戏开始
甲
石
剪
布
丙石 剪 布 石 剪 布 石 剪 布
乙 石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布
解: 由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪”
“剪剪布” “布布石”三由类树. 形图可以看出,游戏的结果
有27种,它们出现的可能性相等.而满足条件(记为事件A)
的结果有9种
∴
P(A)=297=
注意：
用树状图和列表的方法求概率
(2)取出的3个小球上全是辅音字母
的前提: 例1 同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率:
例3. (1) P(三枚硬币全部正面朝上) ∴ P(三个辅音)= (1) 三枚硬币全部正面朝上; 当试验包含两步（或两个因素）时,用列表法比较方便,当然,此时也可以用树形图法;
各种结果出现的可能 蓝 （白，蓝）
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
另一 个因素 所包含 的可能 情况
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
当一次试 验中涉及3个 因素或更多 的因素时,怎 么办?
在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个 数m,最后代入公式计算.
例1 同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率: (1) 三枚硬币全部正面朝上; (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上; (3) 至少有两枚硬币正面朝上.
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表法. ∴ P(三个元音)=
性务必相同.
例如
数学病院
用下图所示的转盘进行“配紫色” 游戏，游戏者获胜的概率是多少？
刘华的思考过程如下：
随机转动两个转盘，所有可能出现的结果如下： 蓝 （灰，蓝）
你认为她的
B
D E
I
A
C
H
甲
乙
丙
(1)取出的3个小球上,恰好有1个,2个 和3个元音字母的概率分别是多少?
(2)取出的3个小球上全是辅音字母 的概率是多少?
B
D E
I
A
C
H
甲
乙
丙
例题
(1)取出的3个小球上,恰好有1个,2个和3个元音字母 的概率分别是多少?
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少?
解:由树形图可以看出,所有可