北京玉渊潭中学2020年高一数学理期末试卷含解析

北京玉渊潭中学2020年高一数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的单调递增区间是（）
A． B． C. D.
参考答案：
A
略
2. 已知两直线，.若，则m的值为
（）
A．0 B．0或4 C.-1或D．
参考答案：
A
3. 已知数列的前四项分别为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列的通项公式的有（）
①②
③
④⑤
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
参考答案：
C
略
4. 要得到y=sin的图象，只需将y=cos（﹣）的图象上的所有点（）
A．向右平移B．向左平移C．向左平移D．向右平移
参考答案：
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将y=cos（﹣）的图象上的所有点向右平移个单位，
可得y=cos（﹣）=cos（﹣）=sin的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
5. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
（A）48 （B）32+8（C）48+8（D）80
参考答案：
C
6. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且B为锐角，若，
，，则b=（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
利用正弦定理化简，再利用三角形面积公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案。

【详解】由于，有正弦定理可得：，即
由于在中，，，所以，
联立，解得：，
由于为锐角，且，所以
所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）
故答案选D
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题。

8. 在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当
时，，已知函数，则满足
的实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
当时，；
当时，；
所以，
易知，在单调递增，在单调递增，
且时，，时，，
则在上单调递增，
所以得：，解得，故选C。

9. 在等比数列｛a n｝中，a1＝1，a10＝3，则a4a5a6a7＝
A. B. 9 C.
27 D. 81
参考答案：
B
10. 当时，则有（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象过定点A，若点A也在函数f（x）
=2x+b的图象上，则f（log23）= ．
参考答案：
﹣1
【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．
【分析】先利用函数y=log a（x+3）﹣1的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数函数f（x）=2x+b式中求出b，最后即可求出相应的函数值f（log23）．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（2，0），
将x=2，y=0代入y=2x+b得：
22+b=0，∴b=﹣4，
∴f（x）=2x﹣4，
则f（log23）=﹣4=﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】本题考查对数函数、指数函数的图象的图象与性质，考查数形结合的数学思想，属于基础题．
12. 函数的单调增区间是．
参考答案：
［2，+∞）
13. 已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为▲．
参考答案：
；
14. 已知函数是奇函数，且当时，，则的值
是.
参考答案：
15. 已知函数，则______．
参考答案：
1
16. 计算_____________。

参考答案：
2
略
17. 函数f（x）=在区间[1，4]上的最大值为最小值为．
参考答案：
，．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】判断函数f（x）在[1，4]为增函数，即可得到f（x）的最值．
【解答】解：函数f（x）==2﹣，
即有f（x）在[1，4]上递增，
f（1）取得最小值，且为，f（4）取得最大值，且为．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？(结论保留根号形式)
参考答案：
解：如图，连结，由已知，，
，又，
是等边三角形，
，
由已知，，
，
在中，由余弦定理，
．．
因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）
答：乙船每小时航行海里．
19. （本小题满分14分）
如图，已知直线，直线以及上一点
．
（Ⅰ）求圆心M在上且与直线相切于点的圆⊙M的方程．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下；若直线l1分别与直线l2 、圆⊙依次相交于A、B、C三点，利用代数法验证：.
参考答案：
（本小题满分14分）
本题主要考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和基本解题能力。

【解】（Ⅰ）设圆心为，半径为，依题意，
. ………………2分
设直线的斜率，过两点的直线斜率，因，
故，
∴，……4分
解得. .……6分
所求圆的方程为.……7分
（Ⅱ）联立则A
则…….……9分
圆心，
…….……13分
所以得到验证 . …….………….……14分
略
20. （本小题满分 13 分）已知圆，直线过定点 A (1，0)．（1）若与圆C相切，求的方程；
（2）若的倾斜角为，与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；（3）若与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时的直线方程．
参考答案：
(1) 解：①若直线的斜率不存在，则直线，符合题意．…………………1分
②若直线斜率存在，设直线为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，即：，
解之
得.
所求直线方程是，或．…………………………………… 3分(2) 直线方程为y=x-1.
∵PQ⊥CM,
∴CM方程为y－4=－(x－3),即x＋y－7＝0.
∵
∴
∴M点坐标（4，
3）． (6)
(3) 直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,设直线方程为，
则圆
积
∴当d＝时，S取得最小值2. …………………………………9分
∴直线方程为y＝x－1,或y＝7x－7. …………………………………12分
21. （12分）已知二次函数的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求的解析式；
(2)若在区间[]上不单调，求实数的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，的图象恒在的图象上方，试确定实数
的取值范围．
参考答案：
(1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)关于x＝1对称，又f(x)的最小值为1，故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，
又f(0)＝3得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)要使函数在区间[2a，a＋1]上不单调，
则2a<1<a＋1，则0<a<.
(3)由已知，得
2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在x∈[－1,1]时恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在x∈[－1,1]时恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，
则只要g(x)min>0即可，
∵x∈[－1,1]，∴g(x)min＝g(1)＝－1－m，
∴－1－m>0，即m<－1.
故实数m的取值范围是{m|m<－1}．
22. （12分）已知函数，求
（1）的最小正周期；
（2）在区间上的最大值和最小值。

参考答案：
化简得
（1）的最小正周期为
（2）由得
∴ 当即时当即时。