城区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(3)

城区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． （m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）
C ．
D ．
2． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）
A ．
πB ．2
π
C ．4
π
D ．
π
3． 一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）A ．3
B ．
C ．2
D ．6
4． “a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5． 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且
)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 21F F 、2F Q P ,，若，，则双曲线离心率的取值范围为（ ）.
1PF PQ ⊥||||1PF PQ λ=3
4
125≤≤λe A. B. C. D. ]210,1(]537,1(210,537[),2
10[+∞第Ⅱ卷（非选择题，共100分）6
． 已知向量
，
，其中
．则“
”是“
”成立的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件7． 经过点且在两轴上截距相等的直线是（ ）
()1,1M A ． B ．20x y +-=10
x y +-=C ．或
D ．或1x =1y =20x y +-=0
x y -=8． 下列函数中哪个与函数y=x 相等（ ）
A ．y=（）2
B ．y=
C ．y=
D ．y=
9． 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为
时，则输入的值为（ ）2
1
A ．
B ．
C ．或
D ．或21-1-21-10
10．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段
间隔为（ ）1111]A ．
B ．
C ．
D ．10512030
11．某几何体的三视图如图所示（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（
）
A ．20+2π
B ．20+3π
C ．24+3π
D ．24+3π
12．若圆心坐标为的圆在直线上截得的弦长为 ）
()2,1-10x y --=A ． B ． ()()2
2
210x y -++=()()22
214x y -++=C ．
D ．()()2
2
218x y -++=()()2
2
2116
x y -++=二、填空题
13．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________．14．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则数列的通项a n = ．
15．（﹣）0+[（﹣2）3]
= ．
16．若x ，y 满足线性约束条件
，则z=2x+4y 的最大值为 ．
17．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
18．已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图示． x ﹣1045f （x ）
1
2
2
1
下列关于f （x ）的命题：
①函数f （x ）的极大值点为0，4；②函数f （x ）在[0，2]上是减函数；
③如果当x ∈[﹣1，t]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 有4个零点；
⑤函数y=f （x ）﹣a 的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．
三、解答题
19．已知f （）=﹣x ﹣1．
（1）求f （x ）；
（2）求f （x ）在区间[2，6]上的最大值和最小值．　
20．（本小题满分13分）设，数列满足：，．1()1f x x =
+{}n a 112
a =1(),n n a f a n N *
+=∈
（Ⅰ）若为方程的两个不相等的实根，证明：数列为等比数列；
12,λλ()f x x =12n n
a a λλ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭（Ⅱ）证明：存在实数，使得对，．
m n N *
∀∈2121222n n n n a a m a a -++<<<< ）
21．（本小题满分12分）
数列满足：，，且.{}n b 122n n b b +=+1n n n b a a +=-122,4a a ==（1）求数列的通项公式；{}n b （2）求数列的前项和.
{}n a n S 22．已知正项数列{a n }的前n 项的和为S n ，满足4S n =（a n +1）2．（Ⅰ）求数列{a n }通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足b n =
（n ∈N *），求证：b 1+b 2+…+b n ＜．
23．某公司对新研发的一种产品进行合理定价，且销量与单价具有相关关系，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（单位：元）88.28.48.68.89
销量y（单位：万件）908483807568
（1）现有三条y对x的回归直线方程：=﹣10x+170；=﹣20x+250；=﹣15x+210；根据所学的统计学知识，选择一条合理的回归直线，并说明理由．
（2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（1）中选出的回归直线方程，且该产品的成本是每件5元，为使公司获得最大利润，该产品的单价应定多少元？（利润=销售收入﹣成本）
24．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数．若p∨q 为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．
城区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，
即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立
若m+1=0，显然不成立
若m+1≠0，则
解得a．
故选C．
【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．
2．【答案】C
【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为：cm；
已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，
所以球的体积为：=4π
故选：C．
3．【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，
∴c=2，a=3，
∴b=
∴2b=2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
4．【答案】A
【解析】解：由“a＞b，c＞0”能推出“ac＞bc”，是充分条件，
由“ac＞bc”推不出“a＞b，c＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac＞bc，但是a＜b，c＜0，故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题
5．【答案】C
【解析】如图，由双曲线的定义知，，，两式相加得
a PF PF 2||||21=-a QF QF 2||||21=- ，又，，
， a PQ QF PF 4||||||11=-+||||1PF PQ λ=1PF PQ ⊥||1||12
1PF QF λ+=∴ ，
①， a PF PQ QF PF 4||)11(||||||1211=-++=-+∴λλλλ-++=2
1114||a
PF
②，在
中，，将①②代入得
λ
λλλ-+++-+=
∴22211)11(2||a PF 12
PF F ∆2
212221||||||F F PF PF =+ ，化简得：+-++2
2
)114(
λ
λa
2
22
2411)11(2(
c a =-+++-+λ
λλλ+
-++2
2
)
11(4
λλ ，令，易知在上单调递减，故
2
2
2
2
2)
11()11(e =-+++-+λλλλt =-++λλ2
11λλ-++=2
11y ]
34
,125[
，，，故答案 选
35,34[∈t 2
22222
84)2(4t t t t t t e +-=-+=∴25,2537[21411(82∈+-=t 210,537[∈e C.
6． 【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若，则成立；
反过来，若，则或
所以“”是“
”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A 7． 【答案】D 【解析】
考
点：直线的方程.8． 【答案】B
【解析】解：A ．函数的定义域为{x|x ≥0}，两个函数的定义域不同．B ．函数的定义域为R ，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．C ．函数的定义域为R ，y=|x|，对应关系不一致．
D ．函数的定义域为{x|x ≠0}，两个函数的定义域不同．故选B ．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．　
9． 【答案】D 【解析】
试题分析：程序是分段函数 ，当时，，解得，当时，，
⎩⎨⎧=x y x lg 20
0>≤x x 0≤x 212=x
1-=x 0>x 21lg =x 解得，所以输入的是或，故选D.
10=x 1-10考点：1.分段函数；2.程序框图.11111]10．【答案】D 【解析】
试题分析：分段间隔为，故选D.5030
1500
=考点：系统抽样11．【答案】B
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体（一个半圆柱与正方体的组合体），其底面面积S=2×2+=4+
，
底面周长C=2×3+
=6+π，高为2，
故柱体的侧面积为：（6+π）×2=12+2π，故柱体的全面积为：12+2π+2（4+）=20+3π，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．　
12．【答案】B 【解析】
考
点：圆的方程.1111]
二、填空题
13．【答案】
【解析】解析：由a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c ，知数列{a n }是以2为首项，公差为c 的等差数列，由S 10＝200得10×2＋×c ＝200，∴c ＝4.
10×92
答案：4
14．【答案】　2n ﹣1　．
【解析】解：∵a 1=1，a n+1=a n +2n ，∴a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=22，…
a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，
相加得：a n ﹣a 1=2+22+23+2…+2n ﹣1，a n =2n ﹣1，故答案为：2n ﹣1，　
15．【答案】 ．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．　
16．【答案】　38　．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即A（3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32，
故答案为：38
17．【答案】　x﹣y﹣2=0　．
【解析】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，
故答案为x﹣y﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
18．【答案】　①②⑤　．
【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；
因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；
由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，
根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，
综上正确的命题序号为①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）令t=，则x=，
∴f（t）=，
∴f（x）=（x≠1）…
（2）任取x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵2≤x1＜x2≤6，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，2（x2﹣x1）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）在[2，6]上单调递减，…
∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…
20．【答案】
【解析】解：证明：，∴，∴．2
()10f x x x x =⇔+-=2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩211222
11λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩∵， （3分）12111111112122222222111111n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+，，11120a a λλ-≠-120λλ≠∴数列为等比数列． （4分）12n n a a λλ
⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
（Ⅱ）证明：设，则．m =
()f m m =由及得，，∴．112a =111n n a a +=+223a =335a =130a a m <<<∵在上递减，∴，∴．∴，（8分）()f x (0,)+∞13()()()f a f a f m >>24a a m >>1342a a m a a <<<<下面用数学归纳法证明：当时，．n N *
∈2121222n n n n a a m a a -++<<<<①当时，命题成立． （9分）
1n =②假设当时命题成立，即，那么
n k =2121222k k k k a a m a a -++<<<<由在上递减得()f x (0,)+∞2121222()()()()()
k k k k f a f a f m f a f a -++>>>>∴2222321
k k k k a a m a a +++>>>>由得，∴，
2321k k m a a ++>>2321()()()k k f m f a f a ++<<2422k k m a a ++<<∴当时命题也成立， （12分）
1n k =+由①②知，对一切命题成立，即存在实数，使得对，.n N *∈m n N *
∀∈2121222n n n n a a m a a -++<<<<21．【答案】（1）；（2）．
12
2n n b +=-222(4)n n S n n +=-++【解析】试题分析：（1）已知递推公式，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比122n n b b +=+数列的通项公式可得，变形形式为；（2）由（1）可知，n b 12()n n b x b x ++=+122(2)n n n n a a b n --==-≥这是数列的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由{}n a 112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+ 求得．
211()a a a +-+试题解析：（1），∵
，112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+1222
n n b b ++=+又，121224b a a +=-+=
∴.2312(21)(2222)22222221
n n
n n a n n n +-=++++-+=-+=-- ∴.224(12)(22)2(4)122n n n n n S n n +-+=-=-++-考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式．22．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由4S n =（a n +1）2，
令n=1，得
，即a 1=1，
又4S n+1=（a n+1+1）2，∴
，整理得：（a n+1+a n ）（a n+1﹣a n ﹣2）=0．∵a n ＞0，∴a n+1﹣a n =2，则{a n }是等差数列，∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n ==，
则b 1+b 2+…+b n =
==
．　
23．【答案】
【解析】（1）=（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，=（90+84+83+80+75+68）=80；∵（，）在回归直线上，
∴选择=﹣20x+250；
（2）利润w=（x﹣5）（﹣20x+250）=﹣20x2+350x﹣1250=﹣20（x﹣8.75）2+281.25，
∴当x=8.75元时，利润W最大为281.25（万元），
∴当单价定8.75元时，利润最大281.25（万元）．
24．【答案】
【解析】解：设g（x）=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，∴函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，
故△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2．
又∵函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，
∴3﹣2a＞1，得a＜1．
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
（1）若p真q假，则，得1≤a＜2；
（2）若p假q真，则，得a≤﹣2．
综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．。