变换群与几何学

一、二次曲线的代数定义
注3. 由对偶原则, 我们一般仅讨论二阶曲线, 其结论均可对偶 地适用于二级曲线. 定义4.2 如果S可以(不可以)分解为两个一次因式的乘积, 则 称S=0为退化(非退化)二阶曲线. 对偶地，定义退化(非退化)二级曲线. 命题 S=0退化|aij|=0； T=0退化|bij|=0.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
二、二次曲线的几何结构
定理4.1 不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成一 条经过此二线束束心的二阶曲线. 注 对偶地, 有定理4.1'. 证明 设O(p), O'(p')为平面上两个射影线束, 并取定射影坐标系. 在O(p)中取定相异两直线l1: A=0, l2: B=0, 即 l1 : A a1 x1 a2 x2 a3 x3 0; l2 : B b1 x1 b2 x2 b3 x3 0. 则O(p)可以表示为A+B=0. 同理O'(p')可以表为A'+'B'=0. 设两个射影线束的对应式为 a 'b c 'd 0 (ad bc 0) 设则对应直线的交点为P(x1,x2,x3), 则P的坐标满足 A B 0 消去, ', 得到交点P的坐标 A' ' B ' 0 所满足的齐次方程为 a 'b c ' d 0
仿射不变性
单比
第三章 变换群与几何学
五、几种几何学的比较
3、欧氏几何学 欧氏几何——仿射几何的子几何. 欧氏几何——首先包括仿 射几何的所有研究内容. 定理3.12 正交变换保持两点间的距离不变.
注：距离是最基本的正交不变性. 由此, 一切刚体性质都是欧 氏几何的研究对象.
结论：子几何学的研究内容比原几何学丰富. 4、判定一个几何性质(量)是某种几何学的研究对象 检验其是否可以由该几何学的基本不变性在这个几何空间中 经过演绎推理得到(即能够证明其仅与某几何学的基本不变性有 关).
的所有直线[u1, u2, u3]的集合称 为一条二级曲线. 其中(bij)为三 阶实对称阵, 秩(bij)≧1.
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型. 从代数上看, S=0, T=0为相同的代数对象；从几何上看, 是对同一几何对象的不同描 述. 统称为二次曲线. 注2. 在需要时，S=0, T=0均可写为矩阵格式. 比如
仿射几何——射影几何的以射影仿射几何为伴随子几何的 相对子几何学. 仿射几何——首先包括射影几何的所有研究内容.
定理3.10 仿射变换保持平行性不变. 注：平行性是最基本的仿射不变性.
第三章 变换群与几何学
五、几种几何学的比较
2、仿射几何学 定义3.8 设P1, P2为通常直线上的两个相异的点, P为该直线上 任一通常点. 定义 P 1P (P (3.6) 1P 2 P) P2 P 为P1, P2 , P的简单比, 或称单比. 称P1, P2为基点, P为分点. 由(P1P2P)=(P1P2, PP∞)立即可见 定理3.11 单比是仿射不变量. 注：单比是最基本的仿射不变量. 平行性 平行线段的比, 两三角形面积之比, 线段的中点, 三角形的重心, G下被分成 若干等价类, 属于同一等价类的 图形具有相同的G性质(G给S赋 予空间结构) 几何学(S, G)
注：显然, 在S上给定不同的变换群G, 则得到不同的几何学.
第三章 变换群与几何学
四、Klein变换群观点
射影几何
( P, K )

射影仿射几何
( P, KA)

x' a1 x b1 y c1 y ' a2 x b2 y c2 | A | a1 b1 a2 b2 0 (3.3)
作用于一般仿射平面上. 若(3.3)中矩阵A为正交阵, 则为正交变换, 其齐次坐标表达式 称为射影正交变换.
二、群与变换群
第三章 变换群与几何学
A M


在仿射平面PA上
第三章 变换群与几何学
四、Klein变换群观点
定义3.6 设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群.称S为空 间, S的元素称为点, S的子集称为图形, G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变 的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,G).
A( M )
B( M ).
注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成, 则其上点 的地位平等, 以曲线上任意相异二点为束心与曲线上的点连线则 得到两个也生成此曲线的射影线束.
今日作业
P.97: 1, 2, 3
下周一再见！
射影欧氏几何
( P, KM )
( PA, A)
( PA, M )
仿射几何
欧氏几何

绝对子几何关系
相对子几何关系 伴随关系 变换群关系
K KA KM
绝对形： l∞=P\PA.
A M


第三章 变换群与几何学
五、几种几何学的比较
1、射影几何学
空间
射影平面P
射影变换群K
主变换群 研究内容
图形在射影变换下 的不变性质和数量
三、平面上的几个变换群
射影变换群K 射 K={平面上全体射影变换} 影 射影仿射变换群KA 平 KA={平面上全体射影仿射变换} 面 KM={平面上全体射影正交变换} 射影正交变换群KM 仿 射 平 面 A={平面上全体仿射变换} M={平面上全体正交变换} 仿射变换群A 正交变换群M
上述5个变换群之间显然有下列关系： 在射影平面P上 K KA KM
§ 4.1 二次曲线的射影定义
二、二次曲线的几何结构
: aAA'dBB'bAB'cA' B 0 (4.2)
显然, 这是关于(x1,x2,x3)的二次齐次方程, 为一个二阶曲线, 且两个 束心O, O'的坐标满足(4.2). 定理证毕.
注: 若已知两个射影线束A+B↔A'+'B'的对应式 a 'b c 'd 0 (ad bc 0) 则由此构成的二阶曲线的方程为(4.2). 例1 求由两个射影线束x1–x3=0, x2–x3=0(+=1)生成的二阶 曲线方程. 解 令 A x1 0, B x3 0; A' x2 0, B' x3 0. 利用定理4.1的证明, 此二射影线束A+ B↔A'+ B'生成的二阶曲线 的方程为(4.2)式.
定义4.1 坐标满足
S aij xi x j 0
i , j 1 3
定义4.1' 坐标满足
(4.1)
T bijui u j 0
i , j 1 3
(aij a ji )
(bij b ji )
(4.1' )
的所有点(x1, x2, x3)的集合称为 一条二阶曲线. 其中(aij)为三阶 实对称阵, 秩(aij)≧1.
a11 S ( x1 , x2 , x3 ) a12 a 13 a12 a22 a23 a13 x1 a23 x2 0, 或 S XAX ' 0. ( A A' , 秩( A) 1) x a33 3
§ 4.1 二次曲线的射影定义
由+ =1得a=0, b=c=1, d=–1, 代入(4.2), 得x1x3+x2x3–x32=0, 为退 化二阶曲线, 退化为两直线x3=0与x1+x2–x3=0.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
二、二次曲线的几何结构
定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O'(P)生成. 则在上 任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束
不可用对偶原则
主变换群
研究内容
仿射变换群A
图形在仿射变换下 的不变性质和数量
注：通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学.
第三章 变换群与几何学
五、几种几何学的比较
2、仿射几何学 空间 主变换群 仿射几何学 研究内容 绝对形 图形在仿射变换下 的不变性质和数量 无穷远直线 仿射平面PA 仿射变换群A
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第三章 变换群与几何学
一、二维射影变换的特例
1、仿射变换 保持l∞：x3=0不变的射影变换叫做射影仿射变换, 形如 x1' a11 x1 a12 x2 a13 x3 ' a33 A33 0, 0 (3.2) x2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 x ' a33 x3 3 作用于射影仿射平面(拓广平面上). 将(3.2)式化为非齐次, 去掉无穷远直线, 得仿射变换
基本射影不变性
同素性, 关联性
交比
在射影平面上做演绎推理、对偶变换 其余所有射影不变性
第三章 变换群与几何学
五、几种几何学的比较
2、仿射几何学 射影仿射几何学 可用对偶原则 空间 主变换群 射影仿射平面P 射影仿射变换群KA 图形在射影仿射变换 下的不变性质和数量
研究内容
空间
仿射平面PA
仿射几何学
第四章 二次曲线理论
本章是平面射影几何的精华, 也是最精彩的部分之一
二次曲线的定义 本 章 主 要 内 容
Pascal定理 配极变换 射影分类 仿射理论 二次曲线上的射影对应与对合 仿射分类 每一部分都有丰富的内容、深刻的内涵和重要的应用.
Brianchon定理
§ 4.1 二次曲线的射影定义
一、二次曲线的代数定义