圆内接四边形习题

圆内接四边形
一、引入新课
1. 如图 (1) ，△ ABC叫⊙ O的____________ 三角形，⊙ O叫△ ABC的_ ____ _圆。

2.如上图 (1), 若的度数为1000,则∠ BOC=_______,∠ A=__________.
3. 如图 (2) 四边形 ABCD中 , 若∠ B 与∠ 1 互补 ,AD 的延长线与DC所夹∠ 2=600 , 则∠ 1=___ , ∠ B=___.
A A A
D
D
O 1 2
O
E
B C B C B
C
图 1 图 2
图 3 二、研究交流
如图 (3), 四边形 ABCD的各极点都在⊙ O上 , 所以四边形 ABCD是⊙ O的 _____________四边形 ,
⊙O叫四边形 ABCD的 ________________ 圆 .
(1) 如图 3，在⊙ O的内接四边形 ABCD中，∠ A 与∠ C, ∠B 与∠ D分别是它的两组对角，
∠ A 所对的
弧是 _______________, ∠ C所对的弧是 ________________.
（ 2）∠ A 与∠ C 所对的两条弧的度数之和是 ________________ 度，由此你发现∠ A 与∠ C 有怎样的
数量关系 _______________ ，∠ B 与∠ D呢 _______________ 。

获取定理：________________________ ___________________.
（ 3）如右图，延长BC到点 E，获取∠ DCE, ∠ DCE是四边形 ABCD的一个
A
D 外角，∠ A 称∠ DCE的内对角，它两个的大小有什么关系___________.
获取推论：__________________ O
B C E
三、练一练（一）
1、四边形ABCD内接于⊙ O，则∠ A+∠ C=___________，∠ B+∠ADC=____________;
若∠ B=800，则∠ ADC=___________∠ CDE=___________(图1) 、四边形AB CD 内接于⊙ O，∠
BOD=100，则∠ BAD=___________，∠ BCD=___________(图 2)
3、梯形 ABCD 内接于⊙ O,AD∥ BC, ∠ B=750, 则∠ C=______________( 图 3)
1题图 2 题图 3 题图
4、四边形ABCD内接于⊙ O，∠ A: ∠C=1: 3 ，则∠ A=_______________,
5、圆内接平行四边形必为( )
A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.等腰梯形
6、、在⊙ O中，∠ CBD=30° ,∠ BDC=20° ,求∠ A
四、练习
1、已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠ B=30°，则∠ D= _____
2、已知四边形ABCD内接于⊙ O，且∠ A：∠ C=1： 2，则∠ BOD=
3、如图， AB是半圆 O的直径， C、D 是 AB 上两点，∠ ADC=120°，则∠．
度．
BAC的度数是度．
4、如图，在⊙O的内接四边
形
ABCD中，∠ BCD=110°，则∠BOD=度．
1 题图 3 题图 4 题图
5、如图，⊙ C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点 B，点 A 的坐标为（ 0，3），M是第三象限内
OB 上一点，∠ BMO=120°，则⊙ C的半径长为
6、如图，四边形ABCD是圆内接四边形， E 是 BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠ DCE的大小
是
7、如图，四边形ABCD内接于⊙ O，若∠ C=36°，则∠ A 的度数为
5 题图
8、圆内接四边形ABCD中，若
∠
6 题图
7 题图A：∠ B：∠ C=1： 2： 5，则∠ D 等于
9、如图，两圆订交于A，B 两点，小圆经过大圆的圆心O，点C， D 分别
在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为
10、如图，在△ ABC中，∠ C=60°，以 AB为直径的半圆O分别交 AC， BC于点 D， E，已知⊙ O的半径为 23．
（1）求证：△ CDE∽△ CBA；
（2）求 DE的长．
11、已知：如图，两个等圆⊙O1 和⊙ O2 订交于A， B 两点，经过点 A 的直线与两圆分别交于点C，点 D，经过点 B 的直线与两圆分别交于点E，点F．若CD∥ EF，
求证：
（1）四边形 EFDC是平行四边形；
（2）弧 CE = 弧 DF
牢固加深
一、选择题
1.以下关于圆内接四边形表达正确的有
①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边
形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫圆内接四边形.
个个个个
2.圆内接四边形 ABCD中，AD / / BC， AC与 BD交于点 E，在以下列图中全等三角形的对数为
对对对对
3. 圆内接四边形ABCD中，AB39, BC 25,CD 60, DA52 ,则圆的直径为
A D
C
B B
D
E
A
E
B
C C
D P
A
T2 T4 T5
4. 如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为 BD的垂直均分线，ACB 60o, AB a ，则CD
A.
3
a B.
3
a C.
1
a D. 1 a
3 2 2 3
5.圆内接四边形 ABCD中， BA与 CD的延长线交于点 P,AC 与 BD交于点 E, 则图中相似三角形有
对对对对
6. 如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB 2, BC 6, CD DA 4 ，则四边形ABCD面积为
A. 16
C.
32
D. 8 3
3 3
A
B D A
D
P C F
B E
C
C D O A O B
T6 T7 T12
7. 如图，在以 BC为直径的半圆上任取一点P, 过弧 BP的中点 A 作AD BC 于D.连接BP交AD于点 E, 交 AC于点 F, 则BE : EF
:1 :2 :1 D. 以上结论都不对
8. 直线x 3 y 7 0 与 kx y 2 0 与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k
二、填空题
9. 圆内接四边形 ABCD中，cosA cosB cosC cosD .
10. 三角形三边长为5,12,13, 则它的外接圆圆心到极点的距离为.
11. 圆内接四边形ABCD中，A: B : C 1: 2:3 ，则 D .
12. 如图， AB为半圆 O的直径， C、D 为半圆上的两点，BAC 20o，则ADC .
三、解答题
13. 如图，锐角三角形ABC中，A 60o，BC为圆O的直径，⊙O交AB、AC于D、E，求证：BC2DE .
A
D
E
B O C
14. 求证：在圆内接四边形ABCD中，AC BD AD BC AB CD .
15. 在等边三角形ABC外取一点P, 若PA PB PC ，求证：P、A、B、C四点共圆.
16. 如图，⊙ O的内接四边形 ABCD中，M为 CD中点， N 为 AB中点，AC BD于点 E，连接 ON、ME，
并延长 ME交 AB于点 F. 求证：MF AB .
D
M
E
A
O
C
N
F
B
17. 已知：以下列图，AB 10cm, BC 8cm, CD均分ACB .
(1)求 AC和 DB的长；
(2)求四边形 ACBD的面积 .
C
B
O
A
D
18. 在锐角三角形ABC中， AD是 BC边上的高，DE AB, DF AC , E, F 为垂足.
求证： E、 B、 C、 F 四点共圆 .
A
E
F
B
D
C
19. 如图，矩形ABCD中， AD=8,DC=6,在对角线AC上取一
点O,以OC为半径的圆
切
AD于
点
E, 交BC
于点F, 交CD于
点
G.
(1)求⊙ O的半径R；
(2) 设BFE, GED，请写出, ,90 o之间关系式，并证明.
A
E D
G
O
B C
F
( 参照答案 )
一、 选择题
1-5 BBCAB 6-8 DAB
二、填空题
9. 0 10.
13 11. 90o 12. 110o
2
三、解答题
13. 法一：
ABE
30o
在 Rt ABE 中，
AB
2AE ADE ∽ ACB
AD AE
DE 1
AC AB
BC
2
法二：连接 BE,
ABE
30 o
? 的度数为 60 o
DOE
DE
OD DE
14. 在 AC 上取点 E, 使 ADE
1,又 2
3
ADE ∽ BDC
AE BC
AE BD AD BC ①
AD BD
ADE 1 ADB
CDE
又 ABDACD 得 ABD ∽ ECD
AB
BD
即BD EC AB CD ②
EC CD
① +②即可
15. 延长 PC 至 D, 作
CADBAP ，并取 AD=AP ，
则 ADP
ABP
ABP
ACD
P 、 A 、 B 、 C 四点共圆
16. DE EC , DM MC EM DM
60o 即 ODE 为正
D
1 A
2
C
E
3
B
A
D
B
C
P
MDE
DEM
EAF
AEF
MDE
AEF
DEM
MEC
90o
17.(1) AC
6, BD 5 2
(2) S
四边形
ABCD
S
ACB
S
ADB 49
18. 法一：连接 EF, DE AB , DF AC AED AFD 90o 90o 180o
A、 E、 D、F 四点共圆DEF DAF BEF C
BED DEF C
90o DAF C 180o 法二： A 、 E、 D、 F 四点共圆DEF DAF
AEF 90o DEF 90o DAF C
19.(1) AEO∽ ADC OE AO R 10 R R 15
CD AC 6 10 4
(2) EFB EGC 90o。