船舶流体动力系数计算的TASAI方法与计算机实现

天津大学
硕士学位论文
船舶流体动力系数计算的TASAI方法与计算机实现
姓名：鲁晓光
申请学位级别：硕士
专业：船舶与海洋结构物设计制造
指导教师：唐友刚
20031201
中文摘要
船舶在波浪中的摇荡运动是船舶受到波浪扰动后的一个重要物理现象。

为求解船舶六个自由度的运动响应，必须计算船体不同横剖面的附加流体动力系数或附加转动惯量以及阻尼系数。

本文针对刘易斯剖面及采用保角变换，应用田才（Ｔａｓａｉ）的切片理论，建立计算横摇附加转动惯量、横荡和升沉附加流体质量以及三个自由度兴波阻尼系数的方法，并编制了相应的计算程序。

本文回顾了自上世纪中期以来船舶运动研究的发展历史，尤其是切片理论的发展历史及主要成果。

综述了田才（Ｔａｓａｉ）的切片理论，并详细推导了该理论计算横摇、横荡和升沉运动三个自由度的辐射流体动力系数的计算公式。

本文针对上述三个自由度的船舶运动，采用ＦＯＲＴＲＡＮ７７语言编制了辐射流体动力系数的计算机程序。

本程序按照结构化程序设计思想编制，结构清晰、可读性强，在计算方法的选择上，力求高速度和高效率。

考虑多种刘易斯剖面，以船形剖面尺寸和波浪频率为输入量，应用本文程序计算横摇、横荡和升沉等三个自由度的辐射流体动力系数，得到了三个自由度的辐射流体动力系数随频率的变化关系曲线。

本文所得计算结果与试验和其它方法所得的结果基本一致，证明本文开发的程序是正确可靠的。

本文最后计算了十三陵水库游艇的辐射流体动力系数，得到了游艇不同波浪频率时的横摇附加转动惯量、横荡和升沉流体附加质量以及横摇、横荡和升沉三个自由度的兴波阻尼系数。

本文程序的成功开发，为船舶在波浪中的运动计算奠定了基础。

关键词：船舶运动、切片理论、刘易斯剖面、流体附加质量、兴波阻尼系数
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
ｎｌｅｓｈｉｐｍｏｔｉｏｎｅｘｃｉｔｅｄｂｙｔｈｅｗａｖｅｓｉｓｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｈｙｓｉｃａｌｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ．Ｉｔｉｓｎｅｃｅｓｓａｒｙｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅａｄｄｗａｔｅｒｍａｓｓ，ａｄｄｒｏｔａｔｉｏｎｉｎｅｒｔｉａｍｏｍｅｍａｎｄｄａｍｐｉｎｇｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｉｎｏｒｄｅｒｔｏｇｅｔｔｈｅｓｈｉｐ’Ｓｍｏｔｉｏｎｏｆｓｉｘｆｒｅｅｄｏｍｄｅｇｒｅｅ．ｎｌｅＬｅｗｉｓｆｏｒｍａｎｄｔｈｅＴａｓａｉｓｔｒｉｐｔｈｅｏｒｙａｒｅａｄｏｐｔｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅａｄｄｒｏｌｌｉｎｅｒｔｉａｍｏｍｅｎｔ，ｔｈｅａｄｄｍａｓｓｏｆｓｗａｙａｎｄｈｅａｖｅａｓｗｅｌｌａｓｗａｖｅｄａｍｐｉｎｇｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ．１１１ｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｄｄｆｌｕｉｄｄｙｎａｍｉｃｓｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆｔｈｒｅｅｆｒｅｅｄｏｍｄｅｇｒｅｅｓｉｓｐｒｏｇｒａｍｆｏｒｔｈｅ
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ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ＳｈｉｐＭｏｔｉｏｎ，ＳｔｒｉｐＴｈｅｏｒｙ，ＬｅｗｉｓＦｏｒｍ，ＡｄｄＦｌｕｉｄＭａｓｓ，Ｗａｖｅ
ＭａｋｉｎｇＤａｍｐｉｎｇＣｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ．
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第一章绪论
船舶是在波浪环境中运营的，不可避免地要受到波浪的作用。

船舶在波浪中的摇荡运动是船舶受到波浪扰动后的一个重要物理现象。

它直接影响到船舶在波浪中的航速、甲板上浪和船体弯矩等其它物理现象。

严重的摇荡运动不仅会影响船舶的营运效率，甚至会造成结构毁损或倾覆失事。

因此，搞清楚船舶在波浪上产生摇荡运动的力学机理，为设计耐波性能良好的船舶提供可靠的依据，对保证船舶的安全性和运营的经济性都具有十分重要的意义。

在研究船舶运动的理论中，切片理论占有重要地位。

本章回顾了自上世纪中期以来切片理论的发展历史及主要成果，介绍了计算水动力系数的各种方法。

最后简要介绍了本文所做的工作。

１．１切片理论发展历史的回顾
自从傅汝德（Ｆｒｏｕｄｃ）和克雷洛夫（Ｋｒｙｌｏｖ）提出关于船舶横摇和纵摇运动的古典运动理论以来，许多研究工作者致力于发展和完善船舶在波浪上的运动理论，作了大量的工作。

在傅汝德（Ｆｒｏｕｄｅ）和克雷洛夫（Ｋｒｙｌｏｖ）的理论中，只考虑了入射波浪对船体诱导的干扰力，不考虑船体的存在和运动对流场的影响，这部分仅由入射波引起的波浪干扰力现在即被称作傅汝德一克雷洛夫力。

从上个世纪四十年代起，人们开始致力于船舶摇荡流体动力理论的建立，试图通过速度势的线性边值问题的建立和求解，把船舶的存在和运动对入射波流场的流体动力影响考虑进去，从而更加合理地来研究船舶的摇荡运动。

其中值得一提的是哈斯金德（Ｈａｓｋｉｎｄ）所做的研究【ｌ】，他应用格林定理构造由于船体存在和运动引起的扰动速度势，并推导了点源速度势的格林函数表达式。

按边界条件的提法，最终得到了求解速度势的积分方程，并用窄船假定进一步解出此方程。

哈斯金德的一个主要贡献是首次在线性理论范围内把流场中的速度势分成绕射速度势和辐射速度势分别求解。

前一部分只考虑固定船体的存在对入射波流场的干扰（波的绕射），后者则考虑以不同的运动模式摇荡的船体对静水流场的扰动，两者的线性叠加即为流场中总的扰动速度势。

这一分解直到目前仍是处理摇荡问题中线性扰动势的典型处理方法。

几乎与此同时，海夫洛克（Ｈａｖｅｌｏｃｋ）、乌塞尔（Ｕｒｓｅｌｌ）等人也对速度势边值问题的求解进行了研究【１１。

乌塞尔用多极展开法（Ｍｕｌｔｉｐｏｌｅｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ）求得了在静水中作简谐强迫振荡的圆柱体所受
的流体作用力【ｚＪ。

这些先驱的工作尽管在形式上很完美，但无论是窄船假定或圆柱体，与实际船舶的形状都相去甚远，故而这些方法只能从现象上或定性方面对船舶摇荡加以描述。

对这些理论的进一步发展和改进是五十年代以后的事情。

到五十年代，关于船舶在波浪上运动的研究取得了突破性进展。

主要表现在两个方面：１）将频谱分析方法引入船舶运动理论。

１９５３年圣・丹尼斯（Ｄｅｎｉｓ）和皮尔逊（Ｐｉｅｒｓｏｎ）成功地用概率统计理论处理海浪和船舶在不规则波中的运动问题，提出了船舶在不规则波中运动的理论计算方法【３】。

２）切片理论在船舶摇荡问题中的应用，主要是运用切片理论计算船舶运动方程式中水动力（矩）系数。

关于运动方程中的水动力（矩）系数问题，随着切片理论的发展而有了多种计算方法。

所谓切片理论，简单地说，就是假定船宽、吃水和波长等远较船长小，把船体摇荡时周围流体运动的空间问题化为平面问题，即平面流假设。

也就是把船体当作一个细长体，取一微小长度的横剖段来考虑，流体在每个横剖段作二因次流动，不考虑流体动力沿船长方向的相互干扰。

按二维流动求得各横剖面所受的流体作用力后，沿船长方向积分便可求得船体上总的流体作用力【４＇５】。

最早用切片理论研究船舶力学问题的是刘易斯（Ｌｅｗｉｓ），他在１９２９年就率先用切片的概念来研究船体结构高频振动时的水动力影响问题，并提出了以剖面宽度、吃水、横剖面系数等简单的剖面参数定义的剖面系列（刘易斯剖面）【６Ｊ。

然而切片理论在船舶摇荡问题中的应用和真正引起普遍重视的则始于科文・克劳科夫斯基（Ｂ・Ｖ・Ｋｏｒｖｉｎ－Ｋｒｏｕｋｏｖｓｋｙ）的工作。

１９５７年科文・克劳科夫斯基将芒克（Ｍｕｎｋ）计算作用于飞机上的力和力矩的理论应用于船舶在规则波中的情况，首次提出了关于船舶在顶浪中的升沉与纵摇运动的切片理论，成为有关纵向波浪中船体运动与波浪载荷研究的起点【７】。

这个理论称为原始切片理论。

它是第一个适用于数值计算并在工程应用中具有适当精度的运动理论。

该理论物理概念清晰，数学推导比较简单。

它假定船体是细长的，可沿船长方向将船体分成若干段，各段上剖面形状相同，对各剖面来说，流动可近似认为是二维的，按二维流动求得各横剖面所受的流体作用力后，沿船长方向积分以求得船体上总的流体作用力。

其中辅以若干物理直观的考虑，还计入了前进速度的影响。

虽然它与实验之间的吻合程度通常是令人满意的，但其主要不足是运动方程中的前进速度项不满足蒂曼（Ｔｉｍｍａｎ）和纽曼（Ｎｅｗｍａｎ）证明过的对称关系Ｈ１。

当时的切片法更多地是建立在物理直观的基础上，缺乏系统和合理地推导。

其后，许多人对切片理论的试验验证作了进一步的大量的工作。

同时，切片理论本身亦得到了迅速的发展和改进。

六十年代末期，许多学者从流体动力学的观点
出发，提出用势流理论求解船舶在规则波中的运动和波浪外荷的切片理论。

田才（Ｔａｓａｉ）和高木（Ｔａｋａｋｉ）等人都推导出了迎浪中升沉和纵摇的新切片理论，随后田才将该理论推广到横向运动情形，推导出了五个自由度的切片理论，这个切片理论中的前进速度项满足蒂曼．纽曼对称关系，使船舶在波浪上运动的理论得到完善【９］。

七十年代初期，萨尔维森（Ｓａｌｖｅｓｅｎ）、塔克（Ｔｕｃｋ）和福尔廷森（Ｆａｌｔｉｎｓｅｎ）合作，推出了更为严密的切片理论Ｉｌｏｌ。

他们的理论与前人的区别是它不是在一开始就引入切片理论的假设，而是在最后对方程式中的积分项进行简化时才引入这一假设，因而从理论上更合理更完整。

这个理论同样可以计算船体各刚体自由度的运动。

该理论与田才的理论差别在于计算扰动力的方法和有无端部效应等方面。

几乎在同一时期，苏联的鲍罗廷（Ｂｏｒｏｄａｉ）和德国的索Ｔ（Ｓ６ｄｉｎｇ）ｆ包推导出了迎浪中升沉和纵摇运动的新切片理论Ｉｌｌ＇”】。

这四种切片理论统称为新切片理论。

除方尾或大球鼻艏等端部效应外，这四种理论定量差别很小【ｌ引。

总结新切片理论的成就主要有以下几个方面：１）切片法赖以建立的基础更加合理化和严密化；２）二维剖面流体动力的计算，可以在线性势流理论基础上严格地求解船形剖面的流体作用力，无须以近似的剖面（刘易斯剖面）来代替真正的船形剖面：３）切片理论被推广到了船舶在斜浪中运动的计算，这时不仅可以计算纵摇、升沉等纵向运动，还可以计算横摇、横荡和艏摇等横向运动。

按切片理论还能计算船体某一横剖面处所受的剪力和弯矩。

１．２二因次辐射流体动力系数的研究
上述的切片理论中运动方程的求解都必须确定船体各剖面的辐射流体动力系数即附加质量和阻尼系数。

因为船体的三维水动力性质的确定公式是十分困难和复杂的，二维近似通常被人们所接受。

通常将船体分成一定数量的二维切片，每个切片对应的二维水动力特性被应用于船舶运动的预报中。

下面简要介绍一下附加质量和兴波阻尼系数的概念。

船舶运动和其他刚体运动的显著区别在于它受到一个与频率有关的辐射流体动力的作用。

对于水面上的一般船舶，运动时在水面上兴起波浪是其最大的特征。

仔细观察水面上产生的波浪，可以分为两种：一种是在船舶附近随船一起运动的定常波浪，另一种是离开船体向远处扩散的波浪。

船舶运动的频率越高，产生的波浪波长越短，扩散波的相位速度（规则波的波峰移动速度）也越低。

不难想象，船舶所受的流体动力与水面上产生的波浪有着密切的关系。

这种与频率有关的辐射流体动力与规则的船舶运动之间存在一个相位的滞后，这样的辐射流体动力可以分解为与运动加速度成比例和与运动速度成比例的
第一章绪论
两个部分。

前者称为附连质量力，后者称为兴波阻尼力。

这些力与运动加速度和与运动速度的比值，分别称为广义附连质量系数和兴波阻尼系数。

这种划分方法与辐射力的物理图像是一致的【１４］。

因此要求得水动力系数，关键是要解出流场的辐射速度势。

总结人们对流体动力研究的历史，二因次剖面的附连质量和阻尼系数的确定一般有试验确定、经验公式估算和理论计算等三个途径。

在试验方面，例如确定附加转动惯量的传统方法是‘”】，测量小振幅条件下船模的自由横摇周期Ｌ，然后按下式换算
…＝（刳２ｍ㈧－，其中Ｉ为船舶自身转动惯量，△Ｉ为附加转动惯量，Ｄ为排水量，ｈ为横稳性高。

在经验公式估算方面，兰德韦伯和马伽诺（ＬａｎｄｗｅｂｅｒａｎｄＭａｃａｇｎｏ）给出了在无限流场中任意二参数船体剖面横摇附加转动惯量Ｉ。

、横荡和升沉附加质量Ｍｓ、ＭＨ的简化计算公式‘１４，１５］。

若已知船体剖面参数九（＝１／Ｈ。

）和ｏ，这里Ｈ。

为剖面半宽吃水比，仃为横剖面系数。

记ｃ【＝Ｂ／２，这里Ｂ为剖面半宽，则由
６＝－－０５２＋３Ⅸ（１＋”一２（１＋九＋ｒ）】（１。

２）可解得ｃ‘，从而得到剖面的保角变换系数
ａｌ＝０【（１一九）ａ３＝ａ（１＋九）一１（１．３）以及剖面半宽和吃水
Ｂ＝１＋ａｌ＋ａ３Ｔ＝１－ａｌ＋ａ３（１．４）于是对于横摇情况，低频和高频时的附加转动惯量分别为：
－＋＝警ｌｚａ２（１＋ａ３）２＋等ａ．ａ，（Ｈａ）＋可３２ａ；Ｉ（１．ｓ）
７ｃｆｙｙｆ
Ｉ．＝２＇【ｐ【ａ；（１＋ａ，）２十２ａ纠（１．６）对于横荡情况，附加质量为：Ｍ。

＝扣２搿㈧，，
对于升沉情况，附加质量为：
第一章绪论
吣扣２踹（１．８）
此外，还有很多计算附加质量和阻尼系数的近似公式和图表，可参阅文献【４］。

下面着重介绍一下二因次辐射流体动力系数的理论计算方法。

目前的理论计
算方法主要有以下五种：
（Ｉ）刘易斯剖面变换法ｌｌ６Ｊ
（２）Ｎ参数精密拟合法【ｌ７Ｊ
（３）弗兰克精密拟合法【１８，”】
（４）有限元法１２岫”
（５）固有函数展开法１２２～“Ｊ
第一种方法是格里姆（Ｇｒｉｍ）首先应用的，他把乌塞尔求得的水表面附近振
荡的圆柱体的边值问题的解，略加变形，通过二参数的保角变换将圆柱体问题的
解映射到刘易斯剖面，使问题得以解决。

对于许多常规船形剖面，这个方法速度
快，并且对于常规的船形剖面具有足够的精度。

但是该剖面只和给定的剖面宽度
吃水比和剖面面积系数相关，和实际的外形并不相同，因此对于象球鼻首那样的
小水线面剖面和剖面面积非常小的剖面存在着局限性。

第二种方法是一种多级．展开变换法，也称乌塞尔．田才方法。

乌塞尔首先用
它来研究无限深水中半浮圆柱剖面的强迫振荡问题，后来田才福造将其推广到一
般船形剖面的振荡问题中去。

该方法也是一种保角变换法，不同于第一种方法的
是它不是采用两个参数而是采用多个参数进行映射。

这种方法就是在剖面周界上
求解边值问题，即在坐标原点放置适当的源汇，使其产生的速度势满足辐射条件，再选取一个速度势，使二者的迭加满足所有边界条件。

这样迭加后的速度势即为所求的辐射速度势，于是便可通过辐射速度势求得二因次水动力系数。

该方法的计算结果的精度和适用范围较第一种方法都有所增强，适用于多种船形剖面，但是保角变换系数的确定，需要用迭代方法来求解方程组，而且由于参数的增加，较第一种方法计算量和占用的机时都要大得多，比较麻烦。

第三种方法是一种源汇分布法。

该方法是由弗兰克（Ｆｒａｎｋ）提出的。

它是
将人们己知其势函数的点源分布在船型表面来拟和外部流场，使其满足拉普拉斯
方程和有关边界条件。

从而求得流场速度势，再通过线性化的拉格朗日方程求得
压力分布，由此可以求得与加速度和速度成比例的附加质量和阻尼系数。

这种方
法是应用格林函数，从边界到场内，所以又称边界元方法，它具有必要的精度，
不受剖面形状和水中位置的影响，便于将水面船舶耐波性计算方法推广到水下船
舶。

该方法原则上可以用于三维问题的求解，对各种形状的剖面都将适用，尤其对首尾等型线比较复杂的剖面其精度仍可以保证。

但工作量较大，计算较复杂。

第一章绪论
这个方法起初在个别频率上失败，后经福尔廷森（Ｆａｌｔｉｎｓｅｎ）研究解决了这一问题［１５］。

第四种方法是贝和杨（Ｂａｉａｎｄｙｅｕｎｇ）于１９７４年提出的有限元法。

该方法可以计算任意形状的物体，既可以计算二因次剖面的附加质量，也可以求三因次物体的附加质量，而且不限水深。

但工作量太大，不便使用。

第五种方法是把自由表面、水底等边界条件所决定的速度势边值看成固有函数，而把流场的速度势对固有函数进行展开的方法。

该方法对于确定浅海域问题的流体动力很有效，但它对浮体形状有一定限制。

对于二维矩形剖面、轴对称圆柱和椭圆柱体以外的形状，使用这种方法都有困难。

目前理论最成熟、应用最广泛的是第二、三种方法。

除此之外，关于流体动力计算的三维理论也有所发展。

如七十年代福尔廷森和密恰尔森（ＦａｌｔｉｎｓｅｎａｎｄＭｉｃｈｅｌｓｅｎ）、盖里逊（Ｇａｒｒｉａｏｎ）等人的工作【２５硐，以及八十年代英格列斯和帕莱斯（ＩａｇｌｉｓａｎｄＰｒｉｃｅ）和最近陈远林等人的工作‘２７捌。

船舶摇荡的三维计算方法目前正在迸一步向现实性和经济性方向发展，包括引入有限元法、各种杂交法等计算流体力学手段。

１．３船舶横摇阻尼
在升沉、纵摇、横荡和艏摇运动的阻尼力中，兴波阻尼力占支配地位，粘性阻尼力几乎可以忽略不计。

与此相反，在横摇运动中，兴波阻尼力较小，粘性阻尼力的影响相对增大，以致不容忽视【“】。

横摇阻尼问题是个古老的问题，也受到了人们充分的重视。

通常认为横摇阻尼力矩是横摇角速度的函数。

事实上，当船作小角度横摇时，横摇阻尼力矩在许多情况下与角速度成线性关系。

当摇幅增大时，横摇阻尼力矩将逐渐表明与角速度成非线性关系［３ｃ。

３４］。

船舶横摇阻尼的确定一般有试验方法和理论方法两种。

实验方法多通过船模静水衰减试验确定无航速时的阻尼，然后考虑航速的修正和舭龙骨的影响。

理论研究方法很多，其中关于横摇阻尼的分类及其估算方法的研究，具有代表性的当属日本人池田良穗等人所作的研究［３５～３射。

他们根据横摇阻尼的机理及特点，将其分成裸船体的摩擦阻尼、兴波阻尼、旋涡阻尼、升力阻尼和舭龙骨阻尼五部分，并分别给出了各种阻尼成分的计算公式。

其中兴波阻尼正是本文研究的对象。

池田等人对横摇阻尼的划分方法比较科学，虽然各个成分的计算公式还很粗糙，但与实验结果吻合程度很好，适用于船舶运动的实用计算。

第一章绪论
１．４本文工作
本文根据ＴＡＩＳＡ的切片理论和方法，采用刘易斯剖面保角变换，详细推导了辐射流体动力系数计算公式。

对刘易斯剖面，利用线性势流理论来求解船舶横摇、横荡和升沉运动的附连质量（横摇为附加转动惯量）和兴波阻尼系数，并采用ＦＯＲＴＲＡＮ７７语言编制了相应的三个计算机程序。

本文计算了多种刘易斯剖面的横摇、横荡和升沉运动的辐射流体动力系数，得到了随频率的变化曲线，并与其它方法的计算结果相比较，吻合程度较好，证明本文程序是正确可靠的。

最后，应用本文程序计算了十三陵水库游艇的辐射流体动力系数，包括横摇附加转动惯量和兴波阻尼系数、横荡附加质量和兴波阻尼系数以及升沉附加质量和兴波阻尼系数。

第二章刘易斯剖面保角变换
本章首先介绍了船舶作横摇、横荡和升沉运动时所受的二因次流体作用力的求解过程，包括坐标系的选取，研究问题时所作的假定；然后给出了保角变换的概念，最后着重叙述了如何运用保角变换的方法来描述船体横剖面，并推导出了刘易斯剖面的保角变换系数的计算公式。

２．１关于横摇、横荡和升沉的二因次流体作用力
２．１．１坐标系的选取
本文只讨论船舶在静水中零航速时横摇、横荡和升沉三个自由度的水动力系数，故选择如图２．１所示的坐标系。

Ｏｘｚ平面与静水面重合，Ｏｘｙ平面与船体横
Ｊ
ｏ
ｉ。

≯
＼、
ｙ
图２．１坐标系
剖面重合，横摇角阻顺时针为正，Ｏ为横摇中心，是船体横剖面、中纵剖面和静水面的交点。

图中Ｃ为船体横剖面周界。

２。

１．２本文所作的假设
研究船舶在波浪上的摇荡运动时，为研究问题的方便和考虑船舶运动的实际情况，通常以下列假定为前提【ｌ】：
１）船舶在静水中是稳定平衡的，亦即船舶的重量与静水浮力平衡，并且这种平衡是静稳定的。

２）船舶在静水中航行时的定常阻力与螺旋桨（或其它推进装置）产生的推
力相互平衡，并且忽略推进装置的动作对周围流场引起的干扰。

３）船舶摇荡与操纵运动是可以分离的，互相没有干扰。

船舶在波浪作用下可能产生的曲线运动由操舵的作用补偿，舵的作用对周围流场的干扰也忽略不计。

这样，引起船舶摇荡的外力就只有波浪力和船体摇荡产生的水动力，以及因船体偏离平衡位置而产生的静水恢复力。

本文在此基础上作如下假定：１）流体是不可压缩而且是非粘性的理想流体；
２）表面张力忽略不计：
３）运动是无旋有势的；
４）假定船体处于无限流场中，且不计水深影响；
５）运动的幅值和速度足够小。

这样在自由表面条件、柱体运动边界条件和伯努利方程中，除了线性项之外其余都可以忽略不计。

２．１．３二因次辐射问题的描述
给出上述假定后，问题就简化为下列势流问题的边值问题。

设图２．１所示船体横剖段作如下运动
Ｘ．＝Ｘ。

ｃｏｓ（ｍ＇ｔ＋６．）（ｉ＝１、２、３）（２．１）其中ｉ＝ｌ、２、３分别对应横摇、横荡和升沉运动，Ｘ；和又．分别为各自由度运动的位移和幅值，面为圆频率，６．为初相位。

由于船体运动所产生的流体运动速度势为中ｉ，它应满足下列边界条件：
１）连续性条件（拉普拉斯方程）
崛＝［导＋等卜。

眩２，２）物体表面边界条件
—Ｏｅｌ—）ｉ：Ｕ。

—ＯＸ—ｉ（２－３）
ｏｎｏｎ
其中ｕｉ为运动速度，ｎ为边界外法线方向。

ｕ。

：譬：一Ｘｉｍｓｉｎ（ｍｔ＋６ｉ）
１ｄｔ”
３）自由表面条件
肿。

＋孚：０，Ｋ：立（２ｔ４）
叼ｇ
其中Ｋ为波数，ｇ为重力加速度。

此外，还必须满足由于物体运动兴起的波浪在无限远方行进波的扩散条件以及水底条件等。

由以上边界条件可唯一确定一个速度势，这样由流体力学可知，作用在剖面上的压力Ｐ．可由下式得到
Ｐｌ：一ｐ拿
（２．５）
Ｏｔ
其中ｐ为流体密度。

将此压力沿剖面周界积分，便可得到二因次流体作用力［３９，４０ｌ。

关于刘易斯剖面的二因次流体力的详细计算将在后续各章系统地介绍。

２．２保角变换的概念
船体剖面形状非常复杂，在横剖段上求解上述边值问题有困难，因此采用保角变换的方法，将作横摇运动的横剖段的横剖面变换为单位半圆，将横剖面的外部域变换为单位半圆的外部域，然后在单位圆上解边值问题。

这里要用到镜面映像法。

如图２．２所示，以静水面为镜面，将自由表面扩展到自由表面的上半空间。

在水中作横摇运动的物体以镜面反射到上半空间有一个映像，这样就形成了一个对迭模型。

这个对迭模型作摇荡运动时，满足自由表面的边界条件。

图２．２镜面映射
通过保角变换，得到单位圆，在变换的单位半圆上求出满足上述边界条件的速度势【４０１。

下面介绍一下保角变换的概念。