2013届高三江苏专版数学一轮复习45分钟滚动基础训练卷(12)

45分钟滚动基础训练卷(十二)
[考查范围：第36讲～第40讲 分值：100分]
一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)
1．已知一正方体的棱长为m ，表面积为n ；一球的半径为p ，表面积为q ，若m
p ＝2，则
n
q
＝________. 2．关于直线m ，n 和平面α，β，有以下四个命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ②若m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β，则α⊥β； ③若α∩β＝m ，m ∥n ，则n ∥α且n ∥β； ④若m ⊥n ，α∩β＝m ，则n ⊥α或n ⊥β. 其中假命题的序号是________． 3．[2011·南通三模] 底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为________ m 2. 4．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是________．
图G12－1
5．已知一个圆锥的侧面展开图如图G12－1所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．
6．如图G12－2，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是________(填序号)．
①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②BC ∥平面A ′DE ；
③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值．
图G12－2
7．已知命题：“若x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”成立，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形有可能是：①都是直线；②都是平面；③x ，y 是直线，z 是平面；④x ，z 是平面，y 是直线．
上述判断中，正确的有________(请将你认为正确的判断的序号都填上)．
8．已知三棱锥S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝AC ＝2，则三棱锥S －ABC 体积的最大值为________．
二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
9．如图G12－3，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD .四边形ABCD 是菱形，边长为2，∠BCD ＝60°，经过AC 作与PD 平行的平面交PB 于点E ，ABCD 的两对角线交点为F .
(1)求证：AC ⊥DE ；
(2)若EF ＝3，求点D 到平面PBC 的距离．
10．[2011·南通三模] 如图G12－4，在三棱柱ABC－A1B1C1中．(1)若BB1＝BC，B1C⊥A1B，证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1DE，求A1E
EC1的值．11．如图G12－5(1)所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，且AB＝3，BC＝4，作BB1∥AA1，分别交A1D1，AD1于点B1，P，作CC1∥AA1，分别交A1D1，AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图(2)所示的三棱柱ABC－A1B1C1.
(1)求证：AB⊥平面BCC1B1；
(2)求四棱锥A－BCQP的体积．
图G12－5
12．如图G12－6，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB ∥CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1.CD＝DD1＝1，AB＝2，BC＝3.
(1)证明：无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形；
(2)当EC＝1时，求几何体A－
45分钟滚动基础训练卷(十二)
1.6π [解析] 因为n ＝6m 2，q ＝4πp 2，所以n q ＝6π
. 2．①③④ [解析] 根据线面位置关系的判定定理可知，假命题的序号是①③④.
3．33 [解析] 由条件得斜高为12＋⎝⎛⎭⎫3
32＝23
，从而全面积S ＝34×22＋3×
12×2×2
3
＝3 3.
4．(1)(2)(4) [解析] 如图(1)，当直线m 或直线n 在平面α内且m 、n 所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图(2)，直线m 、n 在已知平面α的两侧且到α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点集；如图(3)，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点集为一条直线．
5.
223π [解析] 因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V ＝1
3
×π×12×22＝22π
3
.
6．①②③ [解析] ①由已知可得面A ′FG ⊥面ABC ， ∴点A ′在面ABC 上的射影在线段AF 上． ②∵BC ∥DE ，∴BC ∥平面A ′DE .
③当面A ′DE ⊥面ABC 时，三棱锥A ′－FDE 的体积达到最大．
7．①②④ [解析] 对于③，当x ⊥y ，y ∥z 时，只能确定直线x 垂直于平面z 中的一条直线(该直线与y 平行)，不符合线面垂直的条件．
8．1 [解析] 取SA 中点D ，连接BD 和CD ，因为SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝AC ＝2，所以BD ＝CD ＝3，且SA ⊥平面DBC ，所以三棱锥S －ABC 体积可以看作三棱锥S －DBC 和三棱锥A －DBC 的体积之和，
故V S －ABC ＝V S －DBC ＋V A －DBC ＝1
3
(SD ＋DA )·S △DBC ，
又S △DBC ＝12×3×3×sin ∠CDB ≤3
2
，
故体积最大值为1.
9．[解答] (1)证明：因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD .
又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AC .
而PD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面PBD . 因为DE ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DE . (2)设点D 到平面PBC 的距离为h ，
由题PD ∥平面ACE ，平面ACE ∩平面PDB ＝EF ， 所以PD ∥EF .
点F 是BD 中点，则EF 是△PBD 的中位线，
EF ＝1
2
PD ，EF ＝3，
故PD ＝23，
正三角形BCD 的面积S △BCD ＝12×2×2×3
2
＝ 3.
由(1)知PD ⊥平面BCD ，V P －BCD ＝13S △BCD ·PD ＝13×3×23＝2，V P －BCD ＝V D －BCP ＝1
3S △
BCP ·h ，易求得PC ＝PB ＝4，S △BCP
＝1
2
×2×15＝15. 所以153·h ＝2，h ＝2155
，
故点D 到平面PBC 的距离为215
5
.
10．[解答] (1)证明：因为BB 1＝BC ， 所以侧面BCC 1B 1是菱形， 所以B 1C ⊥BC 1.
又因为B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ， 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1.
又B 1C ⊂平面AB 1C ，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1. (2)设B 1D 交BC 1于点F ，连接EF ， 则平面A 1BC 1∩平面B 1DE ＝EF .
因为A 1B ∥平面B 1DE ，A 1B ⊂平面A 1BC 1，
所以A 1B ∥EF ，所以A 1E EC 1＝BF
FC 1
.
又因为BF FC 1＝BD B 1C 1＝12，所以A 1E EC 1＝1
2
.
11．[解答] (1)证明：在正方形ADD 1A 1中，∵AB ＝3， BC ＝4，∴CD ＝AD －AB －BC ＝5，
∴三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面三角形ABC 的边AC ＝5. ∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴AB ⊥BC .
∵四边形ADD 1A 1为正方形，AA 1∥BB 1， ∴AB ⊥BB 1，而BC ∩BB 1＝B ， ∴AB ⊥平面BCC 1B 1. (2)∵AB ⊥平面BCC 1B 1，
∴AB 为四棱锥A －BCQP 的高．
∵四边形BCQP 为直角梯形，且BP ＝AB ＝3，CQ ＝AB ＋BC ＝7， ∴梯形BCQP 的面积为
S 四边形BCQP ＝1
2
(BP ＋CQ )·BC ＝20.
∴四棱锥A －BCQP 的体积
V A －BCQP ＝1
3
S 四边形BCQP ·AB ＝20.
12．[解答] (1)在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1∥CC 1， ∵EF ∥CC 1，∴EF ∥DD 1.
又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 平面ABCD ∩平面EFD 1D ＝ED ， 平面A 1B 1C 1D 1∩平面EFD 1D ＝FD 1，
∴ED ∥FD 1，∴四边形EFD 1D 为平行四边形． ∵侧棱DD 1⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD ， ∴DD 1⊥DE ，
∴无论点E 怎样运动，四边形EFD 1D 为矩形．
(2)连接AE ，∵四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，
∴侧棱DD 1⊥底面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD ， ∴DD 1⊥AE ，
在Rt △ABE 中，AB ＝2，BE ＝2在Rt △CDE 中，EC ＝1，CD ＝1，则DE ＝2；
在直角梯形ABCD 中，AD ＝BC 2＋(AB －CD )2＝10； ∴AE 2＋DE 2＝AD 2，即AE ⊥ED .
又∵ED ∩DD 1＝D ，∴AE ⊥平面EFD 1D .
由(1)可知，四边形EFD 1D 为矩形，且DE ＝2，DD 1＝1， ∴矩形EFD 1D 的面积为S ＝DE ·DD 1＝2，
∴几何体A －EFD 1D 的体积为VA －EFD 1D ＝13S ·AE ＝13×2×22＝4
3.
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