工程电磁场数值分析有限元法PPT学习教案

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要保持 对称性 ；有更 简便的 做法
➢ 第二类边界条件（自然边界条件）
第二类边界节点是指边界上函数法向导数 j / n g j 已
知。对于内部单元，相邻单元边界的积e分Ni
N j n
d
相
互抵消。但是对于场域边界，如果给定第二类边界条件不
为0，则积分结果要计入右端项中。但是若给定的是齐次第
N jdxdy
( yi
ym )( y j
ym ) (xi 4
xm )(xj
xm )
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右端项元素：
b(e) i
e
N (e) i
f
(e)d
由于单元很小，做单元分析时通常可以取 f (e) 为常数值 （可以认为等于三个顶点上的平均值）。因此
b(e) i
f (e)
e
Ni(e)d
3
设位i置, j,是k是第节i行点、的j列整；[体K因编(e此)号] ，KKK元必ik(((ji素iieee)))须K合iKKKj在ik(((成jjjjeee整))) 到体KKK整矩ik(((jkkkeee体)))阵矩中阵的的实第际i行、
j列元素上。 K (e)
ij
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➢ 媒质交界面衔接条件
n
r2
2
n
, 从而也无需另行处理
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➢ 媒质交界面衔接条件
由于有限元方法能够自动满足
媒质交界面条件，因此有限元
法特别适合于处理多层复杂媒
质问题。这是其它方法无可比
拟的。
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➢ 第一类边界条件（强加边界条件）
第一类边界节点是指边界上函数值 i fi 已知。因此处
理方法是，合成整体系数阵之后，将该节点所在行的主元 素置1，其它元素均置零，同时将右端项中对应元素设为已 知函数值。
。
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单元分析：
计算单元内积分对系数阵和右端项元素
的系贡数献阵。元素：
K (e) ij
e
N (e) i
L(N
(e) j
)d
当L为拉普拉斯算子时，由于Ni在单元 内是(x, y)的线性函数，经Laplace算子
作用后值为0。但是，在相邻单元的边
界上， Ni是连续但是不光滑的，因此 对积分的贡献主要来自边界。为考虑
K00
N L(N )d 1 2 3 4 5 6 0
0
K01 16 N0L(N1)d
b N fd 0
1 2 3 4 5 6 0
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以下把单元e的贡献记为
K (e) ij
e
N (e) i
L(
N
(e) j
)d
b(e) i
e
N (e) i
f
(e)d
这样，就有
K00
K (1) 00
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2. 有限元方程组的求解
稀疏矩阵技术 ICCG法
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3. 有限元的前处理与后处理技术
建模 自动剖分技术 误差估计，h方法与p方法 可视化问题：等位线与电力线 电场力的计算 电容、电感与电阻
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4. 渐近边界条件
场域的封闭 渐近边界条件
y)
u2
2
(x,
y)
u3
3 ( x,
y)
可基得函数Ni常Ni被称为i (x插, y值) 函数(或i者1形, 状2, 函3 数) ，具有以下性质
：
（1）是插值的；
1 (i j) （2）Ni (xj , y j ) 0 (i j)
（3）在相邻单元的公共边界上，
Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的
i 1
代入方程得余量：
R L(u ) f
在有限元法中，基函数一般用 {Ni , i 1, 2, , n} 表示
。采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正 交化：
(Ni , R) Ni[L(u) f ] d 0 (i 1, 2, , n)
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加权余量法回顾（续） (Ni , R) Ni[L(u) f ] d 0
对于静电场问题，媒质分界面衔接条件为
1 2
1
1
n
2
2
n
第一个条件是自动满足的（Why？），无须格外处理。
对于第二个条件，前面计算单元边界上积分e
Ni
N j n
d
时，默认两边 的法向导数相等，使内边界上的积分结
果抵消。因此只要把泊松方程写成
r2 / 0 或 r / 0
满足的条件将是
。
r1
1
f (e)
公式：
e
( N1 )l
(N2
)m
(N3 )nd
(l
l !m!n! mn
2 2)!
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通过上述过程，对于一个“正常”的内部节点就建立起 了一个代数方程。“非正常”的节点包括：媒质交界面 衔接条件和场域边界条件，稍后再讨论。
上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易 于理解的。而在实际编程中，更有效率的是以单元为序， 逐个计算单元系数阵[K(e)]，然后合成整体系数阵[K]。单 元系数阵[K(e)]定义为
(Ni ) (N j ) ( yi ym )( y j ym ) (xi xm )(xj xm )
42 从而
e Ni N jdxdy
( yi ym )( y j ym ) (xi xm )(xj xm ) 4
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再看边界部分：
e
Ni
N j n
d
（1）在节点 i 的对边jm上，Ni＝0，故积分贡献为0；
得代数方程组： K α b
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场域离散
以二维静电场泊松方程的求解为例。二维问题常使用三 角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。
单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质
是
单一、均匀的。
节点：网格的交点，待求变量的设置点。 需要记录信息：
节点编号、节点坐标
节点属性(激励源、是否边界等)
工程电磁场数值分析有限元法
会计学
1
第4章 电磁场有限元法（FEM）
1. 有限元的基本原理与实施 步骤
2. 有限元方程组的求解
3. 前处理与后处理技术
渐近边界条件 4.
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5. 矢量有限元法
1. 有限元法的基本原理与实施步骤
➢ 加权余量法回顾：
对算子方程 L(u) f
n
用 u 作为该方程的近似解（试探解）：u ii
u(x, y) a bx cy
代入三个顶点的坐标和函数值， 可以解出a、b、c。得到
u(x,
y)
u1
1 ( x,
y)
u2
2 (x,
y)
u3
3 ( x,
y)
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111
其中，
1 2
x1
x2
x3
y1 y2 y3
11 1 1 1 2 x x2 x3
y y2 y3
111 1 2 2 x1 x x3
K (2) 00
K (3) 00
K (4) 00
K (5) 00
K (6) 00
K01
K (1) 01
K (6) 01
b0
b(1) 0
b(2) 0
b(3) 0
b(4) 0
b(5) 0
b(6) 0
每个K
(e ij
)
或
b(e) i
的计算都在具体的单元内单独考虑（称
为单元分析）。
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➢ 三角形单元内的基函数 设三角形三个顶点处待求函数值 分别为u1, u2, u3。如果单元足够 小，可以采用线性近似，将单元 内任意p点的u(x,y)表示为
中国人在有限元的发明中有自己独特的贡献。
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作业：
（1）研究方向为数值计算的同学： 编写一个二维静电场有限元程
序，计算右图所示问题，或其它自 己找一个问题。
（2）研究方向非数值计算的同学： 简要叙述有限元的原理，试分析计算精度可能跟
哪些因素有关；并归纳一下，有限元法与有限差分法有 那些相同点和不同点？
单元边界的影响，需要借助于格林公
式：
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格林公式： ( 2 )dV dS
V
S
K(e) ij
e
Ni2 (N j )dxdy
e Ni
N jdxdy
N e i
N j n
d
因：
Ni
i (x,
y)
1
1 2
(x2
y3
x3
y2
)
( y2
y3 )x
(x3
x2
)y
故(N1)
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在积分 Kij Ni L(N j )d 中，对于确定的 i，j的有效取
值为i本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域 为以i、j为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni 、Nj才有交叠。
这些积分可以分单元进行。例如对 右图所示的局部编码，K01、K00以 及b0的计算公式为：
（2）在节点 i 的邻边ij上，由于计 算Kij时需要把具有公共邻边的单元 的积分累加，此二单元的Ni是连续的 ；对于单一均匀媒质，要求相邻单
元i(j满e1) 足/ n
(e2 ) ij
/
n
积分的贡献相互抵消。
，故
结论：单元边界对积分的贡献为0。
所以单元e为系数阵元素的贡献为：
K (e) ij
e Ni
单元编号
单元节点编号
单元介质
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Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
目标：建立节点变量之间满足的 代数方程组，即确定系数{Kij} 和{bi}。依据的原理是加权余量 法使用的基函数为分域基。
➢ 基函数
有限元采用分片逼近的思想，跟 使用折线逼近一条任意曲线的做 法相同。使用分域基Ni，基函数 的个数等于节点的个数；每个基 函数Ni的作用区域是与该节点i 相关联的所有单元。
n
设L为线性算子，代入 u i Ni ，得 i 1
n
n
Ni[L( j N j ) f ] d Ni[ j L(N j ) f ] d 0
j 1
j 1
n
或
j Ni L(N j ) d Ni f d (i 1, 2, , n)
j 1
记 Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
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5. 矢量有限元方法
节点元存在的问题 矢量有限元
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6. 运动导体的涡流问题（迎风有限元）
速度效应产生的问题 迎风法
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二类边界条件，则积分结果为0，无需另行处理，非常方便
。
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有限元方法的推导过程虽然看起来有些复杂，但是最终 结果是非常简单而且优美的。因为边界条件的处理和媒 质交界面条件的处理都非常方便，使得有限元方法在处 理复杂媒质问题和复杂场域问题时得心应手，获得了广 泛的应用，称为最重要的数值分析手段。有人用“功盖 四方”来形容有限元，实不为过。
y1 y y3
单元节点的编号按 逆时针方向排列！
1 11 1 3 2 x1 x2 x
y1 y2 y
u(x,
y)
u1
1 ( x,
y)
u2
2 (xห้องสมุดไป่ตู้
y)
u3
3 ( x,
y)
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记住我们的任务 —寻找基函数
u (x, y) 1N1 2 N2 3N3
对比
u(x,
y)
u1
1 ( x,
( y2
y3
)i (x3 2
x2
)
j
(N2
)
( y3
y1)i (x1 2
x3 )
j
，(N1)
(N2
)
( y2
y3 )( y3
y1) (x3 42
x2 )(x1
x3 )
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(N1)
(N2
)
(
y1
y3 )( y2
y3 ) (x1 42
x3 )(x2
x3 )
写成一般形式，若一个三角形三个顶 点编号为i, j, m（逆时针顺序），则
等位线与电力线电场力的计算电场力的计算电容电感与电阻电容电感与电阻有限元的前处理与后处理技术有限元的前处理与后处理技术第24页共28页场域的封闭场域的封闭渐近边界条件渐近边界条件渐近边界条件渐近边界条件第25页共28页节点元存在的问题节点元存在的问题矢量有限元矢量有限元矢量有限元方法矢量有限元方法第26页共28页速度效应产生的问题速度效应产生的问题迎风法迎风法运动导体的涡流问题迎风有限元运动导体的涡流问题迎风有限元第27页共28页