甘肃省张掖市高考数学4月模拟试卷 文(含解析)

甘肃省张掖市2015届高考数学模拟试卷（文科）（4月份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）全集为实数集R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁R M）∩N=（）
A．{x|x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2≤x＜1} 2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）
A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题
4．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）
A．f（x）=x2B．f（x）=sinx C．f（x）=e x D．f（x）=
5．（5分）设变量x，y i满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）
A．21 B．15 C．﹣3 D．﹣15
6．（5分）已知实数4，m，1构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．C．或D．或3
7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）
A．4 B．C．2 D．
8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）
A．B．C．D．
9．（5分）直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于（）A．B．C．D．
10．（5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且•=0，则点M 到x轴的距离为（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知函数，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=．
14．（5分）在△ABC中，||=2，||=3，•=1，则||=．
15．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为﹣1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为﹣2，则该抛物线的准线方程为．
16．（5分）已知函数f（x）=2x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是．
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{a n}中a3=7，其前n项和S n=pn2+2n，n∈N*．
（Ⅰ）求p的值及a n；
（Ⅱ）在等比数列{b n}中，b3=a1，b6=4a10﹣3，若等比数列{a n}的前n项和为T n．求证：数列{T n+}为等比数列．
18．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（I）若PA=PD，求证：平面P QB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，求四棱锥P﹣ABCD 与三棱锥P﹣QBM的体积之比．
19．（12分）为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如右图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
（1）将频率当作概率，请估计该学段学生中百米成绩在[16，17）内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数（精确到0.01秒）；
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．
20．（12分）已知椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线L交椭圆于A，B两点，M为圆O上的动点，求△ABM面积的最大值，及取得最大值时的直线L的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4e，求切线方程；
（Ⅱ）试求f（x）的单调区间并求出当a＞0时f（x）的极小值．
《选修4-1：几何证明选讲》（共1小题，满分10分）
22．（10分）如图：AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（Ⅰ）求证：CF=BF；
（Ⅱ）若AD=4，⊙O的半径为6，求BC的长．
《选修4-4：参数方程选讲》（共1小题，满分0分）
23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ=4．
（1）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（2）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最大值．
《选修4-5：不等式选讲》（共1小题，满分0分）
24．已知函数f（x）=|x﹣1|
（1）若f（x）+f（1﹣x）≥a恒成立，求a的取值范围；
（2）若a+2b=8，求证：[f（a）]2+[f（b）]2≥5．
甘肃省张掖市2015届高考数学模拟试卷（文科）（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）全集为实数集R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁R M）∩N=（）
A．{x|x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2≤x＜1}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：由已知中全集为实数集R，M={x|﹣2≤x≤2}，我们可以确定C R M，再根据N={x|x＜1}，结合集合交集的运算法则，可以求出（C R M）∩N的值．
解答：解：∵M={x|﹣2≤x≤2}，
∴C R M={x|x＜﹣2，或x＞2}，
又∵N={x|x＜1}，
∴（C R M）∩N={x|x＜﹣2}
故选A
点评：本题考查的知识点是集合的交，并，补的混合运算，其中根据已知条件求出C R M是解答本题的关键．
2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
分析：先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．
解答：解：∵=
=﹣i
∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）
∴它对应的点在第四象限，
故选D
点评：判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．
3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）
A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题
考点：全称命题；复合命题的真假．
专题：常规题型．
分析：先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．解答：解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，
令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，
依据复合命题真假性的判断法则，
得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，
进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．
故答案为C．
点评：本题考查复合命题的真假，属于基础题．
4．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）
A．f（x）=x2B．f（x）=sinx C．f（x）=e x D．f（x）=
考点：程序框图．
专题：函数的性质及应用；算法和程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．
解答：解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=e x，不是奇函数，故不满足条件①
又∵D：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②
而B：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，
故B：f（x）=sinx符合输出的条件
故选：B．
点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
5．（5分）设变量x，y i满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）
A．21 B．15 C．﹣3 D．﹣15
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣，
平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，
直线y=﹣的截距最大，此时z最大．
由，得，
即B（3，6），
此时z的最大值为z=3+2×6=15，
故选：B．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）已知实数4，m，1构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．C．或D．或3
考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由4，m，1构成一个等比数列，得到m=±2．当m=2时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣2时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．
解答：解：∵4，m，1构成一个等比数列，
∴m=±2．
当m=2时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，
它的离心率是；
当m=﹣2时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，
它的离心率是e2=．
故选C．
点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．
7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）
A．4 B．C．2 D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是高为2的三棱锥，结合图中数据，求出它的体积．
解答：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一底面为三角形，高为2的三棱锥，
且底面三角形的底边长为4，底边上的高为2，
如图所示；
∴该三棱锥的体积是
V几何体=S△ABC•h=×4×3×2=4．
故选：A．
点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，是基础题目．
8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）
A．B．C．D．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，可得a=，又b+c=2a，可得c=，不妨取b=3，则a=5，c=7．再利用余弦定理即可得出．
解答：解：∵3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，∴a=，
又b+c=2a，可得c=2a﹣b=，
不妨取b=3，则a=5，c=7．
∴cosC===﹣，
∵C∈（0，π），
∴．
故选：D．
点评：本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（5分）直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于（）A．B．C．D．
考点：直线与圆相交的性质．
专题：直线与圆．
分析：易知直线过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．
解答：解：圆的方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，圆心C（2，2），半径为2．
直线y﹣1=k（x﹣3），
∴此直线恒过定点（3，1），
当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（3，1）的连线垂直于弦，
弦心距为：=．
∴所截得的最短弦长：2=2．
故选：C．
点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．解题的关键是利用数形结合的思想，通过半径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段，应注意直线恒过定点．
10．（5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）
A．B．C．D．
考点：正弦函数的对称性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令
ωx+φ=即可得到答案．
解答：解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；
再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．
故选A．
点评：本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．
11．（5分）已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且•=0，则点M 到x轴的距离为（）
A．B．C．D．
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由•=0，可得MF1⊥MF2，可知点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上，由此可以推导出点M到x轴的距离．
解答：解：已知双曲线的焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．
又∵MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上，
故由，得|y|=，
∴点M到x轴的距离为：，
故选：D．
点评：本题考查双曲线的性质及其应用，圆与双曲线的位置关系的判断，解题时要注意挖掘隐含条件．
12．（5分）已知函数，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（）
A．B．C．D．
考点：分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：作出函数f（x）和y=ax的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
解答：解：作出函数f（x）的图象如图：
当y=ax对应的直线和直线f（x）=x+1平行时，满足两个和尚图象有两个不同的交点，
当直线和函数f（x）相切时，
当x＞1时，
函数f′（x）=，设切点为（m，n），
则切线斜率k=f′（m）=，
则对应的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），即y=x+lnm﹣1，
∵直线切线方程为y=ax，
∴，解得，
即此时a=，此时直线y=ax与f（x）只有一个交点，不满足条件，
若方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，
则满足≤x＜，
故选：B．
点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=．
考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．
专题：计算题；压轴题；三角函数的求值．
分析：由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．
解答：解：∵，两边平方得：1+sin2α=，
∴sin2α=﹣，①
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，
∵α为第二象限角，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα﹣cosα=，②
∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）
=（﹣）×
=．
故答案为：．
点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．
14．（5分）在△ABC中，||=2，||=3，•=1，则||=．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：将换上，然后进行数量积的运算即可求出cos∠BAC，这样在△ABC中，利用余弦定理即可求出．
解答：解：如图，
=
；
∴；
∴；
∴在△ABC中由余弦定理得：
；
∴．
故答案为：．
点评：考查向量减法的几何意义，数量积的运算，数量积的计算公式，以及余弦定理．
15．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为﹣1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为﹣2，则该抛物线的准线方程为x=﹣1．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题设条件知直线AB的方程为x=﹣y+，代入抛物线方
程，得y2+2py﹣p2=0，由线段AB的中点的纵坐标为﹣2，推导出y1+y2=﹣2p=﹣4，由此能求出结果．
解答：解：∵抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为﹣1的直线交抛物线于A、B两点，∴直线AB的方程为：y=﹣x+，
∴x=﹣y+，
把x=﹣y+代入抛物线方程，
整理得y2+2py﹣p2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=﹣2p，
∵线段AB的中点的纵坐标为﹣2，
∴y1+y2=﹣4，
∴p=2，
∴抛物线方程为y2=4x，
∴该抛物线的准线方程为x=﹣1．
故答案为：x=﹣1．
点评：本题考查抛物线的准线方程的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质．
16．（5分）已知函数f（x）=2x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是
[）．
考点：函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用．
分析：先根据已知结合函数的奇偶性求出函数g（x）与f（x）的解析式，然后再代入到2a•g （x）+h（2x）≥0中，分离参数a，将问题转化为函数的最值问题来解．
解答：解：由已知得g（x）+h（x）=2x…①，
所以g（﹣x）+h（﹣x）=2﹣x，又因为g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，
所以﹣g（x）+h（x）=2﹣x，…②．
①②联立解得，．
代入不等式2a•g（x）﹣h（2x）≥0得：
在[1，2]上恒成立．
令t=，则22x+2﹣2x=t2+2．
则原式可化为a恒成立．
显然当时，右式取得最大值为，即即为所求．
故答案为a．
点评：本题考查了函数奇偶性性质的应用以及不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的常规想法，属于基础题．
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{a n}中a3=7，其前n项和S n=pn2+2n，n∈N*．
（Ⅰ）求p的值及a n；
（Ⅱ）在等比数列{b n}中，b3=a1，b6=4a10﹣3，若等比数列{a n}的前n项和为T n．求证：数列{T n+}为等比数列．
考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和；等比关系的确定．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（I）由题意可得：a3=S3﹣S2=5p+2=7，可得p，求出公差，即可求出a n；
（Ⅱ）确定数列{b n}是以为首项，3为公比的等比数列，求出等比数列{a n}的前n项和
为T n，即可证明结论．
解答：解：（I）由题意可得：a3=S3﹣S2=5p+2=7，∴p=1，
∴a1=S1=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∴2d=a3﹣a1=4，∴公差d=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
由此可得：a n=2n+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（Ⅱ）由题意可得：
联立方程组解得：q=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∴数列{b n}是以为首项，3为公比的等比数列．
∴
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
又∵，，
∴是以为首项，3为公比的等比数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12
分）
点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（I）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，求四棱锥P﹣ABCD 与三棱锥P﹣QBM的体积之比．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）利用等腰三角形的性质可得：PQ⊥AD，利用菱形的性质与勾股定理的逆定理可得：BQ⊥AD，可得AD⊥平面PQB，即可证明．
（II）过点M作MH∥BC交PB于点H．利用面面垂直的性质定理可得：PQ⊥平面ABCD，利用四棱锥的体积计算公式可得V P﹣ABCD，利用面面垂直的判定定理可得：BC⊥平面PQB，于是MH⊥平面PQB，利用V P﹣QBM=V M﹣PQB即可得出．
解答：（Ⅰ）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
设AB=2a，则AQ=a，从而，
∴AQ2+BQ2=AB2，
∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：过点M作MH∥BC交PB于点H．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∵，
∴，
∴PQ⊥BC，
又∵BQ⊥AD，AD∥BC，
∴BQ⊥BC，
又∵QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，
又∵MH∥BC，PM=2MC，∴MH⊥平面PQB，
∴，
∴，
∴，
∴V P﹣ABCD：V p﹣QBM=3：1．
点评：本题考查了菱形的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、勾股定理的逆定理、三棱锥与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如右图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
（1）将频率当作概率，请估计该学段学生中百米成绩在[16，17）内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数（精确到0.01秒）；
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率．根据所有的频率之和是1，列出关于x的方程，解出x的值，继而求出相应小组的人数，再设中位数为m，列出关于m的方程解得即可；
（2）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于1秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果解答：解：（1）设前3组的频率依次为3x，8x，19x，则由题意可得：3x+8+19x=1﹣0.32﹣0.08=0.6，
由此得：x=0.02，
∴第二组的频率为0.16，
∵第二组的频数为8，
∴抽取的学生总人数为人，
由此可估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数=0.32×50=16人，
设所求中位数为m，由前可知第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06、016、0.38
则0.06+0.16+0.38（m﹣15）=0.5，
解得m=15.74
所以估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数为16人；所有抽取学生的百米成绩的中位数为15.74秒．
（2）记“两个成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A．
由（1）可知从第一组抽取的人数=0.02×3×50=3人，不妨记为a，b．c
从第五组抽取的人数=0.08×50=4人，不妨记为1，2，3，4，
则从第一、五组中随机取出两个成绩有：ab，ac．a1，a2，a3，a4，bc，b1，b2，b3，b3，c1，c2，c3，
c4，12，13，14，23，24，34这21种可能；
其中两个成绩的差的绝对值大于1秒的来自不同的组，共有12种．
∴
∴两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为．
点评：本题考查样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．
20．（12分）已知椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线L交椭圆于A，B两点，M为圆O上的动点，求△ABM面积的最大值，及取得最大值时的直线L的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）利用由条件求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程．
（2）①当k不存在时，直接求解三角形的面积；
②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与椭圆的方程组，通过韦达定理与距离公式表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最大值．然后求解直线方程．
解答：解析：（1）由题意可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
a2=3，b2=1，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）①当k不存在时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）
由，﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
圆O：x2+y2=与直线L相切，可得d=r，可得4m2=3（1+k2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
=，当且仅当k=时取等号﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）△ABM面积S△ABM=|AB|h=h，（h为M到AB的距离），
∵，∴，此时直线方程为，
∵，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．
21．（12分）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4e，求切线方程；
（Ⅱ）试求f（x）的单调区间并求出当a＞0时f（x）的极小值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（1）的值，由f′（1）=4e解得a=1，再求出f（1），然后利用直线方程的点斜式求得切线方程；
（Ⅱ）分a=0，a＞0，a＜0分别求出导函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，由函数的单调性求得在a＞0时原函数的极值．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=（ax2+x﹣1）e x，得
f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=[ax2+（2a+1）x]•e x，
∴f′（1）=（3a+1）e=4e，解得：a=1．
∴f（1）=e，
∴切点坐标为（1，e），
则切线方程为：y﹣e=4e（x﹣1），
即所求切线方程为：4ex﹣y﹣3e=0；
（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=（x﹣1）e x，f′（x）=xe x，
∴当x＞0时，f′（x）＞0，
当x＜0时，f′（x）＜0，
f（x）的递减区间为（﹣∞，0]，递增区间为（0，+∞）．
（2）当a＞0时，f′（x）=[ax2+（2a+1）]e x=[x（ax+2a+1）]e x，
令f′（x）=0，解得：．
当或x＞0时，f′（x）＞0，
当时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递减区间为，
单调递增区间为，（0，+∞），
∴f（x）的极小值为f（0）=﹣1；
（3）当a＜0时，令f′（x）=0，解得：
①若，当x＜0或时，f′（x）＜0；
当0＜x＜时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），；
单调递增区间为．
②若，，
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）．
③若，当或x＞0时，f′（x）＜0；
当时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为，（0，+∞）；
单调递增区间为．
点评：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数极值的求法，正确分类是解决该题的关键，属难题．
《选修4-1：几何证明选讲》（共1小题，满分10分）
22．（10分）如图：AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（Ⅰ）求证：CF=BF；
（Ⅱ）若AD=4，⊙O的半径为6，求BC的长．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：直线与圆．
分析：（Ⅰ）法一：连接CO交BD于点M，由已知条件推导出Rt△CEO≌Rt△BMO，由此能证明CF=BF．
（Ⅰ）法二：延长CE 交圆O于点N，连接BN，由已知条件推导出∠CBD=∠CNB，由此能证明CF=BF．
（Ⅱ）由O，M分别为AB，BD的中点，得到EB，由此以求出BC．
解答：（Ⅰ）证法一：连接CO交BD于点M，如图1…（1分）
∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD
又∵OC=OB，∴Rt△CEO≌Rt△BMO…（2分）
∴∠OCE=∠OBM…（3分）
又∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC…（4分）
∴∠FBC=∠FCB，∴CF=BF…（5分）
（Ⅰ）证法二：延长CE 交圆O于点N，连接BN，如图2…（1分）
∵AB是直径且CN⊥AB于点E
∴∠NCB=∠CNB…（2分）
又∵弧CD=弧BC，∴∠CBD=∠CNB…（3分）
∴∠NCB=∠CBD
即∠FCB=∠CBF…（4分）
∴CF=BF…（5分）
（Ⅱ）∵O，M分别为AB，BD的中点
∴OM=2=OE
∴EB=4…（7分）
在Rt△COE中，CE==4…（9分）
∴在Rt△CEB中，BC==4．…（10分）
点评：本题考查线段相等的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．
《选修4-4：参数方程选讲》（共1小题，满分0分）
23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ=4．
（1）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（2）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最大值．
考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（1）首先利用关系式把极坐标转化成直角坐标，进一步把极坐标方程转化成直角坐标方程．
（2）先把直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，在利用三角函数的最值求出结果．
解答：解：（1）已知P点的极坐标为，
所以：，
∴点P的直角坐标为．
由，
得：，
即
∴曲线C的普通方程为：．
（2）由，
可得直线l的普通方程为x﹣y﹣5=0，
由曲线C的普通方程：，
可设点Q，
∴则点M坐标为（2cosθ+3，2sinθ）
∴点M到直线l的距离
当=﹣1时，
d取得最大值
∴点M到直线l距离的最大值为．
点评：本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直角坐标方程与参数方程的互化，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值问题的应用．
《选修4-5：不等式选讲》（共1小题，满分0分）
24．已知函数f（x）=|x﹣1|
（1）若f（x）+f（1﹣x）≥a恒成立，求a的取值范围；
（2）若a+2b=8，求证：[f（a）]2+[f（b）]2≥5．
考点：函数恒成立问题；不等式的证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）化简f（x）+f（1﹣x），通过绝对值不等式求出最小值，即可求解a的范围．（2）化简[f（a）]2+[f（b）]2，利用基本不等式推出（a+2b﹣3）2=，然后求出最小值，即可证明．
解答：解：（1）f（x）+f（1﹣x）=|x﹣1|+|﹣x|≥|x﹣1﹣x|=1…（3分）
∴f（x）min=1∴a≤1…（5分）
（2）证明：[f（a）]2+[f（b）]2
=（a﹣1）2+（b﹣1）2[（a﹣1）2+（b﹣1）2]•（12+22）
≥[（a﹣1）•1+（b﹣1）•2]2
=（a+2b﹣3）2
=25…（9分）
∴（a﹣1）2+（b﹣1）2≥5，
∴[f（a）]2+[f（b）]2≥5…（10分）
点评：本题考查函数的最值的应用，绝对值不等式，考查分析问题解决问题的能力．。