高中数学 2.2.2直线与圆的位置关系学案 苏教版必修2

2．2.2 直线与圆的位置关系
为了更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上安装了电子监测装置，从海岸放归点A处(如右图所示)把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点，测得数据如下表(设鲸沿海面游动)．然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测．已知AB＝15 km，观测站B的观测半径为5 km.写出a，b近似满足的关系式，并预测：若按此关系式运动，那么鲸经过多长时间可进入观测站B 的范围？
观测时刻t/min跟踪观测点到放归点的距离x/km 鲸位于跟踪观测点正北方的距离
y/km
1010.999 2020.333 4 3030.111 1 4040.037 0
1．直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种． 2．(1)若直线与圆相交⇔圆心到直线的距离d <圆的半径r ； (2)若直线与圆相切⇔圆心到直线的距离d ＝圆的半径r ； (3)若直线与圆相离⇔圆心到直线的距离d >圆的半径r . 3．由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧x 2＋y 2＝2，y ＝x ＋b ，
消去y ，可得关于x 的一元二次方程2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0，
方程的根的判别式Δ＝16－4b 2．
(1)当－2<b <2时，Δ>0，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆相交； (2)当b ＝±2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆相切； (3)当b <－2或b >2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆相离．
4．若P (x 0，y 0)(y 0≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2上一点，过P (x 0，y 0)的直线与圆相切，则切
线的斜率为－x 0
y 0
，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．
5．过圆(x －a )2＋(y －b )2＝R 2外一点P (x 0，y 0)作圆的切线PT (T 为切点)，则切线长
PT ＝（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2－R 2．
一、直线与圆的位置关系 ①直线与圆相交，有两个公共点； ②直线与圆相切，只有一个公共点； ③直线与圆相离，没有公共点． 二、判定直线与圆的位置关系的方法 有两种：代数法和几何法． 方法一：代数法．
判断直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的位置关系，可将
⎩
⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0联立，可得mx 2＋nx ＋p ＝0.然后利用Δ，当Δ＝0时相切，当Δ＞0时相交，当Δ＜0时相离．
方法二：几何法．
已知直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |
A 2＋
B 2
.
相交⇔d ＜r ；相切⇔d ＝r ；相离⇔d ＞r . 三、圆中的弦长公式
直线与圆相交有两个交点，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有⎝ ⎛⎭
⎪⎫l 22
＋d 2＝r 2.即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形的三边，数形结合，利用勾股定理求解．
基础巩固
知识点一 直线与圆的位置关系
1．已知直线x ＝a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2＝4相切，那么a 的值是________． 解析：由已知|a －1|＝2，∴a ＝3或a ＝－1.又a ＞0，∴a ＝3. 答案：3 2．圆
x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程是
__________________________________________________________．
解析：设圆心为C (2，0)，则直线CP 的斜率为3－0
1－2
＝－3，又切线与直线CP 垂直，故切线斜率为
33，由点斜式得切线方程y －3＝3
3
(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 答案：x －3y ＋2＝0
3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且
y ＝x ＋1}，则A ∩B 的元素个数为(C)
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：集合A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点构成的集合，集合B 表示直线y ＝x ＋1上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A ∩B 的元素个数为2.
知识点二 圆的弦长及切线长
4．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________．
解析：∵AB ＝23，R ＝2，∴圆心(1，2)到直线ax －y ＋3＝0的距离为22－（3）2＝1，即|a －2＋3|a 2＋1
＝1，∴a ＝0.
答案：0
5．由直线x －y ＋1＝0上一点P 向圆C ：(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
解析：圆心C (3，0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22，故直线上的点P 到圆心的距离的最小值为22，从而切线长的最小值为7.
答案：7
6．过点P (3，－4)的直线l 被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求该直线方程． 解析：当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线l 的方程为y ＋4＝k (x －3)，即kx －y －3k －4＝0.
因l 被圆所截得的弦长为8，又圆的半径R ＝5，故知圆心到直线l 的距离等于3.由点到直线的距离公式，得|k ×0－0－3k －4|k 2＋1
＝3，解得k ＝－7
24.
此时，l 的方程为y ＋4＝－7
24
(x －3)， 即7x ＋24y ＋75＝0.
又当l 垂直于x 轴时，这时的直线方程为x ＝3，满足题目要求，故所求的直线l 的方程为x ＝3或7x ＋24y ＋75＝0.
能力升级
综合点一 直线与圆的位置关系的判定
7．直线3x －4y ＋6＝0与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的位置关系是________．
解析：圆心(2，3)到直线3x －4y ＋6＝0的距离为d ＝|3×2－4×3＋6|
32＋（－4）2＝0.∴直线过圆
心且与圆相交．
答案：相交且过圆心
8．直线(x ＋1)a ＋(y ＋1)b ＝0与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是________．
解析：直线方程为ax ＋by ＋a ＋b ＝0过定点(－1，－1)，又(－1，－1)在圆x 2＋y 2＝2上，故直线和圆相切或相交．
答案：相切或相交
9．若直线ax ＋by －1＝0与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )与圆的位置关系是________． 解析：由题意得：1
a 2＋
b 2
<1，即a 2＋b 2>1，故点P (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外．
答案：在圆外
综合点二 求圆的切线和割线
10．从点P (4，5)向圆(x －2)2＋y 2＝4引切线，求切线方程．
解析：若切线的斜率不存在，切线方程为x ＝4，满足条件；若切线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y －5＝k (x －4)，即kx －y ＋5－4k ＝0，又圆心坐标为(2，0)，r ＝2，
因为圆心到切线的距离等于半径，即 |2k －0＋5－4k |k 2＋1
＝2，k ＝21
20.
所以切线方程为21x －20y ＋16＝0或x ＝4.
11．圆x 2＋y 2＋4y －21＝0的割线l 被圆截得的弦长为45，若l 过点M (－3，－3)，求l 的方程．
解析：将圆写成标准式方程，得x 2＋(y ＋2)2＝25， 所以圆心为(0，－2)，半径 r ＝5. 设圆心到直线l 的距离为d ，则
d ＝
52－⎝ ⎛⎭
⎪⎫4522
＝ 5.
设l 的方程为y ＋3＝k (x ＋3)，
即kx －y ＋3k －3＝0， 所以d ＝|2＋3k －3|
k 2＋1＝ 5.
解得k ＝－1
2
，或k ＝2.
故所求直线l 有两条，其方程分别为
y ＋3＝－12
(x ＋3)或y ＋3＝2(x ＋3)，即x ＋2y ＋9＝0或2x －y ＋3＝0.
综合点三 数形结合解决有关的问题
12．当b 取何值时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝1－x 2； (1)有一个公共点； (2)有两个公共点； (3)没有公共点．
解析：由y ＝1－x 2得，y 2＝1－x 2(y ≥0)， 即x 2＋y 2＝1(y ≥0)．
由此可知，曲线y ＝1－x 2是x 2＋y 2＝1位于x 轴上方的半圆，当直线y ＝x ＋b 与圆
x 2＋y 2＝1相切时，b ＝±2，
故知直线与半圆y ＝1－x 2相切时，b ＝ 2.
将点(1，0)的坐标代入直线方程y ＝x ＋b 得，0＝1＋b ，解得b ＝－1；将点(－1，0)的坐标代入直线方程y ＝x ＋b 得，0＝－1＋b ，解得b ＝1.
由下图可知，
(1)当b ＝2或－1≤b ＜1时，直线与曲线只有一个公共点； (2)当1≤b ＜2时，直线与曲线有两个公共点； (3)当b ＜－1或b ＞2时，直线与曲线没有公共点．
13．已知圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝R 2，直线4x ＋3y ＝11，问当圆半径R 取何值时，圆上：
(1)有一点到直线的距离等于1； (2)有两点到直线的距离等于1； (3)有三点到直线的距离等于1； (4)有四点到直线的距离等于1.
解析：圆心C (1，－1)到直线4x ＋3y －11＝0的距离d ＝|4×1＋3×（－1）－11|
32＋42＝2.
(1)当R ＝1时，圆上仅有一个点到直线的距离等于1； (2)当1＜R ＜3时，圆上有两个点到直线的距离等于1； (3)当R ＝3时，圆上有三个点到直线的距离等于1； (4)当R ＞3时，圆上有四个点到直线的距离等于1.。