【全程复习方略】(陕西专用)高中数学 5.5数列的综合应用配套课件 北师大版

【即时应用】 (1)思考：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n， 则本利和an＝a(1+rn)，属于等差模型.复利公式——设本金为 a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1+r)n，属于等 比模型.
(2)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用 零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1 年(存12次)，到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月 利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为 ____元.
构建数列模型
翻译 作答
分析 转化
数学问题的解 运用数列知识求解 与数列有关的 数学问题
(2)数列应用题常见模型 ①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型 是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. ②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时， 该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. ③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固 定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，还 是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.
4 (2n2 3n).
3
2
9
(3)当n≥2时，bn

1 a n1a n

1 ( 2 n 1)( 2 n 1)
3 33 3
9 ( 1 1 ), 2 2n 1 2n 1
又b1

3

9 2
(1
1), 3
Sn

b1

b2

bn
9 (1 1 1 1 1 1 )
(1)试求xk与xk-1的关系(k=2,…,n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.
【解题指南】(1)求出曲线y=ex在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线方 程，令y=0可得xk与xk-1的关系. (2)把线段长转化为点的纵坐标，利用等比数列求和公式求解.
Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1,
3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n,
则-2Tn
=3+2×3+2×32+…+2×3n-1-(2n+1)×3n
3 2 3(1 3n1) (2n 1) 3n 13
=-2n×3n,
数列的综合应用 (1)解答数列应用题的步骤 ①审题——仔细阅读材料，认真理解题意. ②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转 化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. ③求解——求出该问题的数学解.
④还原——将所求结果还原到原实际问题中.具体解题步骤用
框图表示如下： 实际应用题
审题，找出题意 中的数学关系
a n1an
m 2 003 2
对一切n∈N+成立，求最小正整数m.
【解题指南】(1)可由已知得an+1与an的关系，从而判断出数列 的类型. (2)利用等差数列的性质及裂项相消法去求解第(2)、(3)问.
【规范解答】(1)∵
a n1
f( 1 ) an
2 3an 3
an

2, 3
【例2】从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，
并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每 年投入将比上年减少 1，本年度当地旅游业估计收入400万元，
5
由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每 年会比上年增加 1 .
4
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入 为bn万元，写出表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
【例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0,且
S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设{ bn }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前
an
n项和Tn.
【解题指南】(1)列出关于a1,d的方程组，求出a1,d. (2)先求 bn , 再利用(1)中所得an求bn,最后用错位相减法求Tn.
数列的实际应用 【方法点睛】1.数列实际应用题的解题策略 解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题 的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象 为数学中的等差、等比数列问题，使关系明朗化、标准化．然 后用等差、等比数列知识求解．这其中体现了把实际问题数学 化的能力，也就是所谓的数学建模能力．
2
2
∴最小正整数m=2 012.
【反思·感悟】1.在求最小正整数m的值时，把问题转化为不 等式恒成立问题，而Sn最值的求法使用了数列函数特征中的单 调性. 2.数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函 数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点， 该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运 算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选.
∴Tn=n×3n.
【反思·感悟】1.解答本题(1)时，列出关于a1,d的方程组是 关键，求解本题(2)时，求出bn是关键. 2.利用等比数列前n项和公式时，注意公比q的取值，同时对等 差、等比数列的性质，要熟悉它们的推导过程，合理使用性质， 可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求 解．
∴{an}是以 2 为公差的等差数列.
3
又a1=1, a n

2 3
n

1. 3
(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)


4 3
(a 2

a4

a 2n
)
4
n(5 4n 1) 333
即|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
第五节 数列的综合应用
三年20考 高考指数:★★★★ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能 用等差数列、等比数列有关知识解决相应的问题.
1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比 数列的通项公式和前n项和公式. 2.常在与其他知识的交汇处命题，考查学生的转化化归能力， 如与函数、不等式、解析几何等交汇考查. 3.各种题型都有可能出现.
【规范解答】(1)设点Pk-1的坐标是(xk-1,0),∵y=ex,∴y′=ex, …………………………………………………………………3分 ∴Qk-1(xk-1,exk-1)，在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线方程是y-exk-1 =exk-1(x-xk-1),令y=0,则xk=xk-1-1(k=2,…,n).……………6分
2 335
2n 1 2n 1
9 (1 1 ) 9n , 2 2n 1 2n 1
Sn

9n ＜m 2n 1

2 2
003
对一切n N成立.
9n 9 (1 1 )递增，且 9n ＜9 .
2n 1 2 2n 1
2n 1 2
m 2 003 9 ,即m 2 012.
2.处理分期付款问题时的注意事项 (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注： 最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之 和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有 掌握了这一题属于哪一种类型，即明确是 等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是求Sn，特别是要 弄清项数.
(2)∵x1=0,xk-xk-1=-1,∴xk=-(k-1),
∴|PkQk|=exk=e-(k-1),…………………………………………9分
于是有|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=
1 en 1 e1
e e1n , e 1
【满分指导】数列与函数的综合应用解答题的规范解答 【典例】(12分)(2011·陕西高考)如图，从点P1(0,0)作x轴的 垂线交曲线y=ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于 点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得 到一系列点：P1，Q1;P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为 (xk,0)(k=1,2,…,n).
5
第n年的投入为800(1- 1 )n-1万元，
5
所以,n年内的总投入为：
an=800+800(1- 1 )+…+800(1- 1 )n-1
5
5
=4 000-4 000( 4 )n.
5
第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400(1+ 1 )
4
万元.
第n年旅游业收入为400(1+ 1 )n-1万元,
4
所以,n年内的旅游业总收入为
bn=400+400(1+
1 4
)+…+400(1+
1 4
)n-1
=1 600( 5 )n-1 600.
4
(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入，由此bn-an>0,
即1 600( 5 )n-1 600-4 000+4 000( 4 )n>0,
4
5
化简得2( 5 )n+5( 4 )n-7>0,
【例3】已知函数
f (x) 2x 3 , 3x
数列{an}满足a1=1,an+1=f(
1 ),
an
n∈N+,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn;
(3)令
bn
1 (n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn＜
an
【规范解答】(1)依题意得
3a1 (a1
32 d 2
3d)2
5a1 a1(a1
54 2
12d)
d

50
,
解得
ad123.
∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,
即an=2n+1.
(2) bn
an
=3n-1,bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1,
【解析】由题意知，小王存款到期利息为
12ar+11ar+10ar+…+2ar+ar= 12(12 1) ar =78ar.
2
答案：78ar
(3)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒
的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样
的病毒(假设病毒不繁殖)，则细菌将病毒全部杀死至少需要
3.与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念， 在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的 研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题， 这都与等比数列有关.
数列与函数、不等式的综合应用 【方法点睛】1.数列与函数的综合问题 一般是通过研究函数的性质、图像来解决数列问题. 2.数列与不等式的综合问题 (1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系， 最后利用函数的单调性求解. (2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有 时利用放缩法证明.
4
5
设( 4 )n=x,代入上式，得5x2-7x+2>0,
5
解此不等式，得x< 2 或x>1(舍去)，
5
即( 4 )n< 2 , 由此得n≥5.
55
故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.
【反思·感悟】1.解答本题时，理解题意是关键，其中an,bn是 等比数列的前n项和，而非第n项. 2.此类问题往往从应用题给出的初始条件入手，推出若干项， 逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系，从而建 立等比数列模型.
【解题指南】解决本题(1)的关键是正确理解题意，根据题意 找出第一年投入的金额和旅游业的收入，第二年投入的金额和 旅游业的收入，从而根据等比数列写出表达式，在解决第(2) 问时，首先列出不等关系式，然后利用换元法求解.
【规范解答】(1)第一年投入为800万元，
第二年投入为800(1- 1 )万元，
______秒钟.
【解析】设需要n秒钟，
则1+21+22+…+2n-1≥100, ∴ 1 2n ≥100,∴n≥7.
1 2
答案：7
等差、等比数列的综合应用 【方法点睛】解答数列综合问题的注意事项 (1)要重视审题，善于联系. (2)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等 联系起来. (3)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比 数列的通项、前n项和，以及等差、等比数列项之间的关系， 往往用到转化与化归的思想方法.