杜集区第二中学八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.3整数指数幂教案1新版新人教版

15．2.3 整数指数幂
1．理解负整数指数幂．(重点)
2．掌握整数指数幂的运算性质．(难点)
3．会用科学记数法表示小于1的正数．(重点)
一、情境导入
同底数幂的除法公式为a m ÷a n ＝a m －n
，有一个附加条件：m ＞n ，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m ＝n 或m ＜n 时，情况怎样呢？
二、合作探究
探究点一：负整数指数幂的计算
下列式子中正确的是( ) A ．3－2＝－6 B ．3－2
＝0.03
C ．3－2＝－19
D ．3－2
＝19
解析：根据负整数指数幂的运算法则可知3－2
＝132＝19
.故选D.
方法总结：负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数．
探究点二：整数指数幂的运算 【类型一】 整数指数幂的化简
计算： (1)(x 3y －2)2
；
(2)x 2y －2·(x －2y )3
；
(3)(3x 2y －2)2÷(x －2y )3
；
(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2
.
解析：先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指数幂化成正整数指数幂．
解：(1)原式＝x 6y －4
＝x 6
y
4；
(2)原式＝x 2y －2·x －6y 3＝x －4
y ＝y x
4；
(3)原式＝9x 4y －4
÷x －6y 3
＝9x 4y －4
·x 6y －3
＝9x 10y －7
＝9x
10
y
7；
(4)原式＝(27×10
－15
)÷(9×10
－12
)＝3×10－3
＝31000
.
方法总结：正整数指数幂的运算性质推广到整数范围后，计算的最后结果常化为正整数指数幂．
【类型二】 比较数的大小
若a ＝(－23)－2，b ＝(－1)－1
，c ＝(－32)0，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a ＞b ＝c
B ．a ＞c ＞b
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
解析：∵a ＝(－23)－2＝(－32)2＝94，b ＝(－1)－1
＝－1，c ＝(－32)0＝1，∴a ＞c ＞b ，故
选B.
方法总结：关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
【类型三】 0指数幂与负整指数幂中底数的取值范围
若(x －3)0－2(3x －6)－2
有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞3 B ．x ≠3且x ≠2 C ．x ≠3或x ≠2 D ．x ＜2
解析：根据题意，若(x －3)0有意义，则x －3≠0，即x ≠3.(3x －6)－2
有意义，则3x －6≠0，即x ≠2，所以x ≠3且x ≠2.故选B.
方法总结：任意非0数的0指数幂为1，底数不能为0.
【类型四】 含整数指数幂、0指数幂与绝对值的混合运算
计算：－22＋(－12
)－2＋(2016－π)0
－|2－3|.
解析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．
解：－22＋(－12
)－2＋(2016－π)0
－|2－3|＝－4＋4＋1－2＋3＝3－1.
方法总结：熟练掌握有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质是解答此题的关键．
探究点三：科学记数法
【类型一】 用负整数指数幂表示科学记数法
某一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是
全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为( )
A ．1.06×10－4
B ．1.06×10－5
C ．10.6×10－5
D ．106×10－6
解析：0.000106＝1.06×10－4
，故选A.
方法总结：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10－n
，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【类型二】 将用科学记数法表示的数还原为原数
用小数表示下列各数：
(1)2×10－7；(2)3.14×10－5
；
(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．
三、板书设计
整数指数幂
1．负整数指数幂的意义．
2．整数指数幂的运算性质．
3．会用科学记数法表示小于1的数．
整数指数幂是在学生学习了分式的基本性质及乘除法之后的教学，在复习幂的有关运算性质后提出问题“幂的这些运算性质中指数都要求是正整数，如果是负整数又表示什么意义呢？”通过提问让学生寻找规律，猜想出零指数幂和负整数幂的意义，不但调动了学生学习的积极性，而且印象更深，当然也达到了课堂的预期效果．
一次函数的图像教学反思
一次函数图像教学反思(一〕
教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣，对函数与图像的对应关系
应让学生动手去实践，去发现,对一次函数的图象是一条直线应让学生自己得出。

在得出结论之后，让学生能运用“ 两点确定一条直线〞，很快做出一次函数的图像.在稳固练习活动中,鼓励学生积极思考,提高学生解决实际问题的能力.
根据学生状况，教学设计也应做出相应的调整。

如第一环节：探究新知，固然
可以激发学生兴趣，但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求,甚至局部学生形成一定的认知障碍,因此该环节也可以直接开门见山，直切主题，如提出问题：一次函数的代数形式是 y=kx+b ，那么，一个一次函数对应的图形具有什么特征呢?今天我们就研究一次函数对应的图形特征—本节课是学生首次接触利用数形结合的思想研究一次
函数图象和性质，对他们而言观察对象、探索思路、研究方法都是陌生的，因而在教
学过程中我通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，引导学生观察一次函数的图像，探讨一次函数的简单性质，逐步加深学生对一次函数及性质的认识。

本节课的重
点是要学生了解正比例函数确实定需要一个条件,一次函数确实定需要两个条件，能由条件求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题.本节课设计注重开展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学
习打下根底。

由于这节课的知识容量较大，而且内容较难,我们所用的学案就能很好地帮助学生消化理解该知识,。

在教学过程中,让学生亲自动手、动脑画图的方式,通过教师的引导,学生的交流、归纳等环节较成功地完成了教学目标，收到了较好的效果。

但还存在着
不尽人意的地方，由于课的内容容量较大,对于有些知识点，如“ 随着 x 值的增
大， y 的值分别如何化？〞，本应给学生更多的时间练习、讨论，以帮助理解消化该知识,但由于时间紧,学生的这一活动开展的不充分。

课堂气氛不够活泼，个别学生
的主动性、积极性没有充分调动起来.这是今后教学中应该注意的问题。

一次函数图像教学反思〔二〕
一堂好的数学课常常是由好的数学问题启发并鼓励学生学习的充实过程。

因此，
我把教学设计的主体“解决问题，总结性质〞设计成由假设干个有一定逻辑顺序的问题,并由这些问题组织师生的教学活动。

那么，怎样设计好的问题呢？我认为，在完成教学任务并实现教学目的的“作用点〞上，在知识形成过程的“关键点"上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点〞上，在数学知识之间联系的“联结点"上,
在数学问题变式的“发散点〞上，在学生思维的“最近开展区〞内，提出恰当的、对
学生数学思维有适度启发的问题就是好问题，这也是问题设计的根本原那么。

例如：
本课在一开始就创设问题情境,引导学生思考，引入课题。

给出几个一次函数的图像,
让同学们合作学习进行探索一次函数的性质.又如，画一次函数图象只需描出图象上的“任意两点〞的结论后，提问学生“你取的是哪两点〞,找了四个同学答复出各自的两个点,既让学生知道如何去找图象上的两个点，也使学生理解了刚刚得出的结论。

适当地提出好问题，不仅可以引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察实验、猜想发现、推理论证、交流反思等理性思维的根本过程,而且还给了学生提问的示范，使他们领悟发现和提出问题的艺术,引导他们更加主动、有兴趣地学,富有探索地学，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神.而“兴趣是最好的老师〞，有良好的兴趣就有良好的学习动机,但不是每个学生都具有良好的学习数学的兴趣。

“好奇〞是学生的天性，他们对新颖的事物、知道而没有见过的事物都感兴趣,要激发学生的学习数学的积极性，就必须满足他们这些需求。

探索一次函数的性质时，给出几个关联问题,
问题1：既然一次函数 y=kx+b(k不为零〕的图象是一条直线,那么作图时，至少要取几个点就可以了？取哪一些点比拟简单,有代表性？
问题2：在前面的直角坐标系中作一次函数 y=2x—1，y=2x，y=—1/2x的图象，并观察四条直线的位置关系。

问题3：正比例函数 y=kx 〔k不为零)是一次函数吗？作图时需要几个点？每一个正比例函数一定能通过哪一个点？
设置的问题由浅入深,使得学生能进行理性的思考,并提升他们思维的深度.
学生是学习的主人。

新课标强调，让学生在自主探索与合作交流中学会学习，提高数学素养.本节课充分表达了这一理念，学生有足够的自主探索时间,有与同学合作互动的空间，有与老师交流表达的时机。

学生不是从老师那里获取知识，而是在数学活动的过程中发现规律、体验成功。

教师是课堂的主导。

教师是学生数学学习的组织者、引导者和合作者。

然而，组织、引导本身就强调了教师必须是一个特殊的“合作者〞，而不是撒手不管的“非主导者〞。

教师的主导作用不是表达在“主宰"课堂,而应表达在为学生提供鲜活的学习素材，表达在对学习团体的严密组织,表达在对交流活动的精心筹划，表达在处理反应信息的及时有效。

这不仅需要教师透彻领会教材实质，更需要教师准确掌握学生个性。

试想本节课，如果教师不是真正了解学生，就不能组成协调高效的学习小组，也不能在有限的时间内完成教学任务。

三角形全等的判定
一、单选题（共10小题）
1．如图，已知12∠=∠，要说明ABD ACD ∆≅∆，还需从下列条件①ADB ADC ∠=∠，②B C ∠=∠，③DB DC =，④AB AC =中选一个，则正确的选法个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】欲使△ABD≌△ACD，已知∠1=∠2，AD 公共，可根据全等三角形判定定理AAS 、SAS 、ASA 添加条件，逐一证明即可.
【详解】解：∵∠1=∠2，AD 公共，
①如添加∠ADB=∠ADC，利用ASA 即可证明△ABD≌△ACD； ②如添加∠B=∠C，利用AAS 即可证明△ABD≌△AC D ；
③如添加DB=DC ，因为SSA ，不能证明△ABD≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件； ④如添加AB=AC ，利用SAS 即可证明△ABD≌△ACD； 故选：C ．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
2．如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB =OC ，连接AO ，则图中一共有（ ）对全等三角形．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】共有四对．分别为△ADO≌△AEO，△ADC≌△AEB，△ABO≌△ACO，△BOD≌△COE．做题时要从已
知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，OB=OC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，∠DOB=∠EOC，
∵BO=CO，
∴△DOB≌△EOC；
∴OD=OE，BD=CE；
∵OA=OA，OD=OE，∠ADO=∠AEO=90°，
∴△ADO≌△AEO；
∴AD=AE，∠DAO=∠EAO；
∵AB=AC，∠DAO=∠EAO，OA=OA，
∴△ABO≌△ACO；
∵AD=AE，AC=AB，∠BAE=∠CAD，
∴△ADC≌△ABE（SSS）．
所以共有四对全等三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．点D、E分别在级段AB、AC上，CD与BE相交于点O，已知AB＝AC，添加以下哪一个条件不能判定
△ABE≌△ACD（）
A．∠B＝∠C B．∠BEA＝∠CDA C．BE＝CD D．CE＝BD
【答案】C
【解析】把选项代入，可知A、B、D都符合全等三角形的判定，只有C项不符合.
【详解】添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加B选项以后是AAS，判定两个三角形全等；
添加C 是SSA ，无法判定这两个三角形全等；
添加D 因为AB=AC ，CE ＝BD ，所以AD=AE ，又因为∠A=∠A，AB=AC 所以，这两个三角形全等，SAS. 故选C ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，要掌握ASA ，SSS ，SAS ，AAS 是解题的关键.
4．如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB =DE ，AD =CF ，添加下列条件后，仍不能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A ．BC EF =
B ．A EDF ∠=∠
C ．//AB DE
D ．BCA EDF ∠=∠
【答案】D
【解析】首先根据等式的性质可得AC DF =，然后利用SSS 、SAS 、ASA 、AAS 进行分析即可． 【详解】解：∵AD =CF ， ∴AD +CD =CF +DC ， ∴AC =DF ，
A 、添加BC =EF 可利用SSS 定理判定△ABC ≌△DEF ，故此选项不合题意；
B 、添加∠A =∠EDF 可利用SAS 定理判定△AB
C ≌△DEF ，故此选项不合题意；
C 、添加AB ∥DE 可证出∠A =∠EDC ，可利用SAS 定理判定△ABC ≌△DEF ，故此选项不合题意；
D 、添加∠BCA =∠EDF 不能判定△ABC ≌△DEF ，故此选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、
HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角
对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．根据下列图中所给定的条件，其中三角形全等的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．①③
【答案】C
【解析】四个三角形均给出了两个边和一个角，根据三角形判定条件,即可正确确定答案.
【详解】解：四个三角形均给出了两个边和一个角且分别为3,3.5和65。

；①中两个边和一个角的关系为SAS ；②中两个边和一个角的关系为ASS ；③中两个边和一个角的关系为SSA ；④中两个边和一个角的关系为SAS ；由SSA 不能判定三角形全等；故①④全等，故选C 。

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定方法，需要注意的是SSA 不能判定三角形全等。

6．如图，BE=CF ，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是( )
A ．AB=DC
B ．∠A=∠D
C ．∠B=∠C
D ．AE=BF
【答案】A
【解析】根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：条件是AB=DC ， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD=∠AEB=90°， 在Rt△ABE 和Rt△DCF 中，
AB=CD
BE=CF
⎧⎨
⎩ ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL ）， 故选：A ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键．
7．如图，用直尺和圆规作射线OC ，使它平分∠AOB ，则△ODC ≌△OEC 的理由是（ ）
A ．SSS
B ．SAS
C ．AAS
D ．HL
【答案】A
【解析】根据SSS 证明三角形全等即可． 【详解】由作图可知，OD=OE ，DC=EC ， 在△ODC 与△OEC 中
OC OC OD OE DC EC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴△ODC≌△OEC（SSS ）， 故选：A ．
【点睛】考查全等三角形的判定，关键是根据三角形全等的判定方法解答．
8．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 角平分线．在证明△MOC≌△NOC 时运用的判定定理是( )
A ．SSS
B ．SAS
C ．ASA
D ．AAS
【答案】A
【解析】根据题意即可判断是用SSS 判定全等.
【详解】∵OM=ON, 尺子两边刻度相同，OC 为公共边，故用SSS 判定△MOC≌△NOC， 故选A.
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.
9．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，CD 与BE 相交于点O .若AB=AC ，则添加下列条件仍不能判定
ABE ACD ∆≅∆的是（ ）
A ．BE CD =
B ．AD AE =
C ．B
D C
E = D ．B C ∠=∠
【答案】A 【解析】根据全等三角形判定定理AAS 、SAS 、ASA 对各选项添加的条件，逐一证明即可．
【详解】解：∵A B=AC ，∠A 为公共角，
A 、如添BE=CD ，因为SSA ，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
B 、如添AD=AE ，利用SAS 即可证明△ABE≌△ACD；
C 、如添BD=CE ，等量关系可得AD=AE ，利用SAS 即可证明△ABE≌△ACD；
D 、如添加∠B=∠C，利用ASA 即可证明△ABE≌△ACD．
故选：A ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理
10．在下列条件下，不能判定ABC ≌''(AB C )
A ．'A A ∠=∠，''A
B A B =，''B
C B C = B ．'A A ∠=∠，'C C ∠=∠，''AC A C =
C ．'B B ∠=∠，'C C ∠=∠，''AC A C =
D ．''BA B A =，''BC B C =，''AC A C =
【答案】A
【解析】根据全等三角形的判定SSS ，AAS ，ASA ，SAS 判断即可．
【详解】解：A 、若AB ＝A'B'，BC ＝B'C'，∠B＝∠B'，根据SAS 推出△ABC≌△AB′C′，故本选项正确；
B 、根据ASA 即可推出△ABC≌△AB′C′，故本选项错误；
C 、根据AAS 即可推出△ABC≌△AB′C′，故本选项错误；
D 、根据SSS 即可推出△ABC≌△AB′C′，故本选项错误．
故选：A ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的理解，解题的关键是能熟练地运用判定定理进行推理．
二、填空题（共5小题）
11．如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB △≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）
【答案】AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.
【解析】根据图形可知证明ADC AEB ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．
【详解】∵A A ∠∠= ，AD AE =，
∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；
添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；
添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，
故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
12．如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD ，要使△ABC≌△ADE，还需要添加的条件是______（只需添加一个条件即可）
【答案】AE=AC （答案不唯一）
【解析】根据全等三角形的判定定理即可．
【详解】
AE=AC ；
理由是：∵在△ABC 和△ADE 中
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC≌△ADE（SAS ），
故答案是：AE=AC （答案不唯一）．
【点睛】考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．
13．如图,点D 、E 分别在线段AB 、AC 上,AE=AD,要使△ABE≌△ACD,则需添加的一个条件是____.
【答案】AB =AC 或∠B =∠C 或∠ADC =∠AEB 或∠BDC =∠CEB （这四个条件中一个）
【解析】要使△ABE≌△ACD，已知AE=AD ，∠A=∠A，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【详解】∵∠A=∠A，AE=AD ，
添加：∠ADC=∠AEB（ASA ），∠B=∠C（AAS ），AB=AC （SAS ），∠BDO=∠CEO（ASA ），
∴△ABE≌△ACD．
故填：AB =AC 或∠B =∠C 或∠ADC =∠AEB 或∠BDC =∠CEB （这四个条件中一个）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
14．如图，已知AB=BC ，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是___．（只需写一个，不添加辅助线）
【答案】∠ABD=∠CBD（或AD=CD ）
【解析】由已知AB =BC ，及公共边BD =BD ，可知要使△ABD ≌△CBD ，已经具备了两个“S ”了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS ，②SSS ．所以可添∠ABD =∠CBD 或AD =CD ．
【详解】
解：答案不唯一．
①∠ABD=∠CBD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②AD=CD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SSS）．
故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．
15．如图，四边形ABCD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，点E为边BC上一点，连接AE、DE，AE=DE，
AE⊥DE，若AB=1，CD=3，则线段BC=_____
【答案】4
【解析】根据等角的余角相等求出∠1=∠3，再利用“角角边”证明△ABE和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，BE=CD，再根据BC=BE+CE代入数据计算即可得解．
【详解】
如图，
∵AE⊥DE，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE 和△ECD 中，
1390ABC BCD AE DE ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩
＝＝＝＝，
∴△ABE≌△ECD（AAS ），
∴AB=CE=1，BE=CD=3，
∴BC=BE+CE=3+1=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用等角的余角相等求出三角形全等的条件是解题的关键，利用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
三、解答题（共3小题）
16．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，AB DB =，BE 平分ABC ∠，交AC 边于点E ，连接DE ．
（1）求证：ABE DBE ∆≅∆；
（2）若100A ∠=︒，50C ∠=︒，求AEB ∠的度数．
【答案】(1)见解析；（2）65︒
【解析】（1）由角平分线定义得出ABE DBE ∠∠=，由SAS 证明ABE DBE ∆≅∆即可；
（2）由三角形内角和定理得出30ABC ∠=︒，由角平分线定义得出
1152
ABE DBE ABC ∠∠∠︒===，在ABE ∆中，由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：BE 平分ABC ∠，
∴ABE DBE ∠∠=，
在ABE ∆和DBE ∆中，AB DB ABE DBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABE DBE SAS ∆≅∆；
（2）100A ∠=︒，50C ∠=︒，
∴30ABC ∠=︒，
BE 平分ABC ∠，
∴1152
ABE DBE ABC ∠∠∠︒===， 在ABE ∆中，1801801001565AEB A ABE ∠=︒∠∠=︒︒︒=︒----．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．
17．如图，已知90C D ∠=∠=︒，BC 与AD 交于点E ，AC BD =，求证：AE BE =.
【答案】详见解析
【解析】由HL 证明Rt Rt ACB BDA ∆≅∆得出ABC BAD ∠=∠，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．
【详解】∵C D 90∠=∠=︒，
∴ACB ∆和BDA ∆是直角三角形，
在Rt ACB ∆和Rt BDA ∆中，AB BA AC BD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt Rt (HL)ACB BDA ∆≅∆，
∴ABC BAD ∠=∠，
∴AE BE =．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
18．已知，如图，AB ＝AE ，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．
【答案】证明见解析.
【解析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB ＝AE ，可利用AAS 证得△ABC≌△EAD．
【详解】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，
又∵∠D＝110°，
∴∠ACB＝∠D，
∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E，
∴在△ABC 和△EAD 中，
==ACB D CAB E AB AE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC≌△EAD(AAS)．
【点睛】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可．。