高考数学B版真题及模拟：三角函数的图象与性质

的图象,令2s- =2kπ,k∈Z,即得s的最小值.
3
2.(2013北京,3,5分,0.94)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 当φ=π时,y=sin(2x+φ)=-sin 2x,此时曲线过坐标原点,但曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点 时,φ=kπ(k∈Z),∴“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件,故选A.
y=sin 2x
2 3
=cos
2x
2 3
2
=cos
2x
6
=cos
2
x
12
,
由y=cos x的图象得到y=cos 2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 ,纵坐标不
2
变;由y=cos
2x的图象得到y=cos
2
x
12
的图象,需将y=cos
2x的图象上的各点向左平移
7.(2012北京,15,13分)已知函数f(x)= (sin x cos x)sin 2x .
sin x
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解析 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z), 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.
因为f(x)= (sin x cos x)sin 2x =2cos x(sin x-cos x)
12
个单位长
度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,
2
6
得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,
2
12
得到曲线C2
答案 D 本题考查三角函数的诱导公式及图象变换. 首先利用诱导公式化异名为同名.
k 2
+
6
(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=
k 2
+
(k∈Z),故选B.
6
易错警示
本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数y=2sin
2x
12
的图象.
4.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x- 3 cos x的图象可由函数y=sin x+ 3 cos x的图象至少向
ωx
6
(ω>0).若f(x)≤f
4
对任意的实数x都成立,则ω的最
小值为
.
答案 2
3
解析 本题主要考查三角函数的性质及其应用.
∵f(x)≤f
4
对任意的实数x都成立,∴f
4
=1,
∴ ·ω- =2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+2 ,k∈Z.
46
3
又ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值2 .
右平移
个单位长度得到.
答案 2
3
解析
设f(x)=sin x-
3
cos
x=2sin
x
5 3
,g(x)=sin
x+
3
cos
x=2sin
x
3
,将g(x)的图象向右平
移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin
x
φ
3
=2sin
x
5 3
=f(x)的图象,所以x-φ+
3
=2
kπ+x+ 5 ,k∈Z,此时φ=-2kπ- 4 ,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为 2 .
12
个
单位长度,故选D.
方法总结 (1)三角函数的图象变换:
①伸缩变换:将y=sin
x图象上各点的横坐标变为原来的ω倍,纵坐标不变,可得到y=sin
1 ω
x
的
图象;将y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,可得到y=Asin x的图象.
②平移变换:函数图象的平移变换遵循“左加右减”的法则,但是要注意平移量是指自变量x
结论.
5.(2015北京,15,13分,0.87)已知函数f(x)= 2 sin x cos x - 2 sin2 x .
22
2
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
解析 (1)因为f(x)= 2 sin x- 2 (1-cos x)
2
2
=sin
x
4
-
2,
8
,
k
和
k ,
k
3 8
(k∈Z).
评析 本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的性质.注意定义域及单调区间的表示方法.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 三角函数的图象及其变换
1.(2018天津,6,5分)将函数y=sin
2
x
5
的图象向右平移
10
个单位长度,所得图象对应的函数
()
,所以x-
12
∈
3
,
2 3
,
当x- =- ,即x=- 时,g(x)取得最小值- 3 .
12 3
4
2
方法技巧 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换: 由y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象有两种方法.
方法一:(先平移后伸缩)y=sin x的图象
sin x
=sin 2x-cos 2x-1=
2
sin
2x
4
-1,
所以f(x)的最小正周期T= 2 =π.
2
(2)函数y=sin
x的单调递增区间为
2k
2
,
2k
2
(k∈Z).由2kπ-
2
≤2x-
4
≤2kπ+
2
,x≠kπ(k∈
Z),
得kπ- ≤x≤kπ+ 3 ,x≠kπ(k∈Z).
8
8
所以f(x)的单调递增区间为 k
解析 记f(x)的最小正周期为T.
由题意知 T
2
≥
2
-6
=3
,又f
2
=f
2 3
=-f
6
,且2
3
-
2
=
6
,
可作出示意图如图所示(一种情况):
∴x1= 2
6
1
× 2
=3
,x2= 2
2 3
1
× 2
7 = 12
,∴ T
4
=x2-x1= 7
12
-
3
=
4
,∴T=π.
思路分析 先根据单调性判断周期的范围,再利用特殊的三角函数值画出大致图象,从而得出
三角函数的图象与性质
A组 自主命题·北京卷题组
1.(2016北京,7,5分)将函数y=sin
2x
3
图象上的点P
4
,
t
向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.
若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则 ( )
A.t= 1 ,s的最小值为
2
6
B.t= 3 ,s的最小值为
2
6
C.t= 1 ,s的最小值为 D.t= 3 ,s的最小值为
3
3
3
评析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数图象的变换,审题不清是学生失分的主要原因.
5.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sin
ωx
6
+sin
ωx
2
,其中0<ω<3.已知f
6
=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左
值.
6.(2011北京,15,13分)已知函数f(x)=4cos
xsin
x
6
-1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间
6
,
4
上的最大值和最小值.
解析
(1)因为f(x)=4cos
xsin
x
6
-1
=4cos x
3 2
sin
x
1 2
cos
x
-1
= 3 sin 2x+2cos2x-1
A.在区间
3 4
,
5 4
上单调递增
B.在区间
3 4
,
上单调递减
C.在区间
5 4
,
3 2
上单调递增
D.在区间
3 2
, 2
上单调递减
答案 A 本题主要考查三角函数的图象变换及三角函数的性质.
将y=sin
2
x
5
的图象向右平移
10
个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin
2
x
10
2
3
2
3
答案
A
点P
4
,
t
在函数y=sin
2x
3
的图象上,
∴t=sin
2
4
3
=
1 2
.函数y=sin 2x
3
的图象向左平移
6
个单位长度即可得到函数y=sin
2x
的图象,故s的最小值为 .
6
思路分析
先把P点坐标代入原函数,求出t的值,再把原函数图象平移得函数y=sin
2x
2s
3
2
2
3
1 2
sin
ωx
3 2
cos
ωx
=
3
sin
ωx
3
.
由题设知f
6
=0,所以
ω 6
-
3
=kπ,k∈Z.
故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.
(2)由(1)得f(x)=
3
sin
2x
3
,
所以g(x)=
3
sin
x
4
3
=
3
sin
x
12
.
因为x∈
4
,
3 4
平移
4
个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在
4
,
3 4
上的最小值.
解析 本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及最值.
(1)因为f(x)=sin
ωx
6
+sin
ωx
2
,
所以f(x)= 3 sin ωx- 1 cos ωx-cos ωx
2
2
=
3 sin ωx- 3 cos ωx=
A.x= k - (k∈Z)
26
B.x= k + (k∈Z)
26
C.x= k - (k∈Z)
2 12
D.x= k + (k∈Z)
2 12
答案
B
将函数y=2sin
2x的图象向左平移
12
个单位长度得到函数y=2sin
2
x
12
=2sin
2
x
6
的图象,由2x+
6
=kπ+
2
(k∈Z),可得x=Fra bibliotek5=
sin 2x,令2kπ- ≤2x≤2kπ+ (k∈Z),得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).所以y=sin 2x的递增区间为
2
2
4
4
k
4
, k
4
(k∈Z),当k=1时,y=sin
2x在 3
4
,
5 4
上单调递增,故选A.
易错警示 进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是对自变量本身而 言;还要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数.
2
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为-π≤x≤0,
所以- 3 ≤x+ ≤ .
4
44
当x+ =- ,即x=- 3 时, f(x)取得最小值.
42
4
所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f
3 4
=-1-
2.
2
思路分析 (1)先把函数f(x)化成正弦型函数,再求最小正周期;(2)利用函数图象的性质求最小
A.
B.
C. 3
D.π
4
3
名师点睛 由题意知函数f(x)在x= 处取得最大值,从而得出答案.
4
4.(2014北京,14,5分,0.3)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间
6
,
2
上
具有单调性,且f
2
=f
2 3
=-f
6
,则f(x)的最小正周期为
.
答案 π
2.(2017课标全国Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cos
x,C2:y=sin
2x
2 3
,则下面结论正确的是
(
)
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
6
个单位长
度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
y=sin(x+φ)的图象
y=sin(ωx+φ)的图象
y=Asin(ωx+φ)的图象.
方法二:(先伸缩后平移)y=sin x的图象
y=sin ωx的图象
y
=sin(ωx+φ)的图象
y=Asin(ωx+φ)的图象.
考点二 三角函数的性质及其应用
1.(2018课标全国Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是 ( )
= 3 sin 2x+cos 2x
=2sin
2x
6
,
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ 2 .
6
4
6
63
于是,当2x+ = ,即x= 时, f(x)取得最大值2;
62
6
当2x+ =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值-1.
66
6
失分警示 ①记错三角函数的两角和公式、二倍角公式,造成失分. ②记错特殊角的三角函数值,造成失分. ③没有注意正弦函数在闭区间上的单调性而求错最值,造成失分. 评析 本题考查三角函数的两角和公式、二倍角公式以及简单的三角恒等变换,考查三角函 数的周期性和三角函数在闭区间上的最值.解题关键是利用三角函数的两角和公式、二倍角 公式进行三角恒等变换,利用三角函数的单调性求三角函数在闭区间上的最值.本题综合性较 强,属于中等难度题.
的变化量.
(2)解决三角函数图象变换题时,若两函数异名,则通常利用公式sin
x=cos
x
2
和cos
x=sin
x
2
将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程.
3.(2016课标全国Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的