2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期期中考试数学
试题
一、单选题
1．已知全集U =R ，集合{}
2
3,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合
为（ ）
A ．[]2,3-
B ．()2,3-
C ．(]2,3-
D ．[)2,3-
【答案】B
【分析】首先求得集合A ，结合图象求得正确结论. 【详解】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞， 图象表示集合为()U A B ⋂，
()U
,3A =-∞，()()U 2,3A B ⋂=-.
故选：B
2．设0.9
19y =，0.48
227y =， 1.5
313y -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，则（ ）
A ．312y y y >>
B ．213y y y >>
C ．132y y y >>
D ．123y y y >>
【答案】C
【分析】根据指数的运算及指数函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可知，0.9
1.819
3y ==，()
0.48
0.483
1.4422733y ===，
()1.5
1.5
1
1.5331333y y ---⎛⎫⎡⎤
==== ⎪
⎣⎦
⎝⎭
，
又函数3x y =在R 上是单调递增函数，
因为1.8 1.5 1.44>>，所以 1.8 1.5 1.44333>>，故132y y y >>， 故选:C ．
3．已知函数()
2
1y f x =-的定义域[]2,3-，则函数()()212
f x
g x x +=
+的定义域是（ ）
A ．()(],22,3-∞--
B ．[)(]8,22,1---
C ．(]9,22,02⎡⎫---⎪
⎢⎣⎭
D ．9,22⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
【答案】C
【分析】先求出()f x 的定义域，再求使()g x 有意义的自变量范围即可．
【详解】因为函数()
2
1y f x =-的定义域[]2,3-，
所以2811x -≤-≤，即()f x 定义域为[8,1]-，
由题意821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解得9
02x -≤≤且2x ≠-．
所以定义域为9,2(2,0]2⎡⎫
--⋃-⎪⎢⎣⎭
．
故选：C ．
4．我们知道比较适合生活的安静环境的声强级L （噪音级）为30~40dB ，声强I （单位：2W/m ）与声强级L （单位：dB ）的函数关系式为10aL I b =⋅（a ，b 为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为 5.2210W/m -，声强级为68dB ，驶进市区附近降低速度后的声强为 6.5210W/m -，声强级为
55dB ，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（ ）
A ．9210W/m -
B ．8210W/m -
C ．7210W/m -
D ．6210W/m -
【答案】B
【分析】利用题意得到 5.2686.55510101010
a
a b b --⎧=⋅⎨=⋅⎩，解出
,a b 的值，代回10aL I b =⋅得到0.11210L I -=，通过单调性可以得到最大值
【详解】由题意可知 5.2686.55510101010
a
a b b --⎧=⋅⎨=⋅⎩，解得0.1a =，12
10
b -=，所以120.10.112101010L L I --=⋅=，易得当L 越大时，I 越大，
所以当40L =时，达到安静环境要求下的I 取得最大值()0.14012
82max 10
10W/m I ⨯--==． 故选：B ．
5．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()2
23f x x x =--，则不等式()0f x <的解集为
（ ） A ．()()3,00,3- B ．()(),30,3-∞-⋃ C ．()()3,03,-⋃+∞ D ．()(),14,7-∞⋃
【答案】B
【分析】先求()f x 在R 上的解析式，再分段可求()0f x <的解集.
【详解】设0x <，则0x ->，故()2
23f x x x -=+-，
而()()2
23f x f x x x =--=--+，又()00f =，
故()2223,00,023,0x x x f x x x x x ⎧--+<⎪
==⎨⎪-->⎩
，
又()0f x <等价于22300x x x ⎧--+<⎨<⎩或22300x x x ⎧--<⎨>⎩
或00
0x <⎧⎨=⎩，
故3x <-或03x <<， 故选：B.
6．已知函数()3,0
3,0x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()1f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B
【分析】根据函数的单调性求解.
【详解】函数()3,0
3,0
x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩的图象，如图所示：
由图象知：函数在R 上单调递增，
所以()()1f a f a -≥-转化为1a a -≥-， 解得 12
a ≥， 故选；B
7．已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+．若11,12x ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[1,2]
D ．1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】B
【分析】由题意，函数()f x 的值域是函数()g x 的值域的子集，利用单调性求出函数()f x 与函数()g x 的值域即可求解.
【详解】解：因为函数4()f x x x =+
在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()175,2f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 又函数()2x g x a =+在[2,3]上单调递增，所以()[]4,8g x a a ∈++， 因为11,12x ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x =，
所以[]175,4,82a a ⎡⎤
⊆++⎢⎥⎣⎦
，
所以178245
a a ⎧
+≥
⎪⎨
⎪+≤⎩，解得112a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
故选：B.
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，如：[]2.13-=-，[]3.13=，已知()132
13
x x f x +-=+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ）
A ．{}0,3-
B ．{}0,1-
C ．{}0,1,2--
D ．{}1,0,1,2--
【答案】C
【分析】结合指数函数性质求得()f x 的值域，然后再根据新定义求[()]y f x =的值域．
【详解】11117
3321733()133133(31)
x x
x x x f x ++++-
-===-
+++，显然1311x ++>，177(0,)3(31)3
x +∈+， 所以()f x 的值域是1
(2,)3
-，
当2()1f x -<<-时，[()]2f x =-，
10x -≤<时，[()]1f x =-，当1
0()3
f x ≤<时[()]0f x =，
所以所求值域是{2,1,0}--． 故选：C ．
二、多选题
9．以下结论正确的是（ ）
A ．函数21
x y x
+=的最小值是2
B ．若a ，R b ∈且0ab >，则2b a a b +≥
C ．若x R ∈，则221
32x x +++的最小值为3 D ．函数()120y x x x
=++<的最大值为0
【答案】BD
【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断 【详解】对于A ，当0x <时，0y <，故A 错误，
对于B ，由基本不等式知当0ab >，则2b a
a b
+≥，故B 正确，
对于C ，令2
2122
x x +=
+，方程无解，则
2
212132x x +++≥+等号不成立，故C 错误， 对于D ，当0x <时，1
2x x +≤-，当=1x -时等号成立，故函数()120y x x x
=++<的最大值为0，故D 正确， 故选：BD
10．下列说法正确的有（ ）
A ．命题“2R,20x x x ∃∈--=”的否定是"2R,20x x x ∀∈--≠”
B ．若命题“2R,1x x m ∀∈+>”是真命题，则实数m 的取值范围是(],1-∞
C ．设,R a b ∈，则“1ab a b +≠+”的充要条件是“,a b 都不为1”
D ．已知0,0a b >>，1a b +=，则1
a b ab +的最小值为2
【答案】ACD
【分析】根据命题的否定即可判断A ，根据恒成立转化成最值问题即可判断B,根据充要条件的判断即可求解C,根据基本不等式即可求解D.
【详解】命题“2R,20x x x ∃∈--=”的否定是"2R,20x x x ∀∈--≠”,故A 对，
2R,1x x m ∀∈+>，则()
2
min
1
1m x m <+⇒<，故B 错误，
()()()11101,1ab a b a b a b +-+=--≠⇔≠≠，故C 对，
()1121212
11222a b a b a b a b b ab b ab b a b a b a -+⎛⎫+=+=+-=++-=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当
1,2a b ==
故选：ACD
11．若4455x y x y ---<-，则下列关系正确的是（ ）
A ．x y <
B ．33
y x -->
C D ．133y
x -⎛⎫
< ⎪⎝⎭
【答案】AD
【分析】先由4455x y x y ---<-变形为4545x x y y ---<-，构造函数()45x x
f x -=-，利用其单调性，得
到x ，y 的大小关系，再逐项判断.
【详解】由4455x y x y ---<-得4545x x y y ---<-，令()45x x
f x -=-，则()()f x f y <，
因为5,4x x y y --==在R 上都是增函数，所以()f x 在R 上是增，所以x y <，故A 正确； 当2,1x y =-=-时， 33y x --<，故B 错误；
当0,0x y >> 0,0x y <<<C 错误；
因为13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在R 上递减，且x y ->-，所以1133y
x
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133y
x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故正确；
故选：AD
12．已知函数()1
2
ax a f x x -+=
+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为()(),22,-∞-⋃-+∞
B ．当函数()f x 的图象关于点()2,3-成中心对称时，32
a = C ．当1
3
a <时，()f x 在()2,+∞上单调递减
D ．设定义域为R 的函数()g x 关于(2,2)-中心对称，若2a =，且()f x 与()g x 的图象共有2022个交点，记为(),i i i A x y （1i =，2，…，2022），则()()1122x y x y ++++()20222022x y ++的值为0
【答案】ACD
【分析】对A ：由20x +≠即可判断；对B ：由13()2
a
f x a x -=++，可得()f x 的图象关于点(2,)a -成中心对称，从而即可判断；对C ：13()2
a
f x a x -=+
+，且130a ->，即可判断；对D ：由函数()f x 和()g x 图象关于(2,2)-对称，则()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于(2,2)-对称，从而即
可求解判断.
【详解】解：对A ：要使函数1
()2
ax a f x x -+=
+有意义，则20x +≠，即2x ≠-，
∴()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞，所以选项A 正确； 对B ：∵1(2)21()22ax a a x a a f x x x -++--+=
=++132
a
a x -=++，
∴()f x 的图象关于点(2,)a -成中心对称，
∴当函数()f x 的图象关于点(2,3)-成中心对称时，3a =，所以选项B 不正确； 对C ：由选项B 知13()2
a f x a x -=++，当1
3a <时，130a ->，
∴13()2
a
f x a x -=+
+在(2,)-+∞单调递减，所以选项C 正确； 对D ：∵2a =，135
()222
a f x a x x --=+
=+++， ∴()f x 的图象关于(2,2)-对称，又函数()g x 的图象关于(2,2)-对称， ∴()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于(2,2)-对称，
()()()
112220222022x y x y x y ∴++++++()()()1220221220222022220222x x x y y y =++
++++
=⨯-+⨯404440440=-+=，所以选项D 正
确.
故选：ACD.
三、填空题 13．不等式
211
x 的解集是___________.
【答案】{}13x x <≤
【分析】由题设可得(1)(3)0
10x x x --≤⎧⎨-≠⎩
求解集即可.
【详解】由题设231011x x x --=≥--，则(1)(3)010x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得13x <≤，
所以解集为{}13x x <≤. 故答案为：{}13x x <≤
14．已知函数()()()()
2
21,23,2x x f x x x ⎧-≤⎪
=⎨->⎪⎩，记函数()()g x f x b =-（其中01b <<）的4个零点分别为1x ，
2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则1
2
3422x x x x +++的值为___________.
【答案】8
【分析】将函数()()g x f x b =-的零点转化为()f x 与y b =图象交点的横坐标，然后根据二次函数的对称性得到346x x +=，结合()f x 的解析式和图象可得121x b -=-，12222x x +=，然后求123422x x x x +++即可.
【详解】
函数()()g x f x b =-的零点可以看做()f x 与y b =图象交点的横坐标，()f x 和y b =的图象如上图所示，
根据二次函数的对称性得到34236x x +=⨯=，
由图可知，121x b -=-，221x b -=，则12222x x +=，所以1234228x x
x x +++=.
故答案为：8.
15．已知函数()()2
21
x a x f x a --+=（0a >且1a ≠）在区间3,14⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减，则实数a 的取值范围是
___________.
【答案】4a ≥或102
a <≤
【分析】将复合函数看做t y a =，()2
21t x a x =--+，然后分1a >和01a <<两种情况讨论内外函数
的单调性，根据单调性列不等式求解即可.
【详解】复合函数()()2
21
x
a x f x a
--+=可以看做t y a =，()2
21t x a x =--+，
当1a >时，外函数t y a =单调递增，所以内函数()2
21t x a x =--+在3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减，则212a -≥，解得4a ≥；
当01a <<时，外函数t y a =单调递减，所以内函数()2
21t x a x =--+在3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递增，则
2324a -≤-，解得1
2
a ≤；
综上所述，4a ≥或102a <≤. 故答案为：4a ≥或102
a <≤
. 16．若对任意的x D ∈均有()()()g x f x h x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()g x 和函数()h x 在区间
D 上的“N 函数”.已知函数()()11f x k x =--，()3g x =-，()2
1h x x =+，且()f x 是()g x 和()h x 在区
间[]1,2上的“N 函数”，则实数k 的取值范围是___________.
【答案】01k ≤≤
【分析】根据题意得到()113k x --≥-且()2
111x k x +≥--，即2
1k x -≥
+且21k x x
≤++，然后通过求max 21x -⎛⎫
+ ⎪⎝⎭和min 21x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭即可得到k 的取值范围.
【详解】根据题意得，当[]1,2x ∈时，()()f x g x ≥，()()f x h x ≤，即()113k x --≥-①，
()2111x k x +≥--②，
①式可整理为2
1k x -≥
+，则max
210k x -⎛⎫≥+=
⎪⎝⎭； ②式可整理为21k x x ≤++，则min 21k x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭
，而211x x
++≥，当且仅当2
x x =
，即x =时
等号成立，所以1k ≤，
综上所述，01k ≤≤.
故答案为：01k ≤≤.
四、解答题
17．已知函数()2
e 1
x
f x m =+
+. (1)若函数()f x 为奇函数，求实数m 的值.
(2)当1m =时，求()()()()()()()()()432101234f f f f f f f f f -+-+-+-+++++的值. 【答案】(1)1m =-； (2)18.
【分析】（1）由奇函数(0)0f =求参数m ，并验证.
（2）由（1）易知()()2g x f x =-为奇函数，结合()()0g x g x -+=即可求结果. 【详解】（1）由()f x 定义域为R 且为奇函数，则(0)10f m =+=，可得1m =-，
所以21e ()1e 1e 1x x x f x -=-=++，则11e e 1e ()()e 11e e 1
x x x
x x x f x f x -----===-=--+++满足，
所以1m =-.
（2）当1m =时，令()()2g x f x =-，则()()2
21e 1
x g x f x =-=
-+， 由（1）知()g x 为奇函数，则()()()()()()()()()4321012340g g g g g g g g g -+-+-+-+++++=， 所以()()()()()()()()()43210123418f f f f f f f f f -+-+-+-+++++=.
18．已知集合{}
()2
10R A x x ax a a =-++<∈，集合{}14B x x =≤≤.
(1)若5a =，求()A B ⋂R ；
(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){|12x x ≤≤或34}x ≤≤；
(2)17
23
a -≤≤.
【分析】（1）解一元二次不等式求集合A ，应用集合的交、补运算求集合.
（2）由充分不必要关系知A B ，讨论A =∅、A ≠∅，结合二次函数性质列不等式求参数范围.
【详解】（1）当5a =时，{}
{}256023A x x x x x =-+<=<<，则
{|2A x x =≤R
或3}x ≥，
所以()A B =R {|12x x ≤≤或34}x ≤≤.
（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 真包含于集合B . 当A =∅时，0∆≤
得：22a -≤+
当A ≠∅时，设()2
1f x x ax a =-++，则需()()104014
2Δ0
f f a ⎧≥⎪
≥⎪⎪⎨<<⎪⎪>⎪⎩
，解得1723a +<≤.
综上，17
23
a -≤≤
. 19．设函数()25,2
5,2x ax a x f x ax x ⎧-+≥=⎨+<⎩，其中a 为常数．
(1)若对任意1x ，2x R ∈，当12x x ≠时，
()()1212
0f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求()243g x x ax =-+在区间[1，3]上的最小值()h a ，并求()h a 的最小值． 【答案】(1)[1,4]
(2)()2334,1,231212,42a a h a a a ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩
，()h a 的最小值为－36.
【分析】(1)结合已知条件可知()f x 在定义域上为增函数，然后结合一元二次函数和一次函数的性质即可求解；(2)结合(1)的结论，对参数a 分类讨论并结合一元二次函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为25y x ax a =-+的对称轴为2
a x =
，且开口向上， 由题意可知，函数()f x 在定义域上为增函数， 则实数a 应满足22
2022525a a a a a ⎧≤⎪⎪>⎨⎪-+≥+⎪⎩
，解得14a ≤≤，
故实数a 的取值范围为[1,4].
（2）()()2
2243=234g x x ax x a a =-+-+-，其图像的对称轴为直线2x a =，且开口向下， 由(1)得228a ≤≤，
①当223a ≤≤，即312a ≤≤时，()()2234h a g a a ==-， 因为()h a 在3[1,]2
上单调递减， 此时()min 3934624h a h ⎛⎫==-⨯=- ⎪⎝⎭
； ②当328a <≤，即342
a <≤时，()()31212h a g a ==-在3(,4]2上单调递减， 此时()()min 41212436h a h ==-⨯=-，
综上所述，()2334,1,231212,42a a h a a a ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩
，且()h a 的最小值为－36． 20．在治疗新型冠状病毒引起的肺炎的过程中，需要某医药公司生产的某种药物，此药物的年固定成本为250万元，每生产x 千件需投入成本()C x .当年产量不足80千件时，()21103
C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x =+
-（万元），每件药品售价为0.05万元.在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.
(1)写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？该公司决定将此药品所获利润的1%用来购买防疫物资捐赠给医疗机构，当这一药品的生产中所获年利润最大时，可购买多少万元的防疫物资？
【答案】(1)()2140250,080,3100001200,80.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩
(2)100x =（千件）时生产中所获利润最大，此时可购买10万元抗疫物资.
【分析】（1）讨论080x <<、80x ≥分别求得对应解析式，再写出()L x 的分段函数形式即可； （2）应用二次函数、分式型函数的性质分别求()L x 在不同分段上的最大值，比较大小，即可知利润最大时所购买的防疫物资费用.
【详解】（1）当080x <<时，()22110.051000102504025033L x x x x x x ⎛⎫=⋅-+-=-+- ⎪⎝⎭
； 当80x ≥时，()10000100000.0510005114502501200L x x x x x x ⎛⎫=⋅-+--=--+ ⎪⎝⎭
， 因此()2140250,080,3100001200,80.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩
（2）当080x <<时，()221140250(60)95033
L x x x x =-+-=--+，故()()max 60950L x L ==， 当80x ≥时，(
)10000120012001000L x x x =--
+≤-=，当10000x x =，即100x =时所获利润取到最大值.
因此当100x =（千件）时生产中所获利润最大，此时可购买10001%10⨯=万元抗疫物资. 21．已知函数()g x 对一切实数,x y R ∈都有()()()22g x y g y x x y +-=+-成立，且()10g =，()()g x f x x =. （1）求()0g 的值和()g x 的解析式；
（2）若关于x 的方程()2213021
x x k f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()01g =，()221g x x x =-+；（2）()0,∞+.
【解析】（1）先令1x =，0y =，可解得()0g ，然后在()()()22g x y g y x x y +-=+-中，令0y =则可得到()g x 的解析式；
（2）先将()221302x x k f k -+-=的表达式化至最简得()()2212321120x x k k --+-++=，然后利用换元法，将问题转化为二次方程根的分布问题求解.
【详解】解：（1）令1x =，0y =得()()101g g -=-，
∵()10g =，∴()01g =，
令0y =得()()()02g x g x x -=-，即()221g x x x =-+.
（2）由题意可知()()
12g x f x x x x
==-+， 所以()12121221
x x x f -=--+-， 即()()212213212302121
x x x x k k f k k +-+-=--++=-- 所以方程()2213021
x x k f k -+-=-可化为： ()()2
212321120x x k k --+-++=，其中210x -≠，即0x ≠， 令()210x t t -=>，则方程化为()()223120t k t k -+++=，
∵方程()2213021
x x k f k -+-=-有三个不同的实数解， ∴由21x t -=的图象知，()()()2231200t k t k t -+++=>有两个根1t 和2t ，且1201t t <<<或
1201,1t t <<=
记()()()22312h t t k t k =-+++，
则()()021010h k h k ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩
，此时0k >，
或()()021********h k h k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩
，此时k 无解，
综上实数k 的取值范围是()0,∞+.
【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查函数与方程思想的运用、数形结合思想的运用，难度较大.一般地，对于已知方程()()2
0a f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦的根的个数求参数的取值范围问题，解答通法如下：
（1）分析函数()f x 的图象及性质；
（2）换元，令()t f x =，则20at bt c ++=，然后根据原方程的个数结合()t f x =的图象分析方程20at bt c ++=的根的分布情况； （3）利用二次方程根的分布问题求解参数的取值范围.
22．定义在D 上的函数()f x ，如果满足；对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数
()()12124,12x
x x
x m f x a g x m -⋅=+⋅+=+⋅. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在()0,+∞上的值域，并判断函数()f x 在()0,+∞上是否为有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）若()f x 是(],0-∞上的有界函数，且()f x 的上界为3，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若0m >，求函数()g x 在[]0,1上的上界T 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（3，+∞），不是有界函数．（Ⅱ）﹣5≤a ≤1；（Ⅲ
）当0m ⎛∈ ⎝⎦
时，T 的取值范围是11m m -⎡⎫+∞⎪⎢+⎣⎭，
；当m ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭
时，T 的取值范围是[1212m m --+，+∞） 【分析】（Ⅰ）当a ＝1时，易知f （x ）在（0，+∞）上递增，有f （x ）＞f （0）＝3，再由给出的定义判断；
（Ⅱ）根据函数f （x ）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+2x +4x |≤3，换元以后得到关于t 的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a 的范围．
（Ⅲ）据题意先研究函数g （x ）在[0，1]上的单调性，确定函数g （x ）的范围，即分别求的最大值
和最小值，根据上界的定义，T 不小于最大值，从而解决．．
【详解】（Ⅰ）当a ＝1时，()124x x f x =++
因为f （x ）在（0，+∞）上递增，所以f （x ）＞f （0）＝3，
即f （x ）在（0，+∞）的值域为（3，+∞）故不存在常数M ＞0，使|f （x ）|≤M 成立
所以函数f （x ）在（﹣∞，0）上不是有界函数．
（Ⅱ）由已知函数f （x ）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a 2x +4x |≤3
设t ＝2x ，所以t ∈（0，1），不等式化为|1+at +t 2|≤3
当012a -
≤＜时，12134a -≥-且2+a ≤3得﹣2≤a ＜0 当02
a -≤或12a -≥ 即a ≤﹣2或a ≥0时，得﹣5≤a ≤﹣2或0≤a ≤1
综上有﹣5≤a ≤1
（Ⅲ）()2121
x g x m =-+⋅+， ∵m ＞0，x ∈[0，1]
∴g （x ）在[0，1]上递减，
∴g （1）≤g （x ）≤g （0）即()121121m m g x m m
--≤≤++ ①当112112m m m m --≥++，即02m ⎛∈ ⎝⎦
，时，()11m g x m -≤+， 此时11m T m -≥
+，
②当112112m m m m --++＜，即m ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭
时，()1212m g x m -≤+， 此时1212m T m -≥
+， 综上所述，当02m ⎛∈ ⎝⎦
，时，T 的取值范围是11m m -⎡⎫+∞⎪⎢+⎣⎭，；
当m ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭
时，T 的取值范围是[1212m m --+，+∞） 【点睛】本题考查函数的综合问题，关键是利用条件中新定义的有界函数的意义来解题，主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，属于较难题型．。