施密特正交化

施密特正交化
1. 简介
施密特正交化是一种线性代数中常用的算法，用于将一个线性无关的向量组转换为一个正交向量组。

这个算法的基本思想是通过迭代的方式将原始向量组中每一个向量减去前面的向量在当前向量的投影，从而使得每一个新的向量与前面的向量正交。

2. 算法步骤
施密特正交化算法的具体步骤如下：
1.输入一个线性无关的向量组V = {v1, v2, …, vn}。

2.初始化正交向量组 Q 为空集。

3.对于每一个向量v ∈ V，执行如下操作：如果 v 与 Q 中的所有向量都
正交，则将 v 加入到 Q 中。

否则，通过减去 v 在 Q 中所有向量的投影，得到一个正交于 Q 中向量的新向量，将其加入到 Q 中。

4.输出正交向量组 Q。

3. 算法示例
以下是一个示例来说明施密特正交化算法的具体过程。

假设有一个线性无关的向量组 V = {v1, v2, v3}，其中 v1 = [1, 2, 3]，v2 = [4, 5, 6]，v3 = [7, 8, 9]。

首先将 v1 加入到正交向量组 Q 中，得到 Q = {v1}。

然后对于 v2，先计算其在 v1 上的投影。

投影计算公式如下：
proj(v, u) = (v · u) / (u · u) * u
其中 ·表示向量的点积运算。

计算投影时，需要注意点积的顺序。

在这个例子中，我们需要计算 v2 在 v1 上的投影，因此需要计算 proj(v2, v1)。

计算结果为 [9/14, 18/14, 27/14]。

接下来，我们需要减去 v2 在 v1 上的投影，得到一个与 v1 正交的新向量。

计算结果为 [-5/14, -22/14, -21/14]。

将这个新向量加入到正交向量组 Q 中，得到 Q = {v1, [-5/14, -22/14, -21/14]}。

最后，我们对于 v3 重复以上步骤。

计算 v3 在 v1 上的投影为 [42/35, 84/35, 126/35]，减去投影后得到新向量为 [-37/35, -82/35, -99/35]。

计算 v3 在 v2 上的投影为 [189/77, 378/77, 567/77]，减去投影后得到新向量为 [-686/1001, -
1890/1001, -567/1001]。

将这两个新向量加入到正交向量组 Q 中，得到最终的正交向量组 Q = {[1, 2, 3], [-5/14, -22/14, -21/14], [-686/1001, -1890/1001, -567/1001]}。

4. 应用与优势
施密特正交化算法在线性代数中有广泛的应用。

它可以用于将一组线性无关的向量转换为一组正交的向量，方便进行计算和求解问题。

正交向量组具有很多优良的性质，比如计算方便、计算量小、几何直观等。

此外，施密特正交化算法还可以用于解决线性方程组的问题。

通过将线性方程组的系数矩阵进行施密特正交化，可以得到一个正交矩阵。

正交矩阵具有很多重要的性质，比如行列式等于1、转置等于逆等。

这些性质可以在求解线性方程组的过程中发挥重要作用。

5. 总结
施密特正交化算法是一种常用的线性代数算法，用于将线性无关的向量组转换为正交向量组。

它通过迭代的方式逐个减去前面向量在当前向量上的投影，从而使得每个新向量与前面向量正交。

施密特正交化算法具有广泛的应用，在求解线性方程组、计算、几何等多个领域发挥重要作用。

它能够简化计算、提高效率、方便求解等，是线性代数学习和应用中不可或缺的重要算法之一。

6. 参考文献
•Gilbert Strang. (2006). Introduction to Linear Algebra. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press.
•David Lay, Steven Lay, Judi McDonald. (2015). Linear Algebra and Its Applications. Harlow, UK: Pearson Education Limited.。