高三数学-2018学年度江西定南中学高三9月月考数学试卷

定南中学2018～2018学年高三第一次月考
数 学 试 卷 2018.9
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分. 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2.请用黑色水笔或钢笔答卷.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设集合M =}2x 0|x {<≤，N =}03x 2x |x {2<--，则集合M ∩N 等于
A.}1x 0|x {<≤
B.}2x 0|x {<≤
C.}1x 0|x {≤≤
D.}2x 0|x {≤≤ 2.函数f(x)=
x
1(x ≠0)的反函数f -1
(x)等于 A.x(x ≠0) B.
x
1(x ≠0) C.-x(x ≠0) D.x 1
-(x ≠0)
3.已知函数f(x)在(－，＋)上为增函数。

a 、b ∈R 。

对于命题“若a ＋b ≥0，则f(a)+f(b) ≥ f(-a)+f(-b)”有下列结论：①此命题的逆命题为真；②此命题的否命题为真；③此命题的逆否命题为真；④此命题的逆命题和否命题有且只有一个为真。

其中正确结论的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知奇函数f(x)在区间[-b ，-a]上为减函数，且在此区间上f(x)的最小值为2，那么 g(x)＝－|f(x)|在区间[a,b]上是
A.增函数且最大值为－2
B. 增函数且最小值为－2
C.减函数且最大值为－2
D. 减函数且最小值为－2 5.已知A 、B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且||=5，则∙等于 A.25-
B.25
C.0
D.
32
5
6.一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤人员24人.为了解职工身体情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如用分层抽样，由管理人员应抽到的个数为 A.3 B.12 C.5 D.10
7.甲、乙两人独立地解同一道题，甲、乙解对的概率分别是p 1、p 2，那么至少有一人解对的概率是
A.p 1+p 2
B.p 1·p 2
C.1-p 1·p 2
D.1-(1-p 1)·(1-p 2)
8.直线a 是平面α的斜线，b ⊆α，当a 与b 成60°角且b 与a 在α内的射影成45°角时，a 与
α所成的角是
A.60°
B.45°
C.90°
D.135° 9.62
]a
x x a [
-
展开式的第三项为
A.x 15
B.x 15-
C.22a x 6-
D.2a
20
10.已知等差数列{a n }的通项公式为a n =2n+1，其前n 项和为S n ，则数列{
n
S n
}的前10项和为 A.120 B.70 C.75 D.100 11.)n 1n (n lim n -+∞
→等于
A.3
1
B.0
C.21
D.不存在
12.利用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3·…·(2n-1)时，由k 到k+1左边应添加
的因式是 A.2k+1 B.
1k 1k 2++ C.1k )2k 2)(1k 2(+++ D.1
k 3
k 2++
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.正三棱锥的顶点都在同一个半径为R 的球面上，球心到该棱锥底面的距离是球半径的一半，则该棱锥的体积是__________.
14.函数f(x)=3ax+2b-2-a ，x ∈[-1，1]，若f(x)≥1恒成立，则b 的最小值为_________. 15.与双曲线16
y 9x 2
2-
=1有共同的渐近线，且经过点(-3，-23)的双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离是__________.
16.已知函数f(x)=log 2
1(x 2
-ax-a)的值域为R ，且f(x)在(-∞，1-3)上是增函数，则a 的取值
范围是__________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
求函数x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=的最小正周期和最小值，并写出该函数在],0[π上的单调递增区间。

18.(本小题满分12分)
已知ABC —A 1B 1C 1为正三棱柱，D 是AC 的中点(如图所示). (1)证明：AB 1∥平面DBC 1.
(2)若AB 1⊥BC 1，BC =2.
①求二面角D —BC 1—C 的大小；
②若E 为AB 1的中点，求三棱锥E —BDC 1的体积.
19.(本小题满分12分)
有一批种子，每粒发芽的根率为
3
2
，播下5粒种子，计算； (1)其中恰好有4粒发芽的概率；
(2)其中至少有4粒发芽的概率；
(3)其中恰好有3粒没发芽的概率. (以上各问结果均用最简分数作答)
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=|x-a|，g(x)=x 2
+2ax+1(a 为正常数)，且函数f(x)与g(x)的图象在y 轴上的截距相等.
(1)求a 的值；
(2)求函数f(x)+g(x)的单调递增区间；
(3)若n 为正整数，证明：10f(n)
·(
5
4)g(n)
＜4.
21.(本小题满分12分)
已知△OFQ 的面积为S ，且1FQ OF =∙. (1)若2
1
＜S ＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；
(2)设|OF |=c(c ≥2)，S =c 4
3，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点Q ，当||取得最小值时，求此椭圆的方程.
22.(本小题满分14分)
数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，3tS n -(2t+3)S n-1=3t ，其中t ＞0，n ∈N *
，n ≥2. (1)求证：数列{a n }是等比数列；
(2)设数列{a n }的公比为f(t)，数列{b n }满足b 1=1，b n =f(1n b 1
-)(n ≥2)，求b n 的通项公式；
(3)记T n =b 1b 2-b 2b 3+b 3b 4-b 4b 5+…+b 2n-1b 2n -b 2n b 2n+1，求证：T n ≤9
20-
.
定南中学2018～2018学年高三第一次月考
数学参考答案
一、选择题
1．B 解x 2
-2x-3＜0，得-1＜x ＜3. 2.B 3.C 4.B 5.A 6.C 7.D 研究其对立事件的概率.
8.B 设所求角为θ，则cos60°=cos θ·cos45°. 9.A
10.C 可求得S n =n(n+2),
2n n
S n
+=. 11.C 将分子局部有理化，原式=2
1n
1111lim
1
n n n lim
n n =
+
+=++∞
→∞
→. 12.
二、填空题 13.
3R 3239或3
R 32
33 此三棱锥的高为2R 或
2R 3两种情况，底面边长均为2R 3. 14.
23 函数f(x)是一次函数，故由题意得⎩⎨⎧≥≥-,1)1(f ,1)1(f 即⎩⎨⎧≥-+≥-+-.
03b 2a 2,03b 2a 4消去a,得b ≥23
. 15.2 设所求双曲线方程为
，16
y 9x 2
2λ=-将点的坐标代入，得41=λ，故所求的焦点到渐近线的距离为虚半轴长，为2.
16.0≤a ≤2 由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-≥-≥∆,312
a
.，0＞　
)31(f ，
0解之即得 三、解答题
17.解：x x x x x y 2sin 3)2cos 2)(sin 2cos 2(sin +-+=
)2sin(22cos 2sin 36π-=-=x x x 最小正周期T ＝π，y min ＝－2
由262222π
ππππ+≤-≤-k x k 得
)(3
6Z k k x k ∈+≤≤-π
πππ
令k ＝0，1并注意到x ∈[0,π],
所以该函数在[0,π]上得单调递增区间是[0,3
π]和[ππ
,65] 18.(1)证明：连结CB 1交BC 1于O ，连结OD.
∴OD ∥AB 1，OD 在面DBC 1内.∴AB 1∥平面DBC 1.
4分
(2)解：①OD ⊥BC 1，又O 为BC 1中点，∴DO =DC 1.∴CC 1=2. 过O 作OM ⊥BC 1交BC 于H ，则OH =
2
3
，∠HOD 为所求. BH =23,2
3DH =
,∴cos θ=
2
2
.∴θ45°. 8分
②6
6
233121V 21V 21V V 1111111DC A B BDC A D EC A BDC E =
⨯⨯⨯==-=
-=--. 12分 19.解：(1)4
5C ·(
32)4·(31)=24380.
4分
(2)243
112
2433224380)3
2
()31()3
2
(C 5
4
4
5=+=
+. 8分
(3)243
40243410)3
2()3
1
(C 2
3
3
5=⨯
=. 12分 20.(1)解：由题意，得f(0)=g(0),|a|=1.又a ＞0，所以a =1.
4分 (2)解：f(x)+g(x)=|x-1|+x 2
+2x+1.
当x ≥1时，f(x)+g(x)=x 2
+3x ，它在[1,+∞]上单调递增； 6分 当x ＜1时，f(x)+g(x)=x 2
+x+2，它在[-2
1，1]上单调递增.
8分
(3)证明：设c n =10f(n)
·(
5
4)g(n)
，考查数列｛c n ｝的变化规律. 解不等式
n
1n c c +＜1，由c n ＞0，上式化为10·3
n 2)54(+＜1.
10分
解得n ＞
7.32
3
8.0lg 21≈-，因n ∈N ，得n ≥4，于是c 1≤c 2≤c 3≤c 4，而c 4＞c 5＞c 6＞…，
所以10
f(n)
·)4(f )
n (g 10)
5
4
(≤·3)4(g 10)54(=·4＜)5
4
(25.
12分
21.解：(1)S =|OF |2
1
·><FQ ,OF sin |FQ |，
2分
OF ·><=,cos ||||， 3分
∴S =
><,tan 21
. ∵2＜S＜2
1
，∴1＜tan<，>＜4.
又∵θ∈[0,π]∴θ∈[4
π
，arctan4].
6分
(2)y Q =><=,tan 2
1c 4
3,23.
8分
∴tan ,c 23FQ ,OF >=
<∴c
1c x Q +=. 当c ≥2时，c+
c 1递增，∴|OQ|取最小值时，c =2,)2
3,25(Q .25x Q =， ∴2a =2
2
2
2
)2
3()22
5()2
3()225(++++-=10 ∴b 2
=a 2
-c 2
=52
-22
=21. ∴a =5.
∴所求椭圆方程为21
y 25x 2
2-=1. 12分 22.(1)解：3tS n -(2t+3)S n-1=3t ① 3tS n+1-(2t+3)S n =3t.
②
②-①得3ta n+1-(2t+3)a n =0. ∴
t
33
t 2a a n 1n +=
+.∴从第二项起｛a n ｝为等比数列.又a 1=1,3t(a 1+a 2)-(2t+3)a 1=3t. 4分
解得a 2=
t
33
t 2+. ∴
n
1n 2312a a a a a a +=== .∴｛a n ｝为等比数列. 5分
(2)解：f(t)=32
b 32b 3b 133b 1
2
b ,t
33
t 21n 1n 1
n 1n n +=+=+=+----. 8分
∴3
2
b b 1n n =
--为常数，数列｛b n ｝为等差数列. b n =1+(n-1)·
3
1n 3232+=. 10分 (3)证明：T n =b 2(b 1-b 3)+b 4(b 3-b 5)=+…+b 2n (b 2n-1-b 2n+1)
11分
=-3
4
(b 2+b 4+…+b 2n ) =-34·9
)6n 4(n 22)31
n 435(n +-=++ =-
9
4(2n 2
+3n). 当n ≥2时，2n 2
+3n 单调递增. ∴T n ≤-
9
20
954-⨯. 14分。