初三数学上册的知识点归纳

《初三数学上册知识点归纳》
一、引言
初三是初中学习的关键阶段，数学作为重要的学科之一，其上
册的知识点既对初中阶段的数学知识进行了深化，又为后续的学习
奠定了基础。

掌握好初三数学上册的知识点，对于提升数学成绩、
培养逻辑思维能力至关重要。

本文将对初三数学上册的主要知识点
进行归纳总结，帮助同学们更好地复习和掌握。

二、一元二次方程
1. 一元二次方程的概念
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做
一元二次方程。

一般形式为\(ax²+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）。

2. 一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：适用于形如\((x+m)²=n\)（\(n\geq0\)）
的方程。

（2）配方法：通过配方将一元二次方程转化为完全平方式来求解。

（3）公式法：对于一元二次方程\(ax²+bx+c=0\)
（\(a\neq0\)），其解为\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b²-4ac}}{2a}\)。

（4）因式分解法：将方程左边因式分解为两个一次因式的乘积，从而使方程化为两个一元一次方程来求解。

3. 一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程\(ax²+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），判别式
\(\Delta=b²-4ac\)。

当\(\Delta>0\)时，方程有两个不相等的实数根；
当\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实数根；
当\(\Delta<0\)时，方程没有实数根。

4. 一元二次方程的应用
一元二次方程在实际问题中有广泛的应用，如增长率问题、面
积问题等。

解题时要注意分析问题中的数量关系，设出未知数，列
出方程并求解。

三、二次函数
1. 二次函数的概念
一般地，形如\(y = ax² + bx + c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)是
常数，\(a\neq0\)）的函数叫做二次函数。

2. 二次函数的图象和性质
（1）图象是一条抛物线。

（2）当\(a>0\)时，抛物线开口向上，有最低点；当\(a<0\)时，抛物线开口向下，有最高点。

（3）对称轴是直线\(x = -\frac{b}{2a}\)。

（4）顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b²}{4a})\)。

3. 二次函数的表达式
（1）一般式：\(y = a x² + bx + c\)。

（2）顶点式：\(y = a(x - h)² + k\)（顶点坐标为
\((h,k)\)）。

（3）交点式：\(y = a(x - x₁)(x - x₂)\)（与\(x\)轴交点坐
标为\((x₁,0)\)，\((x₂,0)\)）。

4. 二次函数的应用
二次函数在实际生活中有很多应用，如求最大利润、最大面积
等问题。

通过建立二次函数模型，利用其性质来解决实际问题。

四、旋转
1. 图形的旋转
（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动
一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转
动的角称为旋转角。

（2）性质：旋转前后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

2. 中心对称
（1）定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够
与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

（2）性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形。

3. 中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

五、圆
1. 圆的有关概念
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（3）直径：经过圆心的弦叫做直径。

（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（5）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（6）等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆。

（7）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

2. 圆的性质
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。

（2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

（3）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

（4）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

3. 点与圆的位置关系
设圆的半径为\(r\)，点\(P\)到圆心的距离为\(d\)，则有：当\(d>r\)时，点\(P\)在圆外；
当\(d=r\)时，点\(P\)在圆上；
当\(d<r\)时，点\(P\)在圆内。

4. 直线与圆的位置关系
（1）相交：直线和圆有两个公共点。

（2）相切：直线和圆只有一个公共点。

（3）相离：直线和圆没有公共点。

设圆的半径为\(r\)，圆心到直线的距离为\(d\)，则有：
当\(d<r\)时，直线与圆相交；
当\(d=r\)时，直线与圆相切；
当\(d>r\)时，直线与圆相离。

5. 圆与圆的位置关系
（1）外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部。

（2）外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部。

（3）相交：两个圆有两个公共点。

（4）内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部。

（5）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个
圆的内部。

设两圆的半径分别为\(R\)和\(r\)（\(R>r\)），圆心距为
\(d\)，则有：
当\(d>R + r\)时，两圆外离；
当\(d = R + r\)时，两圆外切；
当\(R - r<d<R + r\)时，两圆相交；
当\(d = R - r\)时，两圆内切；
当\(d<R - r\)时，两圆内含。

六、概率初步
1. 随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

2. 概率的意义
一般地，对于一个随机事件\(A\)，我们把刻画其发生可能性大
小的数值，称为随机事件\(A\)发生的概率，记为\(P(A)\)。

3. 概率的计算
（1）如果一个试验有\(n\)种等可能的结果，事件\(A\)包含其
中的\(m\)种结果，那么事件\(A\)发生的概率
\(P(A)=\frac{m}{n}\)。

（2）用列表法或画树状图法求概率。

七、结尾
初三数学上册的知识点涵盖了一元二次方程、二次函数、旋转、圆和概率初步等内容。

这些知识点既相互独立，又有一定的联系。

在学习过程中，同学们要注重理解概念、掌握方法，多做练习题，
提高解题能力。

同时，要善于总结归纳，将所学知识系统化，以便
更好地应对考试和实际问题。

总之，初三数学上册的学习是一个不断积累和提高的过程。

只
要同学们认真学习，积极思考，就一定能够掌握好这些知识点，为
中考取得好成绩打下坚实的基础。

摘要：本文对初三数学上册的知识点进行了全面归纳，包括一
元二次方程、二次函数、旋转、圆和概率初步等内容。

对于每个知
识点，都详细阐述了其概念、性质、解法及应用。

通过本文的总结，希望能帮助同学们更好地理解和掌握初三数学上册的知识，提高学
习效率和解题能力，为中考做好充分准备。

同时，在学习过程中，
同学们要注重理论与实际相结合，培养逻辑思维和创新能力。