【k12高考数学模拟】2019届天津市十二重点中学高三下学期毕业班联考(一)数学(理)试题(解析版)

2019届天津市十二重点中学高三下学期毕业班联考（一）数学（理）试题
一、单选题
1．集合等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】求出中的范围确定出，求出中的范围确定出，找出与的交集即可．
【详解】
由，得到，，由中，得到，即，
则，，
故选：
【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到目标函数的最大值.
【详解】
作出不等式组的可行域如图所示，
由题得目标函数为，直线的斜率为纵截距为，
当目标函数经过点A()时，纵截距最小，z最大.
所以.
故答案为：B
【点睛】
本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力. 3．下列三个命题：
①命题：，则：；
②命题：，命题：，则是成立的充分不必要条件；
③在等比数列中，若，，则；
其中真命题的个数为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对每一个命题逐一判断分析得解.
【详解】
①命题：，则：，所以该命题是假命题；
②命题：0≤x≤1，命题：x＜1，则是成立的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；
③在等比数列中，若，，则，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4,所以.所以该命题是假命题.
故选:A
【点睛】
本题主要考查全称命题的否定，考查充要条件的判断，考查等比数列的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．如图是一个算法流程图，则输出的的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】分析程序中的变量，语句的作用，根据流程图的顺序，即可得出答案.
【详解】
由题意提供的算法流程图中的算法程序可知
当S=1，k=1时，S=2<10，k=2；
当S=2，k=2时，S=6<10，k=3；
当S=6，k=3时，S=15>10，
此时运算程序结束，输出k=3
故选B.
【点睛】
本题主要考查了程序框图，属于简单题.
5．将函数的图象向左平移的单位后，得到函数的图象，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将函数的图象向左平移的单位后，得到函数
,所以，解之即得解.
【详解】
将函数的图象向左平移的单位后，得到函数
,所以，因为，所以k=0时，
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．已知,,,则实数的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先化简得到b=2,再分析得到a<c,再证明c<2，即得解.
【详解】
由题得=2，
因为，
，
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查对数函数指数函数幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推
理能力.
7．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，得到以为直径的圆的方程为
，根据三角形的面积求出的坐标，代入双曲线方程进行整理即可得解．【详解】
以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，
以为直径的圆的方程为，
由对称性知的面积，
即，即点的纵坐标为，
则由，得，
因为点在双曲线上，
则，
即，
即，
即，
即，
即，
得，
即，得，得，.
则双曲线的渐近线方程为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
8．已知函数，，则方程的实根个数最多为（）A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】先求出函数g(x)的值域，再令g(x)=t换元得到f(t)=a,作出函数f(x)的图像，数形结合观查分析得到方程的实根个数最多为8.
【详解】
由题得函数的值域为，
设g（x）=t(),
作出函数f(x)的图像为：
所以f(t)=a,
当1≤a≤2时，直线和图像交点个数最多，有四个交点，也就是t有四个实根.且一个t≤-1，有三个t＞1.
因为函数在（0,1）（-1,0）单调递减，在（1，+∞），（-∞，-1）单调递增.
所以g(x)=t, 当t在每取一个t值时，x都有两个值和它对应，因为t最多有4个根，所以x最多有8个解.
故选:C
【点睛】
本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查利用函数的图像研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.
二、填空题
9．若，且，则__________．
【答案】6
【解析】先化简已知得，解方程即得a,b的值，即得解.
【详解】
由题得（a+bi）(1-2i)=8-i,化简得a+2b+(b-2a)i=8-i ,
即.
故答案为：6
【点睛】
本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10．已知，则的二项展开式中，的系数为__________．
【答案】80
【解析】由题得a=2,再利用二项式展开式的通项求出的系数.
【详解】
由题得，所以=，
设二项式展开式的通项为，
令
所以的系数为.
故答案为：80
【点睛】
本题主要考查定积分的计算和二项式展开式的某一项的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
11．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为_____________．
【答案】
【解析】设球的半径为r,由题得，再求圆柱外接球的表面积.
【详解】
设球的半径为r,由题得
故答案为：
【点睛】
本题主要考查圆柱外接球表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12．直线：（为参数），圆：（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆上恰有三个点到直线的距离为，则实数__________．
【答案】
【解析】先求出直线的普通方程为2x+ay-a=0,再求出圆的方程为，根据已知得到方
程，解方程即得a的值.
【详解】
由题得直线的方程为2x+ay-a=0,圆的方程为，
因为圆上恰有三个点到直线的距离为，所以，
解之即得a=.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标与直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13．已知，，是与的等比中项，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】先由已知得到x+2y=1,再对化简变形，再利用基本不等式求其最小值.
【详解】
由题得.
所以=.
当且仅当时取等.
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题
14．在中，内角所对的边分别为，已知.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积，且，求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用余弦定理正弦定理对化简即得. （Ⅱ）先化简
得到,再利用余弦定理求得，再求b+c的值.
【详解】
（Ⅰ）
，，
由正弦定理得，
即，
，,
.
（Ⅱ）,,
,
,, 即.
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15．“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。

甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.
（Ⅰ）设事件为“选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；
（Ⅱ）用表示抽取的人中组女生的人数，求随机变量的分布列和期望.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.
【解析】（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求 . （Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.
【详解】
（Ⅰ）
（Ⅱ）可能取值为,
,
,
,
,
的分布列为
0 1 2 3
.
【点睛】
本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】利用与交于，连接．证明，通过直线与平面平行的判定定理证明平面；
对于存在性问题，可先假设存在，即假设在线段上是否存在点，使二面角的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断．
【详解】
与交于，连接．
由已知可得四边形是平行四边形，
所以是的中点．
因为是的中点，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
由于四边形是菱形，，是的中点，可得．
又四边形是矩形，面面，
面，
如图建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，，，
，，，，，，
设平面的法向量为，，．
则，，
令，，，，
又平面的法向量，0，，
，，解得，
，
在线段上不存在点，使二面角的大小为．
【点睛】
本题主要考查空间直线和平面平行的判断以及二面角的应用，考查存在性问题，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．利用空间向量法求二面角的一般方法，属于中档题. 17．设数列满足，且点在直线上，数列满足：，．
（Ⅰ）数列、的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用等差数列的性质求数列的通项公式，利用等比数列的性质求的通项公式. （Ⅱ）由题得，再利用分组求和、错位相减法求数列的前项和.
【详解】
（Ⅰ）是以为首项，2为公差的等差数列，
，
，是以为首项，3为公比的等比数列，。

（Ⅱ）由(1)知，
设的前项和为
①
②
①—②得，
，
所以。

设的前项和为,
当为偶数时，，
当为奇数时，为偶数，，。

【点睛】
本题主要考查等差数列等比数列的判定和通项的求法，考查错位相减法、分组求和法求数列的前n项和，
意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
18．已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右焦点，为等腰三角形.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与
重合），且点不与点重合. 过作轴的垂线分别交直线，于,.
①求点坐标；②求证：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）根据已知求出，即得椭圆方程为. （Ⅱ）①由可求. ②当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，. 当不与轴垂直时，联立直线和椭圆方程证明，即.
【详解】
（Ⅰ）由已知，，得，，
为等腰三角形，，
则解得，
椭圆方程为.
（Ⅱ）①由题意可得直线的方程为.
与椭圆方程联立,由，可求.
②当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.
当不与轴垂直时，
设，，的方程为（）.
由消去，整理得.
则，.
由已知，，则直线的方程为，
令，得点的纵坐标.
把代入得.
由已知，，则直线的方程为,
令，得点的纵坐标.
把代入得.
,
把，代入到中，
=.
即，即.
【点睛】
本题主要考查椭圆是几何性质和方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.。