精编新版2020高考数学《立体几何初步》专题完整版考核题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是
（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n
（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则
m ∥n (2006福建理)
2．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为
（A ）3
2 （B ）
33
（C ）3
4 （D ）
2
3
(2005全国1理)
3．设γβα,,为两两不重合的平面，n m,l,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若γβγα⊥⊥,，则βα//；
②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ；
④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m //。

其中正命题的个数为（ ）B A ．1 B ．2
C ．3
D ．4(2005江苏8)
4．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与
1AC 所成的角等于
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°(2010全国1文) 5．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平等于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(2005重庆文)
6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）
（A ）75° （B ）60° （C ）45° （D ）30°（2004全国2文6） 7．
1．正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R 、、分别是11AB AD B C 、、的中点，那么正方体的过P Q R 、、的截面图形是-----------------------------------------------------（ ）
(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边 二、填空题
8．已知A,B,C,D 四点，其中任意三点不在一条直线上，从中取出两点作直线，共能作出 ______条直线
9．设1AA 是正方体的一条棱，则这个正方体中与1AA 垂直的棱共有 条．
10．正三棱锥S ABC -中，
30,1,=∠===ASB SA CA BC AB ，过点A 作一截面与侧 棱,SB SC 分别交于点,E F ，则截面AEF ∆周长的最小值为 . 11．如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形， AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD =2AB ，E 为PC 中点．
（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）求证：BE //平面PAD ． 12．线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥
A βα//n ,//m ,n m ⊥
B βα=⊥,m ,n m B
C
C αβ⊆⊥m n n m ,,//
D βα⊥⊥n m n m ,,//
13．已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球
O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为_______.（2013年高考课标Ⅰ卷（文））
14．,,a b c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题： ①若//,//a M b M ，则//a b ； ②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ； ③若,a c b c ⊥⊥，则a ∥b ； ④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b ．
其中正确命题的序号是________（请将你认为正确的结论的序号都填上）． 15．已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题： ①若l m ⊥，则α∥β；②若α∥β，则l m ⊥； ③若l ∥m ，则αβ⊥；④若αβ⊥，则l ∥m ； 其中为真命题的序号是_______.
16．已知正方形ABCD 的边长为1，AP ⊥平面ABCD ，且AP=2,则PC ＝ ；
17． 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，则异面直线1AB 与EF 所成的角的大小是 。

18．圆台的上、下底面面积分别为4和16，中截面把圆台分成两部分，试求这两部分的体积
之比为________．
解析：设这两部分的体积分别为V 1，V 2，圆台的高为2h ，上、下底面的面积之比为1
4，
∴上、下底面的半径之比为1
2，∴截得圆台的大圆锥的高为4h ，设截得圆台的大圆锥被
圆台上底面截下的小圆锥的体积为V ，则V
V ＋V 1＝⎝⎛⎭⎫2h 3h 3＝827
，
∴V 1＝19
8V .又V ＋V 1V ＋V 1＋V 2＝⎝⎛⎭⎫3h 4h 3＝2764.∴V ＋V 1V 2＝2737.
∴V 2＝378V .∴V 1V 2＝19
37.
19．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ②若m//α，m β⊥，则αβ⊥； ③若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥； ④若m α
γ=，n βγ=，m//n ，则//αβ．
上面命题中，真命题．．．的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号）．.w.w. (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)k.s
20．已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4, 求此球的表面积为___________
21．已知直线b a ,是直线，γβα,,是平面，给出下列命题： ① b a a =βαβα ,//,//，则b a //； ② γβγ⊥⊥,a ，则β//a ； ③ b a b a ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥； ④ αγββ⊥a a ,//,//，则γα⊥. 其中正确命题的序号
三、解答题
22．【2014高考天津第17题】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，
AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．
（Ⅰ）证明：BE DC ^；
（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角F AB P --的余弦值．
平面FAB 的法向量，则110,
0,n AB n BF
ìï?ïíï?ïî即0,1130.2
22x x y z ì=ïï
ïíï-++=ïïî不妨令1z =，可得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量()20,1,0n =
，则121211
cos ,10n n
n n n n ×
=
=
=-×．易知，二面角F AB P --是锐角，∴其余．
23．(文) 请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如下图所示）。

试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
24．如图，已知三棱锥P －ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，AB ＝20，D 为AB 中点，M 为PB 中点，且△PDB 是正三角形，P A ⊥PC . (1)求证：DM ∥平面P AC ； (2)求证：平面P AC ⊥平面ABC ； (3)求三棱锥M －BCD 的体积．
25．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面
ABCD
，且PA PD AD =，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证：（1）EF // 侧面PAD ；
（2）平面PAD ⊥平面PDC .
26．在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且4AB =
，
B
A
12AC AA ==．求二面角11C A B C --的余弦值．
27．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是矩形，PA ABCD ⊥平面,E F 、分别是AB PD
、的中点． （1）求证: BC PAB ⊥平面； （2）求证://AF PEC 平面；
（3）若2AD CD ==，PD 与底面ABCD 所成的角为45︒,求点F 到平面PEC 的距离．
28．如图所示，棱柱1
111A B C D A B C D -的所有棱长都等于2，60ABC ∠=︒，平面
11AAC C ABCD ⊥，160A AC ∠=︒．
（1）证明：111//C B D C 平面A ；
（2）求证：1BD AA ⊥；
（3）求四棱锥1A ABCD -的体积．
29．如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，
22AD DE AB ===，F 为CD 的中点．
（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .
30．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为8的菱形，∠BAD=
3
π
，若PA ＝PD ＝5，
平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)求证：AD⊥PB;
(3)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论？
.。