【新结构】安徽省皖南八校2024届高三4月第三次联考数学试卷+答案解析

【新结构】安徽省皖南八校2024届高三4月第三次联考数学试卷❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，集合，则()
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标为()
A. B. C. D.
3.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为()
A. B. C. D.
4.2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三.经初步确认，该遗址现存马家浜文化区、崧泽文化区、良渚文化区、钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长、谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值.南京大学历史学院赵
东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲、乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同区域的方法种数为()
A.96
B.144
C.240
D.360
5.“，”是“函数的图象关于对称”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为B的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，
已知A，B，C三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是()
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为2的正方体中，内部有一个底面垂直于的圆锥，当该圆锥底面
积最大时，圆锥体积最大为()
A. B. C. D.
8.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意n个实数，满足
，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函
数在上的导函数为，在上的导函数为f"，当f"时，函数在
上为“凹函数”.已知，，，，，且，令
的最小值为，则为()
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列关于概率统计的说法中正确的是()
A.某人在10次答题中，答对题数为X，，则答对7题的概率最大
B.设随机变量X服从正态分布，若，则
C.已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D.两个变量x，y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱
10.复数为虚数单位在复平面内对应点，则下列为真命题的是()
A.若，则点Z在圆上
B.若复数z满足，则复数z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆
C.若复数z满足，则复数z在复平面内所对应点的轨迹是双曲线
D.若，则点Z在抛物线上
11.已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则()
A.的图象关于点对称
B.
C. D.若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节以“绿色、健康、融合、共享”为主题，共设置山水生态类、快乐时尚类、传统体育类共21项赛事.下表是4月8日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数：
选手选手1选手2选手3选手4选手5选手6选手7选手8
个数141171161147145171170172
则跳绳个数的第60百分位数是__________.
13.的展开式中的的系数是__________.
14.椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上第一象限内，记，
，存在圆N经过点P，A，B，且，，则椭圆C的离心率为
__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
求角
射线
AB绕A点旋转交线段BC于点E，且，求的面积的最小值.
16.本小题15分
如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面ABCD是矩形，平面平面ABCD，O，
E分别为线段BC，PA的中点，点F在线段PB上不包括端点
若，求证：点O，D，E，F四点共面;
若，是否存在点F，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为，若存在，求出，若不存在，请说明理由.
17.本小题15分
已知函数
若，求在处的切线方程;
若函数有2个零点，试比较与的大小关系.
18.本小题17分
现有甲、乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同.
若从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，次这样的操作后，记甲盒子中
红球的个数为求的分布列与数学期望;
现从甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次数不超过n次的情况下，抽取到2次红球，则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第n次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为
，求Y的数学期望，并证明：
19.本小题17分
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q，P的距离之比，是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆C：的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心
率为
求椭圆C 的标准方程；如图，过右焦点F 斜率为的直线l 与椭圆C 相交于B ，点B 在x 轴上方，点S ，T 是椭圆
C 上异于B ，
D 的两点，SF 平分，TF 平分
ⅰ求
的取值范围；
ⅱ将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若
外接圆的面积为
，求直线l 的方程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
先得出集合A、B，进而求其交集.
【解答】
解：由A：，，1，2，3，4，5，
所以
故选
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程和性质，属基础题．
把抛物线方程化为标准形式，即可求出焦点坐标．
【解答】
解：由抛物线，得，
所以焦点坐标为
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查投影向量，是基础题.
根据投影向量的公式求解即可.
【解答】
解：在上投影向量为
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了排列与组合的综合应用，是中档题.
先将6名同学分成4组，分甲、乙组成一组和甲、乙与另外4人中的1人组成一组两种情况求解即可.
【解答】
解：先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组;
另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组.
再把4组人分到4个区域，所以安排方法种数为
故选
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，正切函数的性质，属于基础题.
当函数的图象关于对称时，得出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【解答】
解：当函数的图象关于对称时，
有，得，
易知所以“，”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了条件概率和全概率公式，是中档题.
先由全概率公式得出“这人患了流感”的概率，再由条件概率公式计算即可.
【解答】
解：记事件M表示“这人患了流感”，事件，，分别表示“这人来自A，B，C地区”，
由题意可知：，，，
，，，
则
，
故
故选
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的体积，是中档题.
当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG时该圆锥的底面积最大，圆锥顶点为或处，此时圆锥体积最大，计算即可.
【解答】
解：如图所示，取AB，AD，，，，的中点，
记为M，N，E，F，P，G，易知六边形MNEFPG为正六边形，
此时的中点O在正六边形的中心，
当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG时该圆锥的底面积最大，
设此时圆锥底面圆半径为r，
因为，所以，
圆锥底面积为，
圆锥顶点为或处，此时圆锥体积最大，
此时，
故选
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题以新定义“凹函数”为背景，主要考查导数运算，以及分析问题解决问题的能力，考查运算求解能力，属于较难题．
根据“凹函数”的定义分析求解即可．
【解答】
解：记函数，，
首先证明其凹凸性：，
，
在上为“凹函数”.
由琴生不等式，得，
即，
所以，
当时，W取最小值，
所以
故选
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了二项分布、正态分布、回归直线方程和样本相关系数，是中档题.
根据二项分布、正态分布、回归直线方程和样本相关系数逐一判定即可.
【解答】
解：对于A，∽，故，
令
解得，故，故A正确;
对于B，，，故B错误;
对于C，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确;
对于D，两个变量x，y的相关系数为r，越小，x与y之间的相关性越弱，故D错误.
故选
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了复数的几何意义和圆锥曲线的定义，是中档题.
根据复数的几何意义和圆锥曲线的定义逐一判定即可.
【解答】
解：，表示点与之间的距离，表示点
与之间的距离，
对于A，记，，，表示点到、距离相等，则点Z在线段
的中垂线上，故A错误;
对于B，记，，由，得，这符合椭圆定义，故B正确;
对于C，记，，若，，这符合双曲线的一支，故C错误;
对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确.
故选
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性、周期函数和函数的对称性，是较难题.
根据函数的奇偶性、周期函数和函数的对称性逐一判定即可.
【解答】
解：A选项，由题意知，，则，
所以图象的对称中心为，A正确；
B选项，，，
两式相减得，所以，B正确;
C选项，由B选项可得，的周期为4，又，
故，
令得，，得，所以C错误;
D选项，因为，令得，，
又，故，
中，令得，，
由，得，，
又的周期为4，
则
，
所以，D正确.
故选
12.【答案】170
【解析】【分析】
本题考查了百分位数的求解，属于基础题.
先把十个数据从小到大排列，然后根据百分位数的定义即可求解.
【解答】
解：把跳绳个数按从小到大排列141，145，147，161，170，171，171，172，
由，故跳绳个数的第
60百分位数是第5个数
13.【答案】30；
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.把按照二项式定理展开，可得的系数.
【解答】
解：由通项公式：，
由于要求，则，即，
所以含项的系数为：
【解析】【分析】
本题考查了求椭圆的离心率或取值范围，是中档题.
先得出，设，由得，可得椭圆C的离心率.【解答】
解：由，所以，，
所以，
得，
设，由得，，
则
15.【答案】解：，
由正弦定理得，
，
，
，
，
由和，可知
因为，
所以
又因为，
所以，即
又，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以，
所以的面积的最小值为
【解析】本题考查了利用正弦定理解三角形、三角形面积公式和由基本不等式求最值，是中档题.
由正弦定理得，整理得，可得A的大小；
由，整理得，再由基本不等式得，进而得出的面积的最小值.
16.【答案】证明：
，
系数和为1，
根据平面向量共线定理可知O，D，E，F四点共面.
解：因为，O是BC的中点，所以，
又平面平面ABCD，平面平面，
平面
PBC，所以平面
取AD中点Q，连接OQ，易知OQ，OC，OP两两相互垂直，
如图，分别以OQ，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面PCD的法向量为，
则，即
令，则，所以
设，则
设EF与平面PCD所成角为，
则，
，
解得或，则或
【解析】本题考查了空间中的共面问题和直线与平面所成角的向量求法，是中档题.
先得出，由平面向量共线定理可知O，D，E，F四点共面；
建立空间直角坐标系，得出平面PCD的法向量，设，利用空间向量求解即可.
17.【答案】解：当，，，所以，
又，所以切线方程为，即
函数有2个零点等价于方程有两个根，
即
有两个根，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当时，当时，
所以要使得有两个根，则，
所以
【解析】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的零点和利用导数求函数的最值，是中档题.
当，，先求导，代入切点横坐标可得切线斜率，进而得出切线方程；
函数有2个零点等价于方程有两个根，分离变量得有两个根，令，利用导数研究单调性和最值得，所以，可得与的大小关系.
18.【答案】解：由题意可知的所有可能取值为0，1，2，
且，
，
，
的概率分布表如下：
012
P
证明：当时，，，，
当时，，，
记，
则，
两式相减得，
，
所以，
记，
则，
当时，，所以，且，
所以成立.
【解析】本题考查了离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望以及错位相减法求和，是中档题.
易得的所有可能取值为0，1，2，得出对应概率，可得的分布列与数学期望；
易得当时，，，，当
时，，，记，由错位相减得出，即可得证.
19.【答案】解：设，由题意常数，
整理得，
故，又，解得，
，椭圆C的方程为
ⅰ由，又，
，或由角平分线定理得
令，则，设，则有，
又直线l的斜率，则，，
代入，得，
即，
，
ⅱ由ⅰ知，，
由阿波罗尼斯圆定义知，S，T，F在以B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为，半径为r，与直线l的另一个交点为N，
则有，即，解得
又，故，，
又，
，
解得，，
，
直线l的方程为
【解析】本题考查椭圆方程的求法，角平分线定理，椭圆的焦半径公式，考查的核心素养为数学运算和直观想象，属于难题．
结合题意可得常数，求出M点轨迹方程，与对比系数可得两
个关于，a，c的方程，结合，求出a，b，c，得到椭圆C的标准方程；
由角平分线定理，可得，令，得到，，
代入椭圆可得，然后用表示，再求出的取值范围，即可得到的取
值范围；
由S，T，F在以B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，有，即，解出，又，从而得到，结合椭圆的焦半径公式可求出D点坐标，进而求出直线l的方程．。