2018届山东省师范大学附属中学高三上学期第一次模拟考

第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}20,1,2,3,30=M N x x x M N ==-<⋂，则 A.{}0 B.{}0x x < C.{}3x x 0<< D. {}1,2
2.已知i 是虚数单位，若复数()()12ai i ++是纯虚数，则实数a 等于 A.2 B.12 C.12
- D.2-
3.“1m =”是“函数()266f x x mx =-+在区间(],3-∞上为减函数”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知函数()()()1,0,11,
0.
x
x x f x f f a x -≤⎧==-⎨>⎩若，则实数a 的值等于
A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题：
①若//,m n m n αα⊥⊥，则； ②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3
6.若实数,x y 满足条件4
200
x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则2x y +
的最大值
A.8
B.7
C.4
D.2
7.一个三棱锥的侧棱长都相等，底面是正三角形，其正（主）视图如右图所示.该三棱锥侧面积和体积分别是
3
83)
1,
3
D.88,3
8.若函数()()log a f x x b =+的大致图像如右图，其中
,a b 为常数，则函数()x g x a b =+的大致图像是
9.已知双曲线22
1124
x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是
A.
33⎡-⎢⎣⎦
B.⎢⎣
C.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
D.(
10.设向量()()1212,,,a a a b b b ==r r
，定义一种运算“⊕”。

向
量()()()12122112,,,a b a a b b a b a b ⊕=⊕=r r .已知12,,,023m n π⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u r r ，点
(),sin P x y y x =在的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动且满足OQ m OP n =⊕+u u u r u r u u u r r
（其中O 为坐标原点）
，则()y f x =的最小值为 A.1- B.2- C.2 D.12
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.
11.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________. 12.函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像，其部分图象如图所示，则
()0f =_______.
13.已知圆C 过点()1,0-，且圆心在x 轴的负半轴上，直线:1l y x =+被
该圆所截得的弦长为则圆C 的标准方程为________________.］ 14.下面给出的四个命题中：
①以抛物线24y x =
的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为
()
2
211x y -+=；
②若2m =-，则直线()210m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直；
③命题“x R ∃∈，使得2340x x ++=”的否定是“x R ∀∈，都有
2340x x ++≠”；
④将函数sin 2y x =的图象向右平移3
π个单位，得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪
⎝
⎭
的图象。

其中是真命题的有___________（将你认为正确的序号都填上）。

15.已知2280,02y x
x y m m x y
>>+>+，若恒成立，则实数m 的取值范围是_______.
三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且满足
cos 32A AB AC =⋅=uu u r uuu r . （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c a =，求、sin B 的值.
17.（本小题满分12分）
如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且
PA AD E F G H
=、、、分别是线段PA、PD、
2,
CD、BC的中点.
（I）求证：BC//平面EFG；
（II）求证：DH⊥平面AEG；
（III）求三棱锥E-AFG与四棱锥P-ABCD
的体积比.
18.（本小题满分12分）
某公司有男职员45名，女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组.
（I ）求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数； （II ）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率；
（III ）试验结束后，第一次做试验的职员得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的职员得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位职员的实验更稳定？并说明理由.
19.（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，已知()*1114
11
,
,23log 44n n n n a a b a n N a +==+=∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求证：数列{}n b 是等差数列；
（III ）设数列{}n c 满足{}n n n n c a b c =+，求的前n 项和n S .
20.（本小题满分13分）
已知函数()()
2
10a x f x a x -=
>，其中. （I ）求函数()f x 的单调区间；
（II ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； （III ）设()()()2ln g x x x x f x g x =-，求在区间[]1,e 上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）
21.（本小题满分14分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，且长轴长等于4. （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）12F F ，是椭圆C 的两个焦点，e O 是以12F F ，为直径的圆，直线
:l y kx m =+e 与O 相切，
并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若3
=2
OA OB ⋅-uu r uu u r ，求k 的值.
2012级高三第一次模拟考试试题
数学（文史类）参考答案
又sin sin a b A B =
，4
5sin sin 5b A B a ⨯
∴=== １２分
17.解：（Ⅰ）∵BC ∥AD,AD ∥EF,∴BC ∥EF ．．．．．．．．．．2分 EFG EF EFG BC 平面平面⊂⊄, BC ∴∥平面EFG ．
．．．．．．．．．．．3分 （Ⅱ）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥DH ，即 AE ⊥DH ．．．．．．．．．．5分
∵△ADG ≌△DCH ，∴∠HDC=∠DAG ，∠AGD+∠DAG=90°
∴∠AGD+∠HDC=90° ∴DH ⊥AG
又∵AE ∩AG=A ，∴DH ⊥平面AEG ．．．．．．．．．．．．8分
（Ⅲ）1
3
13
AEF E AFG
G AEF
P ABCD
P ABCD
DG S V V V V PA S ABCD ----=
=
．．．．．．．．．．．．．．． 10分
111111122222216
CD EF EA CD AD PA
PA AD CD PA AD CD === ．
．．．．．．．．．．．．．．12分
（Ⅲ）
16870717274715x ++++=
=，26970707274
71
5x ++++==
222
1
(6871)(7471)45s -+-== ，222
2(6971)(7471) 3.2
5s -+-==
第二次做试验的职员做的实验更稳定………………………12分 19．解：（1）
4
1
1=+n n a a ,∴数列}{n a 是首项为41，公比为41的等比数列，
∴
*)()4
1
(N n a n n ∈=.…………………………………………………………
………3分
（
2）
2log 34
1-=n n a b ……………………………………………………
…………4分 ∴
232)41
(log 34
1-=-=n b n n .…………………………………
……………………6分
∴11=b ，公差3=d
∴数列}{n b 是首项11=b ，公差3=d 的等差数列. ………………………………7分 （3）由（1）知，23,)4
1
(-==n b a n n n ,
∴
,)41
()23(n n n c +-= ……………………………………………………8分
∴,)4
1
()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S +-+(+-+++++++=-
])4
1
()41)41()41(41[)]23()53(741[132n n n n +(++++++-+-++++=-
……………
………………10分
n n n n n n )41(3131234
11]
)41(1[412)231(2⋅-+-=--+-+=………………………
…12分
（Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，
则
()ln 1g x x a '=+-， …………………9分
解()0g x '=，得1e a x -=，
所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数，
在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函
数. ……………10分
当1e 1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，
所以()g x 最小值为(1)0g =. 当1e e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，
所以()g x 最小值为
(e)e e g a a =+-. ………………11分 当11<e <e a -，即12a <<时，最小值
)1()1()(111---=---a a a e a e a e g =1--a e a . ………………12分
综上所述，当01a <≤时，()g x 最小值为(1)0g =；当12a <<时，
()g x 的最小值))(1-a e g =1--a e a ；当2a ≥时，()g x 最小值为(e)e e g a a =+-. ………13分
20、21．解：（Ⅰ）由题意，椭圆的长轴长42=a ，得2=a ，…………
2分 ∵点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1在椭圆上，∴149412=+b
得32=b ，…………４分 ∴椭圆的方程为13
422=+y x .………………6分。